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        從“同材異構”落實“用教材教”

        2017-06-26 10:59:57甘肅西和縣稍峪中學
        中學數(shù)學雜志 2017年12期
        關鍵詞:梯子勾股定理用水量

        ☉甘肅西和縣稍峪中學 呂 強

        從“同材異構”落實“用教材教”

        ☉甘肅西和縣稍峪中學 呂 強

        教材是用于教學的材料,教學內容的載體,實現(xiàn)教學目標的工具.使用教材的目的是實現(xiàn)教學目標,而終極目標是促進學生的發(fā)展.“用教材教”也就是活用教材、創(chuàng)造性地使用教材,讓教材為教師所用,為學生所用.《國家基礎教育課程改革指導綱要》明確提出了“用教材教”而不是“教教材”的新觀念.任何教材到了師生手中,都有一個再加工、再創(chuàng)造的生本化的問題,即將其內化的問題,這樣內化了的教材有別于通用教材,也更切合學生的實際.新課程的真正價值是在教與學互動中創(chuàng)生出來,“用教材教”只有圍繞學生展開,才顯得有實際意義和教學價值.正如葉圣陶先生所說:教材無非是個例子.憑這個“例子”讓學生學會舉一反三,促進了學生的發(fā)展,教材也就用活了.下面從“同樣的教材、異樣的課堂構建”的層面,通過案例展現(xiàn)“用教材教”的創(chuàng)意.

        案例1:人教版數(shù)學八年級下冊(教育部審定2013)第十七章“勾股定理”第1節(jié)“勾股定理”中用勾股定理解決幾個問題的例1與例2.

        例1 一個門框的尺寸如圖1所示,一塊長3m、寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內通過?為什么?

        [教材回顧]

        分析:可以看出,木板橫著或豎著都不能從門框內通過,只能試試斜著能否通過.門框對角線AC的長度是斜著能通過的最大長度.求出AC,再與木板的寬比較,就能知道木板能否通過.

        解:在Rt△ABC中,根據勾股定理,AC2=AB2+BC2=12+ 22=5.

        因為AC大于木板的寬2.2m,因此木板能從門框內通過.

        [同材異構]

        圖1

        生1:能,可以表示為2.22的算術平方根,即

        生2:在Rt△ABC中,根據勾股定理,AC2=AB2+BC2= 12+22=5.所以

        故AC>2.2,因此木板能從門框內通過.

        師:在不用計算器、不取近似值的情況下,同學們巧妙地解決了問題,很好!

        例2 如圖2,一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上,這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?

        [教材回顧]

        解:可以看出,BD=OD-OB.

        在Rt△AOB中,根據勾股定理,OB2= AB2-OA2=2.62-2.42=1.

        圖2

        在Rt△COD中,根據勾股定理,OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.

        BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.

        所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時,梯子底端并不外移0.5m,而是外移約0.77m.

        [同材異構]

        生1:能,可以看出,BD=OD-OB.

        在Rt△AOB中,根據勾股定理,OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.

        在Rt△COD中,根據勾股定理,OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.

        所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時,梯子底端并不外移0.5m.

        師:很好的解法!不取近似值且用作差比較大小,十分巧妙.還有其他解法嗎?

        生2:有,梯子底端B外移0.5m時,設梯子的頂端A沿墻下滑x(x≠0)m,再比較x與0.5的大小,問題就可以解決了.

        在Rt△AOB中,根據勾股定理,OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.

        OB=1.

        OD=OB+BD=1+0.5=1.5.

        在Rt△COD中,根據勾股定理,OC2=CD2-OD2=2.62-1.52.

        OC≈2.1.

        OC=OA-x=2.4-x,即2.4-x≈2.1.

        因此x≈0.3.

        所以梯子底端B外移0.5m時,梯子的頂端A沿墻下滑約0.3m.

        師:用方程思想處理問題,“打開了思維的另一扇門”,拓展了思路,這種解法美中不足的是要開平方、取近似值.

        生3:我還有一種解法,設梯子的頂端A沿墻下滑x(x≠0)m,梯子底端B也外移xm,再比較x與0.5的大小,問題就可以解決了.

        在Rt△AOB中,根據勾股定理,OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.

        OB=1.

        在Rt△COD中,根據勾股定理,OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-x)2.

        OD=OB+BD=1+x.

        (1+x)2=2.62-(2.4-x)2.

        整理化簡,得(x-1.4)x=0.又x≠0,因此x=1.4.

        所以梯子的頂端沿墻下滑的距離與梯子底端外移距離相等時,其距離為1.4m,而不是0.5m.

        師:用方程思想處理問題,又不用開平方、取近似值,兩全其美,漂亮!

        案例2:人教版數(shù)學九年級上冊(教育部審定2013)第二十一章“一元二次方程”第3節(jié)“實際問題與一元二次方程”中的探究3.

        圖3

        如圖3,要設計一本書的封面,封面長27cm、寬21cm,正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形.如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應如何設計四周邊襯的寬度(結果保留小數(shù)點后一位)?

        [教材回顧]

        分析:封面的長、寬之比是27∶21=9∶7,中央的矩形的長、寬之比也應是9∶7.設中央的矩形的長和寬分別是9acm和7acm,由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是

        設上、下邊襯的寬均為9xcm,左、右邊襯的寬均為7xcm,則中央的矩形的長為(27-18x)cm,寬為(21-14x)cm.

        要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一,則中央的矩形的面積是封面面積的四分之三.于是可列出方程(27-18x)(21-14x)=

        整理,得16x2-48x+9=0.

        方程的哪個根符合實際意義?為什么?

        思考:如果換一種設未知數(shù)的方法,是否可以更簡單地解決上面的問題?請你試一試.

        點評:課本上的分析、解答及設問,層層展開,環(huán)環(huán)相扣,將一個實際問題轉化為數(shù)學問題,推理嚴密,論證充分,可以有效培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力,值得一提的是教材編排的思考,可謂“言未盡意無窮”,給出了師生解決問題的思路導引及其探究的廣闊余地.基于此,在課堂上我們開展了一樣的教材不一樣的探究活動.

        [同材異構]

        師:從教材編排“思考”的用意來看,課本上提供的解決問題的途徑并非最佳方案,有待優(yōu)化,我們靜下心來想想其不足之處在哪里,再就不足進行優(yōu)化.誰先談談自己的看法呢?

        生1:解方程這個環(huán)節(jié)可以優(yōu)化:

        因為9x>0,27-18x>0,21-14x>0,所以0<x<1.5.

        因此x2=不符合實際,應該舍去.

        所以上、下邊襯的寬均約為1.9cm,左、右邊襯的寬均約為1.4cm.

        師:教材上用公式法解一元二次方程,運算量大,耗時低效,生1的解法抓住原方程兩邊的數(shù)字特征并化簡方程,利用直接開平方法巧解方程,簡捷、高效,值得學習.

        生2:可以直接設未知量,優(yōu)化解題.

        要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一,則中央的矩形的面積是封面面積的四分之三.于是可列出方程

        師:直接設未知量和間接設未知量是常用的兩種基本方法,生2選用了直接設未知量并用直接開平方法巧解方程,恰到好處,值得借鑒.

        生3:可以引入一個未知數(shù)x及含x的代數(shù)式,優(yōu)化解題.

        封面的長、寬之比是27∶21=9∶7,中央的矩形的長、寬之比也應是9∶7.設中央的矩形的長和寬分別是9xcm和 7xcm,由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是(27-9x)

        四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一,于是可列出方程27(21-7x)+7x(27-9x)=×27×21,或21(27-9x)+9x(21-7x)=×27×21,或27(21-7x)+ 21(27-9x)-(27-9x)(21-7x)=×27×21.

        師:很好!生3的解析只引入一個參數(shù)x,并且把封面邊襯的面積用多種形式表達出來,難能可貴,而且方程化簡后用直接開平方法巧解,值得稱贊.

        生4:可以引入一個參數(shù)x并用它表示中央矩形的面積,優(yōu)化解題.

        封面的長、寬之比是27∶21=9∶7,中央的矩形的長、寬之比也應是9∶7.設中央的矩形的長和寬分別是9xcm和7xcm,由此得:中央的矩形的面積是9x×7x=63x2(cm2);上、下邊襯的寬度均為(27-9x)cm,左、右邊襯的寬度均為

        要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一,則中央的矩形的面積是封面面積的四分之三,于是可列出方程

        去).

        師:非常好!相比之下,生4的解析是解決這個問題的最佳方案,從所設中央的矩形的長和寬分別是9xcm和7xcm,推理得到中央的矩形的面積是9x×7x=63x2(cm2)和“上、下邊襯的寬度均為(27-9x)cm,左、右邊襯的寬度均為(21-7x)cm”,充分挖掘題目中的隱含條件,化難為易,用簡單一元二次方程破解問題,值得借鑒.

        案例3:人教版數(shù)學九年級上冊(教育部審定2013)第二十五章“概率初步”第3節(jié)“用頻率估計概率”中的問題2.

        某水果公司以2元/kg的成本價新進10000kg柑橘.如果公司希望這些柑橘能夠獲得利潤5000元,那么在出售柑橘(去掉損壞的柑橘)時,每千克大約定價為多少元比較合適?

        [教材回顧]

        銷售人員首先從所有的柑橘中隨機抽取若干柑橘,進行“柑橘損壞率”統(tǒng)計,并把獲得的數(shù)據記錄在表1中,請你幫忙完成此表.

        表1

        填完表后,從表1可以看出,隨著柑橘質量的增加,柑橘損壞的頻率越來越穩(wěn)定.柑橘總質量為500kg時的損壞頻率為0.103,于是可以估計柑橘損壞的概率為0.1(結果保留小數(shù)點后一位).由此可知,柑橘完好的概率為0.9.

        根據估計的概率可以知道,在10000kg柑橘中完好柑橘的質量為10000×0.9=9000(kg).

        設每千克柑橘的售價為x元,則(x-2.22)×9000= 5000.

        解得x≈2.8(元).

        因此,出售柑橘時,每千克大約定價為2.8元可獲利潤5000元.

        點評:課本上的解答給人一種舍近求遠且零散的感覺,于是引領學生開展了一樣的教材不一樣的探究活動.

        [同材異構]

        生:根據估計,柑橘損壞的概率為0.1(結果保留小數(shù)點后一位),柑橘完好的概率為0.9.

        可以知道,在10000kg柑橘中完好柑橘的質量為10000×0.9=9000(kg).

        設每千克柑橘的售價為x元,則9000x-10000×2= 5000.

        解得x≈2.8(元).

        因此,出售柑橘時,每千克大約定價為2.8元可獲利潤5000元.

        師:這種解法繞開了“完好柑橘的實際成本”這個概念及其相關計算,從另一個角度思考,巧用“總售價-總成本=總利潤”解決問題,可謂另辟蹊徑,更簡捷.

        案例4:人教版數(shù)學年七級下冊(2004年審定)第十章“數(shù)據的收集、整理與描述”第3節(jié)“課題學習 從數(shù)據談節(jié)水”中的部分內容.

        請合作完成下面的活動.

        1.閱讀后面附錄中的資料,從中收集數(shù)據,畫出統(tǒng)計圖,并回答下列問題:

        (1)地球上的水資源和淡水資源分布情況怎樣?

        (2)我國農業(yè)和工業(yè)耗水量情況怎樣?

        (3)我國不同年份城市生活用水的變化趨勢怎樣?

        (4)根據外國的經驗,一個國家的用水量超過其水資源總量的20%,就有可能發(fā)生“水危機”,依據這個標準,我國2000年是否曾出現(xiàn)“水危機”?

        附錄:背景資料

        地球上的水包括大氣水、地表水和地下水三大類.地表水可分為海洋水和陸地水.陸地水又可分為冰川、河流、胡泊等.地球上水的總體積是14.2億立方千米.其中,海洋水約占96.53%以上,淡水約占2.53%.而淡水中,大部分在兩極的冰川、冰蓋和以地下水的形式存在,其中冰川、冰蓋占77.2%,地下水占22.4%,而人類可以利用的水還不到1%.

        目前,由于世界人口增長、水污染及水資源浪費等原因,所以全世界面臨著淡水資源不足的問題.世界各國特別是發(fā)展中國家水資源緊缺問題越來越嚴重.發(fā)展中國家疾病死亡事件中80%與缺水和水資源污染有關.

        我國是世界上嚴重缺水的國家之一.中國水資源總量約為2.75×104億立方米,居世界第六位.人均占有水量僅為2400立方米左右,只相當于世界人均的.居世界第110位.中國已被聯(lián)合國列為13個貧水國家之一.

        隨著水利事業(yè)的發(fā)展,我國的水利建設工程取得了突飛猛進的發(fā)展.但由于人口、經濟的進一步發(fā)展,水資源供應和需求出現(xiàn)了日益尖銳的矛盾.缺水狀況在全國范圍內普遍存在.以城市供水為例,全國大約670個城市中,一半以上不同程度缺水,其中嚴重缺水的有110多個.20世紀80年代以來,我國北方許多大中城市因缺水致使居民定量供水,電廠、工廠停產或限產.

        我國一方面存在水資源的供不應求,另一方面水資源得不到合理利用.這表現(xiàn)在農業(yè)用水效率很低,在灌溉農田時,60%的水消耗于蒸發(fā)滲透.農業(yè)用水量由1979年的4195億立方米,到1990年的4634億立方米,發(fā)展到2000年的5147億立方米.工業(yè)用水的重復利用率僅50%,用水量由1979年的523億立方米,到1990年的702億立方米,上升到2000年的944億立方米.城市生活用水量逐年上升(見表2).

        表2:全國不同年份主要城市生活用水情況 (單位:萬噸)

        水資源的短缺已成為制約社會和經濟發(fā)展的重要因素.合理利用水資源是人類可持續(xù)發(fā)展的當務之急.而節(jié)約用水是水資源合理利用的關鍵所在,是最快捷、最有效、最可行的維護水資源可持續(xù)利用的途徑之一.我們每個家庭和個人都應該有節(jié)約用水的意識,積極參與節(jié)水行動,這是實現(xiàn)水資源合理利用的前提和保證.

        點評:教材僅僅設計了相關問題,給師生解決問題留下廣闊空間.基于此,在課堂上,我們對“我國2000年是否曾出現(xiàn)‘水危機’”開展了一樣的教材不一樣的探究活動.

        [同材異構]

        師:請閱讀“附錄”中的資料,從中收集數(shù)據,并整理數(shù)據.

        生:我國水資源總量約為27500億立方米;在2000年,我國農業(yè)用水量為5147億立方米,我國工業(yè)用水量為944億立方米,我國城市生活用水量為1944235萬噸≈194億噸.

        師:請分組討論我國2000年是否出現(xiàn)“水危機”.

        陽光組:2000年我國用水量為5147+944=6091(億立方米),用水量占水資源總量的百分比為≈22.1%>20%,結論是我國2000年出現(xiàn)“水危機”.

        超越組:2000年我國用水量為5147+944+194= 6285(億立方米)(一般1立方米的水為1噸重,這里學生已考慮了)用水量占水資源總量的百分比為100%≈22.9%>20%,結論是我國2000年出現(xiàn)“水危機”.

        奮進組:無法求解,因為資料中沒有給出2000年我國農村生活用水量,所以無法求出2000年我國用水量……

        紅火組:不能求解,理由:資料中沒有給出2000年我國農村生活用水量,網上也搜索不到,若時光倒流十年,我們就能通過抽樣調查得到2000年我國農村用水量,問題就迎刃而解了.

        時光特組、常青組和反思組:無法求解.

        師:陽光組和超越組,雷厲風行速度第一,但未理清題意,欲速則不達,結論錯誤;其余五個組的無法求解論點是否正確呢?(問題懸而未決,討論進入“死胡同”,學生的思維處在“山窮水盡”的境地)

        師:同學們,如果這個問題無法解,那么教材就有大毛病了.是課本錯了,還是我們的思維不到位呢?讓我們再次把目光投向陽光組和超越組的那個錯誤結論,在“錯誤”里,我們能否找到一線希望呢?(一石激起千層浪,一語正中要害,同學們各抒己見,討論又進入了新高潮)

        生1:陽光組,雖然錯了,但給我們留下了走向成功的“臺階”,×100%≈22.1%是2000年工農業(yè)用水與水資源總量的比,而它已經大于20%了,也就是說僅工農業(yè)用水已使我國出現(xiàn)了“水危機”,如果再加生活用水的話,“水危機”的程度就再加一等.(掌聲如雷)

        師:講得很到位,非常精彩!這是一個生活中的實際問題,它的解決我們最終用了“不等式”這個數(shù)學工具,也給我們留下有益的啟示:不能直接解決的問題,可以間接突破;整體無法解決的問題,可以從局部切入;利用相等關系無法解決的問題,可以從不等關系思考.體驗得出結論的過程比掌握結論更重要、更有價值.

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