☉江蘇蘇州市相城區(qū)渭塘第二中學(xué) 陳惠英

擴(kuò)張與因襲：?jiǎn)栴}情境的立意與追求
——傅種孫先生《擴(kuò)張與因襲》閱讀體會(huì)

☉江蘇蘇州市相城區(qū)渭塘第二中學(xué) 陳惠英

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》，其中刊發(fā)了幾篇傅種孫先生著作的閱讀體會(huì)與教學(xué)實(shí)踐，據(jù)筆者有限的閱讀經(jīng)歷，傅種孫先生的研究和紀(jì)念文章多是北師大不少教授、研究者們寫的，當(dāng)下的一線教師能主動(dòng)關(guān)注我國(guó)老一輩像傅種孫先生這樣的數(shù)學(xué)教育家的著作文獻(xiàn)的還不多見.本文是閱讀傅孫先生名作《擴(kuò)張與因襲》的心得體會(huì)，與大家分享.

一、《擴(kuò)張與因襲》精彩摘錄與隨感

第一，何謂擴(kuò)張？

傅先生在該文開篇即指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教師們領(lǐng)著學(xué)生走一條康莊大道：‘由整數(shù)走向分?jǐn)?shù)，由正數(shù)走向負(fù)數(shù)，由有理數(shù)走向無(wú)理數(shù)，由實(shí)數(shù)走向虛數(shù)’.這是在那里擴(kuò)張數(shù)系.”在引述一些例子之后，傅先生強(qiáng)調(diào)“數(shù)系擴(kuò)張之原因，本有事實(shí)需要的背景在，故亦需有實(shí)例引之”.

隨感：初中數(shù)學(xué)在各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域都有著“擴(kuò)張”，比如，整式到分式再到無(wú)理式，一元一次方程到二元一次方程再到一元二次方程等；學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)從最簡(jiǎn)單的正比例函數(shù)出發(fā)，到一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等；就平面幾何的學(xué)習(xí)來(lái)看，從點(diǎn)到線到面到體，從三角形內(nèi)角和到四邊形內(nèi)角和再到多邊形內(nèi)角和，平行四邊形的學(xué)習(xí)從邊、角、對(duì)角線依次研究它的性質(zhì)與判定，并擴(kuò)大到與平行四邊相關(guān)的一些性質(zhì)（如三角形中位線定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)）等.

第二，何謂因襲？

傅先生指出“擴(kuò)張數(shù)系后，同時(shí)又希望‘整數(shù)的性質(zhì)分?jǐn)?shù)也有，正數(shù)的性質(zhì)負(fù)數(shù)也有，有理數(shù)的性質(zhì)無(wú)理數(shù)也有，實(shí)數(shù)的性質(zhì)虛數(shù)也有.’這是在那里因襲數(shù)性.”在列舉很多具體的例子之后，傅先生在該文有一段深刻小結(jié)：因襲不是無(wú)限制的，一成不變是不行的.究竟變的是什么，不變的是什么？數(shù)系之因襲，特為和、美、不別扭計(jì)耳；可因襲者因襲，應(yīng)變革者變革；法規(guī)既立，而后應(yīng)用之于事例，可用者用，不可用者不用.其因也，革也，用也，不用也，原因皆在實(shí)際事例之本身，非可以論理方法形式地判斷者也.

隨感：以數(shù)的運(yùn)算為例，有理數(shù)引入之后，首先是相關(guān)概念（數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值等），在此基礎(chǔ)上為研究、歸納有理數(shù)運(yùn)算法則提供了一些必要的概念準(zhǔn)備，比如正負(fù)數(shù)加減法則不同于小學(xué)算術(shù)數(shù)的加減運(yùn)算；而兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘也是新的內(nèi)容，找不到因襲的法則，則屬于傅先生指出的“應(yīng)更革者更革”.而在有理數(shù)的運(yùn)算，特別是混合運(yùn)算時(shí)，又需要因襲之前學(xué)生在小學(xué)算術(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中積累下來(lái)的運(yùn)算通性（加法交換律和結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律等），包括運(yùn)算順序（同級(jí)運(yùn)算從左向右依次運(yùn)算，通過(guò)添加括號(hào)可以改變運(yùn)算順序，使得不同運(yùn)算享有“插隊(duì)”的優(yōu)先級(jí)別）.

在學(xué)習(xí)方程時(shí)，比如最先系統(tǒng)學(xué)習(xí)的一元一次方程，往往先學(xué)習(xí)一元一次方程的概念、一般形式，然后學(xué)習(xí)如何解一元一次方程，最后研究如何利用一元一次方程解決實(shí)際問題.因襲這樣的研究套路，二元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程都有類似的研究套路：概念、解法、應(yīng)用.

在幾何圖形的學(xué)習(xí)時(shí)，一個(gè)大的研究范式是平面幾何主要研究圖形的形狀、大小與位置.具體到一些特殊圖形，如三角形，先研究它的概念（定義、邊、角）、相關(guān)概念（高線、中線、角平行線）、內(nèi)角和定理、外角和定理，接著研究特殊三角形（如直角三角形）的角、邊的性質(zhì)，這些研究經(jīng)驗(yàn)將因襲到四邊形的研究，如先研究四邊形的定義，邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)，并研究特殊四邊形（如平行四邊形及矩形、菱形、正方形）的性質(zhì).

需要指出的是，以筆者粗淺的理解，近年來(lái)人民教育出版社資深編審章建躍博士在相關(guān)文章中推薦的“研究套路”，也與傅先生所指出的因襲在一定意義上是相通的說(shuō)法.

二、對(duì)新知引入階段“問題情境”的相關(guān)思考

眾所周知，數(shù)學(xué)是一個(gè)邏輯連續(xù)的整體，同一數(shù)學(xué)領(lǐng)域、知識(shí)塊的邏輯聯(lián)系十分緊密，就是不同領(lǐng)域也有非常密切的關(guān)聯(lián).傅先生關(guān)于擴(kuò)張與因襲的論述引發(fā)我們對(duì)新知引入階段“問題情境”的再思考.

1.教材盛行“生活情境”，追求有“數(shù)學(xué)味”的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).

新世紀(jì)之初的課程標(biāo)準(zhǔn)片面倡導(dǎo)數(shù)學(xué)生活化，與生活情境關(guān)聯(lián)，隨之而來(lái)的教材改革也“執(zhí)行”了這種編制要求，使得世紀(jì)之初的各種版本教材幾乎每個(gè)課時(shí)都由一段豐富多樣的生活情境導(dǎo)向新課、新知，完全置數(shù)學(xué)知識(shí)的“擴(kuò)張”于不顧，誤以為每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都必須來(lái)源于生活現(xiàn)實(shí).盡管“課標(biāo)2011年版”已對(duì)生活情境做出必要的糾偏，認(rèn)為生活現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系靈活選取，同時(shí)要注意兼顧其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)，然而教師形成的教學(xué)慣習(xí)并不是一朝一夕所能改過(guò)來(lái)的，加之推行生活情境引入新課的各種“三維目標(biāo)”的教案推波助瀾，讓很多教師誤認(rèn)為課堂引入時(shí)用一段有趣的生活情境，可以為課堂增色、形成亮點(diǎn)，又使得數(shù)學(xué)有趣.我們認(rèn)為，重溫傅先生的擴(kuò)張與因襲有助于我們追求更有數(shù)學(xué)味的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)來(lái)導(dǎo)入新課，而不是簡(jiǎn)單化地舍棄教材上的情境問題.有些對(duì)教材上的情境問題基于擴(kuò)張與因襲的思想，將其重組，也可以獲得更有意義的教學(xué)情境.

比如，某版本初中教材九年級(jí)一元二次方程起始課的教學(xué)引入是一段矩形花圃問題情境，如果我們適當(dāng)加以改編，也可成為體現(xiàn)擴(kuò)張與因襲的教學(xué)情境.

案例1：如圖1，矩形花圃的一面靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長(zhǎng)度是19m.

圖1

（1）如果花圃的長(zhǎng)比垂直于墻面的寬多4m，設(shè)它的寬為xm，它的長(zhǎng)為________m.

（2）如果花圃的面積是24m2，設(shè)花圃的寬是xm，它的長(zhǎng)為________m.

設(shè)計(jì)意圖：利用教材上的這段情境，先設(shè)計(jì)一個(gè)鋪墊問題，既復(fù)習(xí)了一元一次方程的應(yīng)用，又為下一問列出一元二次方程提供了知識(shí)準(zhǔn)備，我們可以引導(dǎo)學(xué)生比較這兩個(gè)方程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).并在比較中，由學(xué)生自主歸納出一元二次方程的概念.這也體現(xiàn)了擴(kuò)張與因襲的教學(xué)思想.

2.“開課情境”孤立化，讓“問題情境”驅(qū)動(dòng)全課學(xué)習(xí).

在不少賽課活動(dòng)中，往往都會(huì)安排所謂的情境引入，然而這種開課階段的問題情境往往孤立于全課，即在完成了所謂的概念引入甚至是某個(gè)并不重要的標(biāo)題、名詞的引入之后，這個(gè)情境就完成了歷史使命，與后續(xù)教學(xué)環(huán)節(jié)無(wú)甚相關(guān).如在平方根（第1課時(shí)）開課引入時(shí)，有教師設(shè)計(jì)如下的情境引入：

案例2：探究怎樣用兩個(gè)面積為1的小正方形拼成一個(gè)面積為2的大正方形.

你能用兩個(gè)面積為1的小正方形拼成一個(gè)面積為2的大正方形嗎？裁剪下這兩塊面積為1的正方形紙，看能否直接拼接.（合理分工，發(fā)揮集體智慧，進(jìn)行剪、拼、接，拼好后，畫出你的方案并展示）

案例3：（定義開方運(yùn)算后，結(jié)合“x2=4”研究平方根的定義、求法、符號(hào)表示、性質(zhì)），教學(xué)流程如下：

賞析：在上面的教學(xué)流程中，對(duì)于平方根的求法、符號(hào)表示的學(xué)習(xí)，學(xué)生小組內(nèi)舉例、交流、討論，性質(zhì)發(fā)現(xiàn)、歸納也由學(xué)生完成.

3.精選“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，讓學(xué)生明辨、體會(huì)“擴(kuò)張與因襲”.

具體落實(shí)在備課時(shí)，我們認(rèn)為精選數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)是備課的關(guān)鍵，比如二次根式乘法運(yùn)算的引入時(shí)，目前相關(guān)教材已修改為如下的開課情境：

案例4：計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？

一般地，二次根式的乘法法則是________________ ____________________.

簡(jiǎn)評(píng)：通過(guò)這組運(yùn)算，學(xué)生可以自主發(fā)現(xiàn)、歸納出二次根式的運(yùn)算法則，感受到二次根式運(yùn)算與之前的整式運(yùn)算之間的“同與不同”，體現(xiàn)其中的擴(kuò)張與因襲的數(shù)學(xué)思想.

三、寫在后面

傅種孫先生數(shù)學(xué)教育思想博大精深，本文只是受益于傅先生《擴(kuò)張與因襲》一文，思考了情境創(chuàng)設(shè)中的一些話題，收集和展示的案例還不夠豐富，有待進(jìn)一步研究與積累，也期待更多的同行深入研習(xí)傅先生的擴(kuò)張與因襲的數(shù)學(xué)思想，研發(fā)出精彩的課例，讓這個(gè)課題深入下去、豐富起來(lái).

1.傅種孫.擴(kuò)張與因襲［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，1962（8）.

2.傅種孫.傅種孫數(shù)學(xué)教育文獻(xiàn)［M］.北京：人民教育出版社，2005.

3.陳蓓蓓.例說(shuō)幾何定理教學(xué)的層次——由傅種孫先生數(shù)學(xué)教育思想說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.

4.王錦兵.朝花夕拾讀經(jīng)典，基本問題能致遠(yuǎn)——研讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》2016年12月初中版有感［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（1）.

5.劉東升.悠然神會(huì)，妙處與君說(shuō)——李庾南老師“平方根”課例賞析［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2014（5）.

6.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

*本文是江蘇省“十二·五”規(guī)劃青年自籌課題“優(yōu)化與導(dǎo)學(xué)案匹配的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)”的研究成果（課題編號(hào)：C-b/ 2013/02/004，主持人：孫學(xué)東）；也是江蘇省“十三·五”規(guī)劃重點(diǎn)自籌課題“初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)資源建設(shè)的實(shí)踐與理論研究”的階段成果（編號(hào)：B-b/2016/02/155，主持人：周建勛，孫學(xué)東）.