王桂英

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，計(jì)算機(jī)的廣泛使用，使經(jīng)濟(jì)學(xué)理論與數(shù)學(xué)的結(jié)合日益緊密，線性代數(shù)在人們的生產(chǎn)生活中顯得越來(lái)越重要，成為經(jīng)濟(jì)類(lèi)、理工類(lèi)學(xué)生學(xué)習(xí)的重要課程.線性代數(shù)與線性方程組的求解密不可分.矩陣是研究線性代數(shù)中各類(lèi)問(wèn)題的載體，是研究線性方程組的一個(gè)重要概念.矩陣的秩又是矩陣研究的核心，是研究線性代數(shù)問(wèn)題的“試金石”.因此，對(duì)矩陣的秩的應(yīng)用進(jìn)行全面而深入的探討就尤為重要.此外，線性代數(shù)比較抽象，矩陣的秩的知識(shí)內(nèi)容在教材中很分散，理論上又與其他知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系緊密，這就為學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的知識(shí)帶來(lái)困難，對(duì)矩陣的秩的應(yīng)用難以掌握，矩陣的秩成了學(xué)習(xí)線性代數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn).

一、矩陣的秩的定義及等價(jià)定義

定義 設(shè)矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有r+1階子式（若存在）全等于0，那么稱(chēng)D為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱(chēng)為矩陣A的秩，記作R（A）.并規(guī)定零矩陣的秩等于0.顯然矩陣A的秩R（A）就是A中不等于0的子式的最高階數(shù).

下面給出矩陣的秩的一組等價(jià)描述.

命題1 設(shè)A為m×n矩陣，則下面各結(jié)論等價(jià)：

（1）R（A）=r；

（2）A的行向量組的秩等于r；

（3）A的列向量組的秩等于r；

（4）A的行空間的維數(shù)等于r；

（5）A的列空間的維數(shù)等于r；

（6）n元齊次線性方程組Ax=0的解空間的維數(shù)等于n-r.

二、矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用探討

（一）矩陣的秩在求解線性方程組中的應(yīng)用

定理1給出了矩陣的秩與線性方程組解的判定之間的關(guān)系，將線性方程組解的判定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩，判斷系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩是否相等的問(wèn)題，大大降低了線性方程組解的判定與求解難度.

定理1 n元線性方程組Ax=b.

（1）無(wú)解的充分必要條件是R（A）

（2）有唯一解的充分必要條件是R（A）=R（A，b）=n；

（3）有無(wú)限多解的充分必要條件是R（A）=R（A，b）

例1 線性方程組

（1+λ）x1+x2+x3=0，x1+（1+λ）x2+x3=3，x1+x2+（1+λ）x3=λ.

問(wèn)λ為何值時(shí)，此方程組（1）有唯一解；（2）無(wú)解；（3）有無(wú)窮多解，并求其同解.

解法 對(duì)增廣矩陣B=（A，b）做初等行變換，得

B=1+λ11011+λ13111+λλr1r3

111+λλ11+λ131+λ110

r2-r1

111+λλ0λ-λ3-λ1+λ110

r3-（1+λ）r1

111+λλ0λ-λ3-λ0-λ-λ（2+λ）-λ（1+λ）

r3+r2

111+λλ0λ-λ3-λ00-λ（3+λ）（1-λ）（3+λ） .

（1）當(dāng)λ≠0且λ≠-3時(shí)，R（A）=R（B）=3，方程組有唯一解；

（2）當(dāng)λ=0時(shí)，R（A）=1，R（B）=2，方程組無(wú)解；

（3）當(dāng)λ=-3時(shí)，R（A）=R（B）=2，方程組有無(wú)窮多個(gè)解.

繼續(xù)對(duì)增廣矩陣B做初等行變換，化最簡(jiǎn)形式為

B=11-2-30-3360000→10-1-101-1-20000

的同解的線性方程組

x1=x3-1，x2=x3-2，

取x3為自由未知量，令x3=c（c∈R），原方程組的通解為

x1x2x3=c111+-1-20，c∈R.

（二）矩陣的秩在求向量組的最大無(wú)關(guān)組及判別時(shí)的應(yīng)用

命題2 對(duì)于n維向量組a1，a2，…，am及矩陣A=（a1，a2，…，am），則下列結(jié)論等價(jià)：

（1）向量組a1，a2，…，am線性相關(guān)（或線性無(wú)關(guān)）；

（2）齊次線性方程組Ax=0有非零解（或只有零解）；

（3）矩陣A的秩R（A）

命題2將向量組的線性相關(guān)性判別轉(zhuǎn)化為判別向量組的矩陣的秩與向量的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系問(wèn)題，為用齊次線性方程組解的相關(guān)理論判別線性方程組的線性相關(guān)性建立了理論根據(jù).實(shí)際上，向量b被向量組a1，a2，…，am線性表示，就是非齊次線性方程組x1a1+x2a2+…+xmam=b有解及求解的問(wèn)題.

兩個(gè)向量組之間的關(guān)系問(wèn)題遠(yuǎn)比一個(gè)向量組內(nèi)部的關(guān)系復(fù)雜得多，但矩陣的秩將這個(gè)問(wèn)題的難度降低.定理2刻畫(huà)了具體的判別方法.

定理2 向量組b1，b2，…，bn能由向量組a1，a2，…，am線性表示的充要條件是矩陣A=（a1，a2，…，am）的秩等于矩陣（A，B）=（a1，a2，…，am，b1，b2，…，bn）的秩，即 R（A）=R（A，B）.

推論1 向量組b1，b2，…，bn與向量組a1，a2，…，am等價(jià)的充要條件是R（A）=R（B）=R（A，B）.其中A和B是向量組a1，a2，…，am和b1，b2，…，bn構(gòu)成的矩陣.

（三）矩陣的秩在線性方程組解的研究中的應(yīng)用

矩陣的秩可借以求線性方程組Ax=0和Ax=b的解.可是，線性方程組Ax=0和Ax=b的解的結(jié)構(gòu)尚不明了.借助向量空間的基和維數(shù)的概念，矩陣的秩從高處理解線性方程組的解.定理3給出了線性方程組解的結(jié)構(gòu).

定理3 設(shè)m×n矩陣A的秩R（A）=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩R（S）=n-r，通解為x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r，其中ξ1，ξ2，…，ξn-r為解集的最大無(wú)關(guān)組，即ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系.方程組Ax=b的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+η，其中ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，k1，k2，…，kn-r為任意實(shí)數(shù)，η是Ax=b的某個(gè)解.

三、小 結(jié)

矩陣的秩、向量組的線性相關(guān)性與線性方程組的解是一脈相通的，無(wú)法割裂研究.向量組的最大無(wú)關(guān)組與向量組的秩密切相關(guān)，向量空間的基，其實(shí)質(zhì)就是向量空間的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，向量組的秩等于其矩陣的秩，使矩陣的秩、向量空間的維數(shù)和基相聯(lián)系.所以，研究矩陣的秩、向量組的秩、向量空間的維數(shù)和線性方程組的解密切相關(guān).本文主要從矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用進(jìn)行討論，使矩陣的秩在線性代數(shù)中得到靈活應(yīng)用，從而使有些數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化.