☉江蘇南通田家炳中學(xué) 嚴 莉

研習(xí)名著朝花夕拾，深刻理解函數(shù)圖像
——《初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指要》學(xué)習(xí)體會

☉江蘇南通田家炳中學(xué) 嚴 莉

近讀期刊，關(guān)注到北京市東城區(qū)教師研修中心退休數(shù)學(xué)教研員賀信淳老師的作品——《從多角度審視一道中考試題說開去——談對初中數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀之惑》（見文1）.賀老師基于“理解數(shù)學(xué)”的高度對當前各地中考大量的“坐標系拉臺，平面幾何唱戲”的“壓軸題”進行了有力的批判，并直言這是一種“怪怪的”試題.那么函數(shù)學(xué)習(xí)與教學(xué)的本質(zhì)是什么呢？作為教師，該如何深刻理解函數(shù)概念呢？循著這些追問，筆者“鏈接”著找來賀信淳老師的著作《初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指要》（上、下冊）（見文2、3），該書不同于當前各種版本中數(shù)學(xué)知識雜亂排列的現(xiàn)狀，而是按知識塊系統(tǒng)呈現(xiàn)各個知識模塊、知識體系，筆者主要研習(xí)了該書上冊“第五章 函數(shù)及其圖像”，本文整理該章的學(xué)習(xí)心得，供分享.

一、“函數(shù)及其圖像”內(nèi)容簡述

這一章中主要分六小節(jié)，第一節(jié)是關(guān)于坐標的幾個問題，在定義了平面直角坐標系之后，配發(fā)的例題都是很有“數(shù)學(xué)味”（與所謂“生活味”相比）的.比如：

例1 回答下列問題：

（1）設(shè)P點的坐標為（a，b），如果ab>0，那么P點在第幾象限？如果ab≤0，指出P點的位置.

（2）設(shè)Q點在第三象限的角平分線上，它的坐標是（m+1，m2+3m-2），求m的值.

簡評：這樣的習(xí)題溝通了代數(shù)不同領(lǐng)域知識之間的關(guān)聯(lián)，有效促進學(xué)習(xí)者聯(lián)系起來學(xué)，而不是將知識碎片化、零散化.

在坐標系基本概念之后，還安排學(xué)習(xí)坐標系下的對稱（關(guān)于x軸、y軸、原點對稱），平面內(nèi)兩點間的距離公式（該知識在世紀之初的初中教材中被刪減）.

第二節(jié)是怎樣理解函數(shù)概念.作者針對初中數(shù)學(xué)課本上的那段經(jīng)典的函數(shù)定義“設(shè)在某變化過程中有兩個變量x和y.如果對于x在某一范圍內(nèi)每一個確定的值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么就把y叫作x的函數(shù)，x叫作自變量”給出如下理解：首先，函數(shù)概念涉及兩個變量（自變量x和函數(shù)y）；第二，所涉及的兩個變量要有某種確定的對應(yīng)關(guān)系（單值對應(yīng)），這種對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì).特別指出，如果兩個變量之間雖有一定的相依關(guān)系，但這種關(guān)系不是“唯一確定”的對應(yīng)關(guān)系，那么這兩個變量就不存在函數(shù)關(guān)系.并舉例“一塊種植小麥的土地，收獲量與施肥量之間是有一定相依關(guān)系的，但是，它們之間不存在‘唯一確定’的對應(yīng)關(guān)系.施肥量為5公斤/畝，那么收獲量是多少呢？不唯一確定，因此收獲量與施肥量之間不存在函數(shù)關(guān)系”.第三，自變量x是有一定的取值范圍的.概括起來說，構(gòu)造函數(shù)概念的三個因素是：兩個變量，自變量的取值范圍，兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.為了更深入、全面地理解函數(shù)概念，還應(yīng)認清自變量與函數(shù)是相對的，可以互相轉(zhuǎn)化.并結(jié)合勻速運動中，路程、時間、速度之間的函數(shù)關(guān)系，就是可以轉(zhuǎn)化的來理解.

第三節(jié)是怎樣求自變量的取值范圍.作者先概述了五類函數(shù)解析式（整式、分式、根式、指數(shù)式、對數(shù)式），并跟進例題講解這些函數(shù)解析式中自變量取值范圍的研究.然后結(jié)合實際意義或幾何意義的問題，強調(diào)自變量需要滿足的具體條件.

第四節(jié)是正比例函數(shù)、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的特征，第五節(jié)是二次函數(shù)的基本性質(zhì).這兩節(jié)的內(nèi)容與現(xiàn)行初中教材上的內(nèi)容基本一致，研究的套路和順序也類似，即從概念、圖像與性質(zhì)展開，強調(diào)了“密切數(shù)與形的結(jié)合，研究函數(shù)圖像與性質(zhì)”，作者指出：要深刻理解它們，必須做到見了函數(shù)式立刻想到（畫出）它的圖像，并能結(jié)合圖像記憶與運用它的性質(zhì)；反之，見了函數(shù)的圖像（直線或雙曲線或拋物線）能求出函數(shù)的解析式，并能根據(jù)圖像的特征說明函數(shù)式中的k和b或相關(guān)系數(shù)的正負號.也就是“從數(shù)到形”與“從形到數(shù)”的運用.

第六節(jié)是用函數(shù)觀點認識代數(shù)式、方程與不等式.首先是用函數(shù)觀點認識代數(shù)式，作者指出“含有字母的代數(shù)式，可以看作是含有某一個字母變數(shù)的函數(shù)表達式.例如3t-2、a2-a+1分別可以看作是關(guān)于t的一次函數(shù)式與關(guān)于a的二次函數(shù)式.而a2-3ab+2b2，既可看作關(guān)于a的二次函數(shù)式y(tǒng)=a2-3ab+2b2，也可以看作關(guān)于b的二次函數(shù)式y(tǒng)=a2-3ab+2b2.就當前的各版本數(shù)學(xué)課本來看，都沒有這個內(nèi)容的介紹，值得我們思考.在用函數(shù)觀點認識方程與不等式時，作者提供了下面的框圖（如圖1）表示，能一目了然.

圖1

圖2

值得一說的是，在這一節(jié)最后，作者安排了一道例題：

例2 設(shè)一元二次方程x2+（m-5）x+1-m=0的一個根大于3，另一根小于3，試求m的取值范圍.

解析時構(gòu)圖（如圖2），分析出當x=3時，二次函數(shù)的值小于0，可得不等式32+（m-5）×3+1-m＜0，解之，得m＜2.5.

作者最后指出，討論一元二次方程根的分布，是數(shù)學(xué)中的一個重要課題，題目類型很多，有易有難，上面的例題是其中一種簡單類型，關(guān)于這個問題更深入的討論，將放到高中研究.

二、關(guān)于“函數(shù)及其圖像”的學(xué)習(xí)體會與教學(xué)思考

1.函數(shù)是一個“整體”，認識從“孤立”走向“關(guān)聯(lián)”.

研習(xí)該書的函數(shù)及其圖像的最大體會就是感受到函數(shù)是一個整體，作者用6個小節(jié)來講解函數(shù)及其圖像，而前三個小節(jié)都是針對函數(shù)的概念與相關(guān)概念進行敘述，沒有急于分述一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，而是帶領(lǐng)研習(xí)者整體感受函數(shù)的概念、函數(shù)的本質(zhì)、函數(shù)與之前的一些數(shù)學(xué)知識如何聯(lián)系，特別是最后一節(jié)用函數(shù)觀點認識代數(shù)式、方程與不等式，更是加強了我們對整體的認識.以函數(shù)觀點認識代數(shù)式來看，筆者在近期一次?？荚囶}中，曾講過一道類似觀點的考題，這里鏈接如下：

考題1：已知代數(shù)式-2x+4.

（1）-2x+4______x的函數(shù)（填“是”或“不是”）；

（2）當x取3-a時，請你以a的取值為橫坐標，對應(yīng)的-2x+4的值為縱坐標，畫出其圖像；

（3）若（2）中的圖像與橫軸、縱軸分別相交于點A、B，點P在線段AB上（不與A、B重合），P到橫軸、縱軸的距離分別為d1、d2，求d1d2的取值范圍.

教學(xué)記錄：因為學(xué)生不熟悉以函數(shù)觀點看代數(shù)式，或沒有深刻理解函數(shù)的本質(zhì)，故這道考題的第（1）問很多考生都無所適從，認為這不符合函數(shù)y=kx+b的形式，故判定-2x+4不是x的函數(shù).

圖3

2.通過不同的問題情境重視函數(shù)自變量取值范圍的教學(xué).

研習(xí)該書的第二個體會就是作者十分重視函數(shù)自變量的取值范圍.不僅在講解函數(shù)概念的本質(zhì)時特別強調(diào)函數(shù)自變量的取值范圍，而且用兩個小節(jié)從不同角度（解析式特點、生活情境）講解函數(shù)自變量的取值范圍.而就我們在當下的不少初中課本上的函數(shù)內(nèi)容來看，明顯淡化了函數(shù)自變量取值范圍的教學(xué)要求，這也使得學(xué)生面臨一些中考綜合題時，常常因為忽視對自變量取值范圍的討論而影響考題的整體求解.這應(yīng)該引起我們的教學(xué)重視.這里引用一道模考題，就體現(xiàn)了重視自變量取值范圍教學(xué)的重要.

考題2：如圖3，在菱形ABCD中，AB=3，∠BAD=120°，點E從點B出發(fā)，沿BC和CD邊移動，作EF⊥直線AB于點F.

（1）當點E運動到C點時，求DF的長；

（2）設(shè)點E移動的路程為x，△DEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

教學(xué)記錄：就我們批閱所見，不少學(xué)生因為缺少對自變量取值范圍的理解，在解答第（2）問時錯漏較多，突出表現(xiàn)在只考慮點E在BC邊上一種情況.

3.函數(shù)教學(xué)要特別重視數(shù)形結(jié)合思想方法示范與訓(xùn)練.

函數(shù)是溝通數(shù)形的重要數(shù)學(xué)概念，借助平面直角坐標系，可以把函數(shù)解析式對應(yīng)的圖像精確繪制，從而研究函數(shù)的性質(zhì).這個過程中體現(xiàn)出來的數(shù)形結(jié)合思想是很多老師都會重視的.然而在研習(xí)該書時，我們注意到作者特別強調(diào)數(shù)形結(jié)合的重要性，善于從不同角度舉例說明，包括“由數(shù)到形”“由形到數(shù)”“數(shù)形互助”指導(dǎo).上面例2就是數(shù)形結(jié)合的一個好例子，而且這種例子不僅訓(xùn)練了學(xué)生對二次函數(shù)圖像的理解與運用，又啟示了下一學(xué)段（高中階段）學(xué)生將要系統(tǒng)研究一元二次方程根的分布情況.想來，這類“承上啟下”的數(shù)學(xué)知識恰恰是我們初中教師要多關(guān)注和研究的.

1.賀信淳.從多角度審視一道中考試題說開去——談對初中數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀之惑［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（12）.

2.賀信淳，喬家瑞，明知白.初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指要（上冊）——獻給初中同學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1989.

3.賀信淳，孫維剛，喬家瑞，明知白.初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指要（下冊）——獻給初中同學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1989.