張桂霞

(三門峽市教師進修學校，河南 三門峽 472000)

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多帶多重雙向向量值小波包

張桂霞

(三門峽市教師進修學校，河南 三門峽 472000)

通過引進雙向向量值多分辨分析與多帶多重雙向向量值小波包的概念.運用矩陣理論和時頻分析方法，刻畫了多帶多重雙向向量值小波包的性質，得到多帶多重雙向向量值小波包的正交公式，并且也得到了向量值函數(shù)空間L2(R,R3)的正交基.

雙向向量值多分辨分析；面具函數(shù)；向量值正交小波；雙向向量值小波包

1 問題的提出

小波分析(Wavelet Analysis)是近三十多年發(fā)展起來的一個數(shù)學分支，是應用數(shù)學和工程領域中一個飛速發(fā)展的新領域.向量值小波是一類廣義的多小波[1]451-460.1996年，Xia和Suter[2]508-518首先引進了向量值小波的概念，研究了向量值正交小波的存在性及其構造方法，F(xiàn)owler和Li利用離散的向量值正交小波變換研究海洋渦流現(xiàn)象[3]3018-3027. 2007年，楊守志教授引入了雙向小波的概念[4]1908-1920，與傳統(tǒng)意義上的小波相比，雙向小波具有一般的情形，具有單小波和多小波都沒有的某些性質，應用上也具有靈活性，譬如，人們可以利用雙向小波變換得出心電圖壓縮算法[5]117-121.隨著人們對小波分析研究的不斷深入，雙向小波成為了一個研究熱點.與經典小波相比雙向向量值小波有著明顯的優(yōu)勢，在實施離散的多小波變換之前要預濾波，而實施離散的雙向向量值小波變換則不需要進行預濾波，這樣就大大地減少了工作量.所以，研究雙向向量值小波是必要的.Luo L[6]10146-10157等引入了兩尺度雙向向量值正交小波的概念，陳清江等[7]662-673引入了多尺度雙向向量值正交小波的概念，研究了它們的構造算法.雙向向量值小波在向量值信號處理中應用廣泛，然而，關于雙向向量值小波的研究成果甚少.受文獻[6,7]等的啟發(fā)，本文研究刻畫了多帶多重雙向向量值小波包的性質，得到多帶多重雙向向量值小波包的正交公式.

2 雙向向量值多分辨分析

定義向量值函數(shù)Λ(t)∈L2(R,R3)的傅立葉變換為：

對任意的Λ(t)∈L2(R,R3)，‖Λ‖2表示向量值函數(shù)的范數(shù)，并且

對于兩個向量值函數(shù)Λ(t),Γ(t)∈L2(R,R3)，定義它們的符號內積為：

其中“*”表示復共軛轉置.如果向量值函數(shù)H(t)∈L2(R,R3)滿足下面的雙向加細方程

(1)

定義1 如果向量值加細函數(shù)H(t)∈L2(R,R3)滿足(2)式，則稱H(t)是正交的，

(2)

(3)

i) Yτ?Yτ+1，τ∈Z；

ii)Λ(t)∈Yτ?Λ(mt)∈Yτ+1, τ∈Z；

iii) ∩j∈ZYj={O}, ∪j∈ZYj在L2(R,R3)中稠密，其中O表示L2(R,R3)中的零向量；

iv) 雙向向量值函數(shù)族{H(t-k),H(v-t):k,v∈Z}構成子空間Y0的一個Riesz基.

設Xτ是子空間Yτ在Yτ+1中的直交補空間，并且存在m-1個緊支撐的向量值函數(shù)Gα(t)∈L2(R,R3),α∈Ω:={1,2,…,m-1}，使得Gα(t)伸縮平移構成Xτ的Riesz基，即

(4)

由于Gα(t)伸縮平移構成Xτ的Riesz基，因此向量值函數(shù)Gα(t)應滿足下面的加細方程

(5)

在(5)的兩邊做傅立葉變換可得：

(6)

定義2 設H(t)∈L2(R,R3)是雙向向量值正交尺度函數(shù)，向量值函數(shù)Gα(t)滿足(5)式.如果H(t)與Gα(t)滿足以下條件，

(7)

則稱Gα(t)是關于H(t)的雙向向量值正交小波函數(shù).

定理1 設Φ(t)是雙向向量值正交尺度函數(shù),Ψα(t)是對應于Φ(t)的雙向正交向量值小波函數(shù)，則對于?l∈Z，有以下結論成立：

證明：由于H(t)是雙向向量值正交尺度函數(shù)，根據(jù)定義1，有：

即第(1)式成立，同理可以證明第(2)式至第(6)式也成立.

3 多帶多重雙向向量值小波包的性質

為了進一步細化頻域帶，將雙向向量值小波的概念推廣為雙向向量值小波包.記：

定義3 稱向量值函數(shù)族{Ψmr+μ(t):r∈Z+,μ∈Ω0}為對應于尺度函數(shù)Ψ0(t)的多帶多重向量值小波包，其中Ω0:={0,1,2,…,m-1}，

(8)

在加細方程(8)的兩邊做傅立葉變換，得：

(9)

為了研究雙向向量值小波包的性質，將(8)式改寫為

(10)

記

(11)

因此，(11)式是關于雙向向量值尺度函數(shù)Fmr+μ(t)的加細方程，并且它傅立葉變換為

(12)

引理1[7]662-673若{Ψr(t):r∈Z+}是關于雙向向量值正交尺度函數(shù)Ψ0(t)的小波包，則有

(13)

引理2[8]249-262如果{Ψr(t):r∈Z+}是關于Ψ0(t)的雙向向量值小波包，則對m,r∈Z+,有

(14)

定理2 若{Ψr(t):r∈Z+}是關于Ψ0(t)的雙向向量值小波包，則對?α,β∈Z+,有

(15)

證明：根據(jù)矩陣理論，雙正交關系式(15)等價于雙正交關系式(16)

(16)

當α=β時，證明同定理2.現(xiàn)證α≠β的情形，令α>β，α=m[α/m]+ρ1，β=m[β/m]+μ1，情形1：如果[α/m]=[β/m]，那么ρ1≠μ1，

情形2：若[α/m]≠[β/m]，令[α/m]=m[[α/m]/m]+ρ2，[β/m]=m[[β/m]/m]+μ2，ρ2,μ2∈{0,1,…,m-1}.如果[[α/m]/m]=[[β/m]/m]，那么證明類似與情形1，現(xiàn)只證明[[α/m]/m]≠[[β/m]/m]的情況.再令[[α/m]/m]=m[[[α/m]/m]/m]+ρ3，[[β/m]/m]=m[[[β/m]/m]/m]+μ3,ρ3,μ3∈{0,1,…,m-1}，則，以同樣的方式經有限步(記為θ步)運算后ρθ,μθ∈{0,1,…,m-1}，αθ,βθ∈{0,1,…,m-1}.若αθ=βθ，則ρθ≠μθ，由情形1知原命題成立.若αθ≠βθ，可以得到：

(17)

定理4 對于任意的n∈Z+，雙向向量值函數(shù)族{Ψr(mjt-k),Ψr(k-mjt),r∈Εn,k∈Z}構成向量值函數(shù)空間L2(R,R3)的正交基．

證明：根據(jù)定理2，向量值函數(shù)族{Ψr(t-v),Ψr(v-t),r∈Εn,v∈Z}構成子空間DnX0的正交基,則對每一個j∈Z，{Ψr(mjt-v),Ψr(v-mjt),r∈Εn,v∈Z}構成子空間DjDnX0的正交基．所以，對任意的正整數(shù)n，則有

⊕表示子空間的正交和.因此，向量值函數(shù)族{Ψr(mjt-v),Ψr(v-mjt),r∈Εn,v∈Z}構成向量值函數(shù)空間L2(R,R3)的正交基．

[1]YangS，TangY，ChengZ.Constructionofcompactlysupportedorthogonalmultiwaveletwithscale=a[J].MathematicaNumericaSinica，2002，25(01).

[2]XiaXG，SuterBW.Vector-valuedwaveletsandvectorfilterbanks[J].IEEETransactionsonSignalProcessing，1996，44(03).

[3]FowlerJE，LiH.WaveletsTransformsforVvectorFieldsUsingOmnidretionallyBalancedMutli-wavelet[J].IEEETransactionsonSignalProcessing，2002，50(12).

[4]YangShouzhi，LiYoufa.Two-directionrefinablefunctiongsandtwo-directionwaveletswithdilationfactorm[J].AppliedMathematicsandComputation，2007，188(02).

[5] 費小英，王培康.基于雙向小波變換的心電圖壓縮算法[J].航天醫(yī)學與醫(yī)學工程，2002，15(02).

[6]LuoL，LiW，LiQ.Astudyonorthogonaltwo-directionvector-valuedwaveletsandtwo-directionwaveletpackets[J].AppliedMathematics&Computation，2011，217(24).

[7] 陳清江，王曉鳳，白 娜.多尺度雙向向量值小波的構造與性質[J].應用數(shù)學，2015，28(03).

[8] 楊守志，鄭賢偉.L2(Rn)上的半正交多小波框架[J].中國科學:數(shù)學，2014，44(03).

[責任編輯 梧桐雨]

Multiple Vector-Valued Two-direciton M-band Wavelet Packets

ZHANG Guixia

(SanmenxiaTeacherEducationSchool,Sanmenxia472000,China)

The notion for vector-valued two-direction multiresolution analysis and multiple vector-valued two-direction m-band wavelet packets are introduced. The properties for multiple vector-valued two-direction m-band wavelet packets are characterized by virtue of matrix theory and time-frequency analysis method. The orthogonal relationship formulae concerning the multiple vector-valued two-direction m-band wavelet packets are obtained. Moreover, orthogonal bases ofL2(R,R3) are constructed.

vector-valued two-direction multiresolution analysis; mask function；orthogonal vector-valued wavelets; multiple vector-valued two-direction m-band wavelet packets

2016-12-15

國家自然科學基金項目“低秩張量恢復及應用”(61403298)；陜西省自然科學基金項目“索伯列夫空間中小波框架的性質及其應用研究”(2015JM1024)

張桂霞(1965- )，女，河南三門峽人，三門峽市教師進修學校高級講師,主要從事微分方程研究。

O174.2

A

1671-8127(2017)03-0076-05