☉甘肅西和縣稍峪中學(xué) 呂 強(qiáng)

從“同材異構(gòu)”落實“用教材教”

☉甘肅西和縣稍峪中學(xué) 呂 強(qiáng)

教材是用于教學(xué)的材料，教學(xué)內(nèi)容的載體，實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的工具.使用教材的目的是實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，而終極目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.“用教材教”也就是活用教材、創(chuàng)造性地使用教材，讓教材為教師所用，為學(xué)生所用.《國家基礎(chǔ)教育課程改革指導(dǎo)綱要》明確提出了“用教材教”而不是“教教材”的新觀念.任何教材到了師生手中，都有一個再加工、再創(chuàng)造的生本化的問題，即將其內(nèi)化的問題，這樣內(nèi)化了的教材有別于通用教材，也更切合學(xué)生的實際.新課程的真正價值是在教與學(xué)互動中創(chuàng)生出來，“用教材教”只有圍繞學(xué)生展開，才顯得有實際意義和教學(xué)價值.正如葉圣陶先生所說：教材無非是個例子.憑這個“例子”讓學(xué)生學(xué)會舉一反三，促進(jìn)了學(xué)生的發(fā)展，教材也就用活了.下面從“同樣的教材、異樣的課堂構(gòu)建”的層面，通過案例展現(xiàn)“用教材教”的創(chuàng)意.

案例1：人教版數(shù)學(xué)八年級下冊（教育部審定2013）第十七章“勾股定理”第1節(jié)“勾股定理”中用勾股定理解決幾個問題的例1與例2.

例1 一個門框的尺寸如圖1所示，一塊長3m、寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？

［教材回顧］

分析：可以看出，木板橫著或豎著都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過.門框?qū)蔷€AC的長度是斜著能通過的最大長度.求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板能否通過.

解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+ 22=5.

因為AC大于木板的寬2.2m，因此木板能從門框內(nèi)通過.

［同材異構(gòu)］

圖1

生1：能，可以表示為2.22的算術(shù)平方根，即

生2：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2= 12+22=5.所以

故AC＞2.2，因此木板能從門框內(nèi)通過.

師：在不用計算器、不取近似值的情況下，同學(xué)們巧妙地解決了問題，很好！

例2 如圖2，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？

［教材回顧］

解：可以看出，BD=OD-OB.

在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，OB2= AB2-OA2=2.62-2.42=1.

圖2

在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-（2.4-0.5）2=3.15.

BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.

所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不外移0.5m，而是外移約0.77m.

［同材異構(gòu)］

生1：能，可以看出，BD=OD-OB.

在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.

在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-（2.4-0.5）2=3.15.

所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不外移0.5m.

師：很好的解法！不取近似值且用作差比較大小，十分巧妙.還有其他解法嗎？

生2：有，梯子底端B外移0.5m時，設(shè)梯子的頂端A沿墻下滑x（x≠0）m，再比較x與0.5的大小，問題就可以解決了.

在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.

OB=1.

OD=OB+BD=1+0.5=1.5.

在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OC2=CD2-OD2=2.62-1.52.

OC≈2.1.

OC=OA-x=2.4-x，即2.4-x≈2.1.

因此x≈0.3.

所以梯子底端B外移0.5m時，梯子的頂端A沿墻下滑約0.3m.

師：用方程思想處理問題，“打開了思維的另一扇門”，拓展了思路，這種解法美中不足的是要開平方、取近似值.

生3：我還有一種解法，設(shè)梯子的頂端A沿墻下滑x（x≠0）m，梯子底端B也外移xm，再比較x與0.5的大小，問題就可以解決了.

在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.

OB=1.

在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-（2.4-x）2.

OD=OB+BD=1+x.

（1+x）2=2.62-（2.4-x）2.

整理化簡，得（x-1.4）x=0.又x≠0，因此x=1.4.

所以梯子的頂端沿墻下滑的距離與梯子底端外移距離相等時，其距離為1.4m，而不是0.5m.

師：用方程思想處理問題，又不用開平方、取近似值，兩全其美，漂亮！

案例2：人教版數(shù)學(xué)九年級上冊（教育部審定2013）第二十一章“一元二次方程”第3節(jié)“實際問題與一元二次方程”中的探究3.

圖3

如圖3，要設(shè)計一本書的封面，封面長27cm、寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形.如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？

［教材回顧］

分析：封面的長、寬之比是27∶21=9∶7，中央的矩形的長、寬之比也應(yīng)是9∶7.設(shè)中央的矩形的長和寬分別是9acm和7acm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是

設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，左、右邊襯的寬均為7xcm，則中央的矩形的長為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm.

要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，則中央的矩形的面積是封面面積的四分之三.于是可列出方程（27-18x）（21-14x）=

整理，得16x2-48x+9=0.

方程的哪個根符合實際意義？為什么？

思考：如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面的問題？請你試一試.

點評：課本上的分析、解答及設(shè)問，層層展開，環(huán)環(huán)相扣，將一個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，推理嚴(yán)密，論證充分，可以有效培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，值得一提的是教材編排的思考，可謂“言未盡意無窮”，給出了師生解決問題的思路導(dǎo)引及其探究的廣闊余地.基于此，在課堂上我們開展了一樣的教材不一樣的探究活動.

［同材異構(gòu)］

師：從教材編排“思考”的用意來看，課本上提供的解決問題的途徑并非最佳方案，有待優(yōu)化，我們靜下心來想想其不足之處在哪里，再就不足進(jìn)行優(yōu)化.誰先談?wù)勛约旱目捶兀?/p>

生1：解方程這個環(huán)節(jié)可以優(yōu)化：

因為9x＞0，27-18x＞0，21-14x＞0，所以0＜x＜1.5.

因此x2=不符合實際，應(yīng)該舍去.

所以上、下邊襯的寬均約為1.9cm，左、右邊襯的寬均約為1.4cm.

師：教材上用公式法解一元二次方程，運(yùn)算量大，耗時低效，生1的解法抓住原方程兩邊的數(shù)字特征并化簡方程，利用直接開平方法巧解方程，簡捷、高效，值得學(xué)習(xí).

生2：可以直接設(shè)未知量，優(yōu)化解題.

要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，則中央的矩形的面積是封面面積的四分之三.于是可列出方程

師：直接設(shè)未知量和間接設(shè)未知量是常用的兩種基本方法，生2選用了直接設(shè)未知量并用直接開平方法巧解方程，恰到好處，值得借鑒.

生3：可以引入一個未知數(shù)x及含x的代數(shù)式，優(yōu)化解題.

封面的長、寬之比是27∶21=9∶7，中央的矩形的長、寬之比也應(yīng)是9∶7.設(shè)中央的矩形的長和寬分別是9xcm和 7xcm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是（27-9x）

四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，于是可列出方程27（21-7x）+7x（27-9x）=×27×21，或21（27-9x）+9x（21-7x）=×27×21，或27（21-7x）+ 21（27-9x）-（27-9x）（21-7x）=×27×21.

師：很好！生3的解析只引入一個參數(shù)x，并且把封面邊襯的面積用多種形式表達(dá)出來，難能可貴，而且方程化簡后用直接開平方法巧解，值得稱贊.

生4：可以引入一個參數(shù)x并用它表示中央矩形的面積，優(yōu)化解題.

封面的長、寬之比是27∶21=9∶7，中央的矩形的長、寬之比也應(yīng)是9∶7.設(shè)中央的矩形的長和寬分別是9xcm和7xcm，由此得：中央的矩形的面積是9x×7x=63x2（cm2）；上、下邊襯的寬度均為（27-9x）cm，左、右邊襯的寬度均為

要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，則中央的矩形的面積是封面面積的四分之三，于是可列出方程

去）.

師：非常好！相比之下，生4的解析是解決這個問題的最佳方案，從所設(shè)中央的矩形的長和寬分別是9xcm和7xcm，推理得到中央的矩形的面積是9x×7x=63x2（cm2）和“上、下邊襯的寬度均為（27-9x）cm，左、右邊襯的寬度均為（21-7x）cm”，充分挖掘題目中的隱含條件，化難為易，用簡單一元二次方程破解問題，值得借鑒.

案例3：人教版數(shù)學(xué)九年級上冊（教育部審定2013）第二十五章“概率初步”第3節(jié)“用頻率估計概率”中的問題2.

某水果公司以2元/kg的成本價新進(jìn)10000kg柑橘.如果公司希望這些柑橘能夠獲得利潤5000元，那么在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時，每千克大約定價為多少元比較合適？

［教材回顧］

銷售人員首先從所有的柑橘中隨機(jī)抽取若干柑橘，進(jìn)行“柑橘損壞率”統(tǒng)計，并把獲得的數(shù)據(jù)記錄在表1中，請你幫忙完成此表.

表1

填完表后，從表1可以看出，隨著柑橘質(zhì)量的增加，柑橘損壞的頻率越來越穩(wěn)定.柑橘總質(zhì)量為500kg時的損壞頻率為0.103，于是可以估計柑橘損壞的概率為0.1（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.由此可知，柑橘完好的概率為0.9.

根據(jù)估計的概率可以知道，在10000kg柑橘中完好柑橘的質(zhì)量為10000×0.9=9000（kg）.

設(shè)每千克柑橘的售價為x元，則（x-2.22）×9000= 5000.

解得x≈2.8（元）.

因此，出售柑橘時，每千克大約定價為2.8元可獲利潤5000元.

點評：課本上的解答給人一種舍近求遠(yuǎn)且零散的感覺，于是引領(lǐng)學(xué)生開展了一樣的教材不一樣的探究活動.

［同材異構(gòu)］

生：根據(jù)估計，柑橘損壞的概率為0.1（結(jié)果保留小數(shù)點后一位），柑橘完好的概率為0.9.

可以知道，在10000kg柑橘中完好柑橘的質(zhì)量為10000×0.9=9000（kg）.

設(shè)每千克柑橘的售價為x元，則9000x-10000×2= 5000.

解得x≈2.8（元）.

因此，出售柑橘時，每千克大約定價為2.8元可獲利潤5000元.

師：這種解法繞開了“完好柑橘的實際成本”這個概念及其相關(guān)計算，從另一個角度思考，巧用“總售價-總成本=總利潤”解決問題，可謂另辟蹊徑，更簡捷.

案例4：人教版數(shù)學(xué)年七級下冊（2004年審定）第十章“數(shù)據(jù)的收集、整理與描述”第3節(jié)“課題學(xué)習(xí) 從數(shù)據(jù)談節(jié)水”中的部分內(nèi)容.

請合作完成下面的活動.

1.閱讀后面附錄中的資料，從中收集數(shù)據(jù)，畫出統(tǒng)計圖，并回答下列問題：

（1）地球上的水資源和淡水資源分布情況怎樣？

（2）我國農(nóng)業(yè)和工業(yè)耗水量情況怎樣？

（3）我國不同年份城市生活用水的變化趨勢怎樣？

（4）根據(jù)外國的經(jīng)驗，一個國家的用水量超過其水資源總量的20%，就有可能發(fā)生“水危機(jī)”，依據(jù)這個標(biāo)準(zhǔn)，我國2000年是否曾出現(xiàn)“水危機(jī)”？

附錄：背景資料

地球上的水包括大氣水、地表水和地下水三大類.地表水可分為海洋水和陸地水.陸地水又可分為冰川、河流、胡泊等.地球上水的總體積是14.2億立方千米.其中，海洋水約占96.53%以上，淡水約占2.53%.而淡水中，大部分在兩極的冰川、冰蓋和以地下水的形式存在，其中冰川、冰蓋占77.2%，地下水占22.4%，而人類可以利用的水還不到1%.

目前，由于世界人口增長、水污染及水資源浪費(fèi)等原因，所以全世界面臨著淡水資源不足的問題.世界各國特別是發(fā)展中國家水資源緊缺問題越來越嚴(yán)重.發(fā)展中國家疾病死亡事件中80%與缺水和水資源污染有關(guān).

我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一.中國水資源總量約為2.75×104億立方米，居世界第六位.人均占有水量僅為2400立方米左右，只相當(dāng)于世界人均的.居世界第110位.中國已被聯(lián)合國列為13個貧水國家之一.

隨著水利事業(yè)的發(fā)展，我國的水利建設(shè)工程取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展.但由于人口、經(jīng)濟(jì)的進(jìn)一步發(fā)展，水資源供應(yīng)和需求出現(xiàn)了日益尖銳的矛盾.缺水狀況在全國范圍內(nèi)普遍存在.以城市供水為例，全國大約670個城市中，一半以上不同程度缺水，其中嚴(yán)重缺水的有110多個.20世紀(jì)80年代以來，我國北方許多大中城市因缺水致使居民定量供水，電廠、工廠停產(chǎn)或限產(chǎn).

我國一方面存在水資源的供不應(yīng)求，另一方面水資源得不到合理利用.這表現(xiàn)在農(nóng)業(yè)用水效率很低，在灌溉農(nóng)田時，60%的水消耗于蒸發(fā)滲透.農(nóng)業(yè)用水量由1979年的4195億立方米，到1990年的4634億立方米，發(fā)展到2000年的5147億立方米.工業(yè)用水的重復(fù)利用率僅50%，用水量由1979年的523億立方米，到1990年的702億立方米，上升到2000年的944億立方米.城市生活用水量逐年上升（見表2）.

表2：全國不同年份主要城市生活用水情況 （單位：萬噸）

水資源的短缺已成為制約社會和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要因素.合理利用水資源是人類可持續(xù)發(fā)展的當(dāng)務(wù)之急.而節(jié)約用水是水資源合理利用的關(guān)鍵所在，是最快捷、最有效、最可行的維護(hù)水資源可持續(xù)利用的途徑之一.我們每個家庭和個人都應(yīng)該有節(jié)約用水的意識，積極參與節(jié)水行動，這是實現(xiàn)水資源合理利用的前提和保證.

點評：教材僅僅設(shè)計了相關(guān)問題，給師生解決問題留下廣闊空間.基于此，在課堂上，我們對“我國2000年是否曾出現(xiàn)‘水危機(jī)’”開展了一樣的教材不一樣的探究活動.

［同材異構(gòu)］

師：請閱讀“附錄”中的資料，從中收集數(shù)據(jù)，并整理數(shù)據(jù).

生：我國水資源總量約為27500億立方米；在2000年，我國農(nóng)業(yè)用水量為5147億立方米，我國工業(yè)用水量為944億立方米，我國城市生活用水量為1944235萬噸≈194億噸.

師：請分組討論我國2000年是否出現(xiàn)“水危機(jī)”.

陽光組：2000年我國用水量為5147+944=6091（億立方米），用水量占水資源總量的百分比為≈22.1%＞20%，結(jié)論是我國2000年出現(xiàn)“水危機(jī)”.

超越組：2000年我國用水量為5147+944+194= 6285（億立方米）（一般1立方米的水為1噸重，這里學(xué)生已考慮了）用水量占水資源總量的百分比為100%≈22.9%＞20%，結(jié)論是我國2000年出現(xiàn)“水危機(jī)”.

奮進(jìn)組：無法求解，因為資料中沒有給出2000年我國農(nóng)村生活用水量，所以無法求出2000年我國用水量……

紅火組：不能求解，理由：資料中沒有給出2000年我國農(nóng)村生活用水量，網(wǎng)上也搜索不到，若時光倒流十年，我們就能通過抽樣調(diào)查得到2000年我國農(nóng)村用水量，問題就迎刃而解了.

時光特組、常青組和反思組：無法求解.

師：陽光組和超越組，雷厲風(fēng)行速度第一，但未理清題意，欲速則不達(dá)，結(jié)論錯誤；其余五個組的無法求解論點是否正確呢？（問題懸而未決，討論進(jìn)入“死胡同”，學(xué)生的思維處在“山窮水盡”的境地）

師：同學(xué)們，如果這個問題無法解，那么教材就有大毛病了.是課本錯了，還是我們的思維不到位呢？讓我們再次把目光投向陽光組和超越組的那個錯誤結(jié)論，在“錯誤”里，我們能否找到一線希望呢？（一石激起千層浪，一語正中要害，同學(xué)們各抒己見，討論又進(jìn)入了新高潮）

生1：陽光組，雖然錯了，但給我們留下了走向成功的“臺階”，×100%≈22.1%是2000年工農(nóng)業(yè)用水與水資源總量的比，而它已經(jīng)大于20%了，也就是說僅工農(nóng)業(yè)用水已使我國出現(xiàn)了“水危機(jī)”，如果再加生活用水的話，“水危機(jī)”的程度就再加一等.（掌聲如雷）

師：講得很到位，非常精彩！這是一個生活中的實際問題，它的解決我們最終用了“不等式”這個數(shù)學(xué)工具，也給我們留下有益的啟示：不能直接解決的問題，可以間接突破；整體無法解決的問題，可以從局部切入；利用相等關(guān)系無法解決的問題，可以從不等關(guān)系思考.體驗得出結(jié)論的過程比掌握結(jié)論更重要、更有價值.