宋修洋，陳勁杰，余 潔

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

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基于D-H方法建立拋光機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

宋修洋，陳勁杰，余 潔

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

為提高自由曲面表面工藝品質(zhì)，提出用機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型來規(guī)劃其各關(guān)節(jié)的加工路徑?；贒-H表示法的思想，求解機(jī)器人正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程來判斷末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而進(jìn)行機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真。使機(jī)器人末端執(zhí)行器實(shí)現(xiàn)字符"ME"軌跡，展示具體應(yīng)用方法,得出了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡，為自由曲面自動(dòng)化拋光處理更加智能高效提供了理論依據(jù)。

D-H表示法；運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；有效性驗(yàn)證

現(xiàn)代工業(yè)產(chǎn)品復(fù)雜層度在不斷增加，新的加工制造方法層出不窮，導(dǎo)致了產(chǎn)品的生產(chǎn)工藝路線的可行解也成指數(shù)方式增長。為了與這種新的發(fā)展形勢相適應(yīng)，合理規(guī)劃機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路徑是保證零件加工質(zhì)量和效率的關(guān)鍵步驟，也是機(jī)器人拋光系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要一步。

1 機(jī)器人的空間描述

(1)

式中，Px、Py和Pz分別為該點(diǎn)的在x軸、y軸和z軸方向的空間坐標(biāo)。

獲取了物體的任意點(diǎn)位置后，還需要得到該物體的姿態(tài)信息方可進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。假設(shè)直角坐標(biāo)系F與該物體固定相連接，則可通過坐標(biāo)系F的3個(gè)方向的主矢量表示物體對(duì)于相對(duì)參考系的姿態(tài)

(2)

如圖1所示，空間物體在任一坐標(biāo)系中的表示可通過位置矢量和旋轉(zhuǎn)矩陣描述。圖中物體與坐標(biāo)系F0固定連接，坐標(biāo)系F0的原點(diǎn)為物體的質(zhì)心，則物體在坐標(biāo)系F0中可以表示為

(3)

圖1 空間物體表示

2 坐標(biāo)系變換

(4)

式中，dx、dy和dz分別表示局部坐標(biāo)系在全局坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸方向的位移。

旋轉(zhuǎn)角度為θ的坐標(biāo)系3個(gè)方向的變換矩陣分別為

(5)

(6)

(7)

令UP表示點(diǎn)P相對(duì)于坐標(biāo)系U的描述；UTR表示坐標(biāo)系R相對(duì)于坐標(biāo)系U的變換；RP表示點(diǎn)P相對(duì)于坐標(biāo)系R下的描述，其間的關(guān)系為

UP=UTR×RP

(8)

3 六自由度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

3.1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)

進(jìn)行仿真分析前要先確定打磨機(jī)器人的D-H參數(shù)。D-H表示法是1955年，Denavit和Hartenberg提出的，是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的標(biāo)準(zhǔn)方法[15-16]。采用D-H方法建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，則必須在所有關(guān)節(jié)處建立相對(duì)應(yīng)的局部參考坐標(biāo)系。所以，對(duì)于每一個(gè)關(guān)節(jié)的表示方法如圖2所示。

圖2 相鄰連桿關(guān)系的D-H參數(shù)

對(duì)于剛性連桿，其D-H表示方法主要通過對(duì)以下4個(gè)參數(shù)進(jìn)行定義：(1)連桿長度ai表示沿xi軸方向Zi-1軸與zi軸之間的距離；(2)連桿扭角αi表示繞xi軸線由zi-1軸到zi軸所旋轉(zhuǎn)的角度；(3)連桿間距di表示沿zi軸方向xi-1軸到xi軸的距離；(4)轉(zhuǎn)角變量θi表示繞zi軸由xi-1軸到xi軸所旋轉(zhuǎn)的角度。本文所設(shè)計(jì)的機(jī)器人三維模型和D-H參數(shù)分別如圖3和表1所示。

圖3 機(jī)器人三維模型

連桿轉(zhuǎn)角變量θ°/(°)連桿間距di/mm連桿長度αi/mm連桿扭角αi/(°)轉(zhuǎn)角變量范圍1θ101250-180°～180°2θ200-90-15°～180°3θ304160-180°～180°4θ40090-90°～90°5θ50318-90-180°～180°6θ6128090-75°～75°

3.2 機(jī)器人正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解

本文所設(shè)計(jì)的機(jī)器人為6自由度，通過D-H建模方法對(duì)每一個(gè)連桿建立相應(yīng)的局部坐標(biāo)系。如圖4所示為機(jī)器人處于初始狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，即各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角分別為0°、-90°、90°、0°、0°和0°。

機(jī)器人不同的局部坐標(biāo)系之間的關(guān)系滿足一定關(guān)系，坐標(biāo)系{i}與坐標(biāo)系{i-1}之間的坐標(biāo)變換矩陣為

(9)

式中，θi為第i個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角；di為第i個(gè)關(guān)節(jié)的偏置距離；αi-1為第i-1個(gè)連桿的扭角；αi-1為第i-1個(gè)連桿的長度。

圖4 6自由度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

由式(9)可得7個(gè)連桿中任意兩個(gè)相鄰連桿之間坐標(biāo)變換矩陣，由于坐標(biāo)系{6}固定于末端執(zhí)行器上，因此，機(jī)械手臂末端執(zhí)行器相對(duì)于基坐標(biāo)系{0}變換矩陣F為

(10)

通過式(10)轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行變換，即可根據(jù)各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)計(jì)算出末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真。同時(shí)，在求解機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)解的過程中，得到了相鄰連桿的變換矩陣，為機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的求解奠定了基礎(chǔ)。

機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的求解過程與正解過程相反。根據(jù)打磨軌跡計(jì)算出末端執(zhí)行器的變換矩陣F，反推出另外6個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡。目前逆解的求解主要有解析法、幾何法和數(shù)值法3種求解方式。計(jì)算出機(jī)器人末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡后，可通過式(10)依次各個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角。

4 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡計(jì)算有效性驗(yàn)證

在進(jìn)行曲面拋光軌跡規(guī)劃之前，首先通過規(guī)劃機(jī)器人實(shí)現(xiàn)一個(gè)簡單拋光路徑的運(yùn)動(dòng)，從而對(duì)正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的求解算法進(jìn)行有效性驗(yàn)證。使機(jī)器人末端執(zhí)行器實(shí)現(xiàn)字符“ME”軌跡，如圖5所示，其中，字母M高200 mm，寬200 mm，與字母E之間的距離為20 mm，E高200 mm，上、中、下的寬度分別為60 mm、40 mm和80 mm。

圖5 字符串“ME”的打磨軌跡示意圖

機(jī)器人的末端執(zhí)行器從“start”點(diǎn)出發(fā)，一共經(jīng)過26個(gè)拐點(diǎn)到達(dá)“end”點(diǎn)。根據(jù)上述逆運(yùn)動(dòng)方程組的求解方法，計(jì)算機(jī)器人各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角，使得末端執(zhí)行器根據(jù)圖5所示的軌跡運(yùn)動(dòng)。設(shè)置插補(bǔ)時(shí)間為0.02 s，在水平和垂直方向的最大運(yùn)動(dòng)速度分別均為0.1 m/s。則通過追蹤各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以發(fā)現(xiàn)機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)幅度較小，處于相對(duì)安全的運(yùn)動(dòng)范圍。而且關(guān)節(jié)的角速度均保持在1°/s以內(nèi)，運(yùn)動(dòng)速度較低。只在接近加工終點(diǎn)處，各關(guān)節(jié)的速度和加速度變化均較為劇烈，這是因?yàn)闄C(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡從一條直線轉(zhuǎn)過90°至另一條直線，速度方向變化巨大。最終加工段為一條相對(duì)較長的直線，角速度可在滿足速度約束的范圍一直增加，以保證加工效率，且盡量使得各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度在終點(diǎn)時(shí)為0。

圖6 加工軌跡與目標(biāo)軌跡的誤差

通過對(duì)運(yùn)動(dòng)方程組逆向求解，得到了一組機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的解，但機(jī)器人末端執(zhí)行器的最終軌跡需要通過正運(yùn)動(dòng)方程計(jì)算得到。為進(jìn)一步驗(yàn)證機(jī)器人的拋光運(yùn)動(dòng)軌跡與目標(biāo)規(guī)劃軌跡的相符程度，基于上述逆運(yùn)動(dòng)的解，通過正運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行計(jì)算，得到機(jī)器人末端執(zhí)行器的軌跡，與目標(biāo)規(guī)劃軌跡的絕對(duì)誤差如圖6所示。

從圖6可以看出，通過逆向求解之后再正向求解，運(yùn)動(dòng)軌跡與規(guī)劃軌跡存在一定計(jì)算誤差，但對(duì)于10-1m級(jí)別的打磨路徑，其數(shù)值計(jì)算誤差較小，處于可接受范圍內(nèi)。因此，本文所述的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方程正、逆求解算法均有效。

5 結(jié)束語

介紹了機(jī)器人空間坐標(biāo)的表示方法和變換算法，并根據(jù)所選6自由度機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，基于D-H方法建立了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。同時(shí)，給出了正運(yùn)動(dòng)方程和逆運(yùn)動(dòng)方程求解過程，并通過字母軌跡“ME”對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求解算法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明：機(jī)器人末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡與目標(biāo)軌跡的誤差較小，滿足拋光打磨的精度要求。機(jī)械手各關(guān)節(jié)速度變化率較小，且轉(zhuǎn)角變量均位于設(shè)計(jì)范圍內(nèi)，說明了本文所用方法的有效性，為進(jìn)行高難度的復(fù)雜曲面打磨奠定了的基礎(chǔ)。本文僅實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃，但關(guān)節(jié)的角速度變化規(guī)律和角加速度變化規(guī)律不太平滑，可以通過考慮B樣條、人工智能的規(guī)劃方法，優(yōu)化機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

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Polishing Robot Kinematics Model Based on the D-H Method

SONG Xiuyang，CHEN Jinjie，YU Jie

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

In order to improve the quality of free curved surface, we propose a robot motion model for planning the machining path of each joint. The idea of D-H notation is introduced to solve the robot inverse kinematics equation for the trajectory of the end of the actuator, thus achieving the robot’s kinematics simulation. The robot end executor performs a character "ME" trajectory to show the concrete application. The trajectory of the robot provides theoretical basis for more intelligent and efficient free-form surface polishing treatment automation.

D-H notation; kinematics model; direct and inverse kinematics equations; validation

2016- 07- 17

宋修洋(1991-)，男，碩士研究生。研究方向：智能機(jī)器人。陳勁杰(1969-)，男，副教授，碩士生導(dǎo)師。研究方向：智能機(jī)器人等。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.06.014

TP24

A

1007-7820(2017)06-050-04