張鵬雷

(西北大學(xué))

熱傳導(dǎo)方程的解的衰減性質(zhì)研究

張鵬雷

(西北大學(xué))

討論了熱傳導(dǎo)方程的解的衰減狀態(tài)估計(jì)問題，主要用兩種方法說(shuō)明熱傳導(dǎo)方程的解在大時(shí)間下是漸進(jìn)自相似的.一種直接建立在解的表達(dá)式上;然而這種方法對(duì)非線性偏微分方程一般不適用.另一種方法通過(guò)說(shuō)明重整解的函數(shù)列的收斂性，利用熱傳導(dǎo)方程結(jié)構(gòu)，以解的標(biāo)度變換為基礎(chǔ)，思想可被應(yīng)用在非線性問題中.

熱傳導(dǎo)方程;Gauss核;衰減估計(jì);漸近性;標(biāo)度變換

1 時(shí)間趨于無(wú)限時(shí)熱傳導(dǎo)方程的解的性質(zhì)

1.1 解的衰減估計(jì)

考慮熱傳導(dǎo)方程

考慮解u滿足(1)，初始溫度分布為

(3)的解可以表示為［1］

關(guān)于x1，….xn和t＞0任意階可微，滿足(1).滿足(2).因此u是(3)的解.

定理1.1設(shè)f在上有界且一致連續(xù)，則當(dāng)t→0(t＞0)時(shí)Gt*f一致收斂到f，即

猜測(cè)當(dāng)t→∞ 時(shí)，u(x，t)→0.

命題1.1設(shè)(4)是熱傳導(dǎo)方程(3)的解，則

證明對(duì)于(4)，t＞0，有

通過(guò)(5)，知t→∞ 時(shí)，u至少具有t－n/2的衰減率.

下面討論|u|的積分或它的指數(shù)次是否衰減.

1.2 Lp－Lq估計(jì)

定理1.2設(shè)u((4)式)是熱傳導(dǎo)方程(3)以f為初值的解，1≤q≤p≤∞，則

u的Lp范數(shù)的衰減率被t的小于等于0次方所估計(jì).當(dāng)p=∞，q=1時(shí)，(6)即為(5).

證 明‖u‖p(t) = ‖Gt*f‖p≤‖Gt‖r‖f‖q，t＞0.

只有當(dāng)q=1，p=∞ 時(shí)r=∞，(6)即為(5).

接下來(lái)討論t→∞時(shí)u的導(dǎo)數(shù)是否衰減到0.

定理1.3設(shè)(4)是熱傳導(dǎo)方程(3)以f為初值的解，1≤q≤p≤∞，存在一個(gè)只取決于p，q，n的常數(shù)C=C(p，q，n)有

存在一個(gè)常數(shù)C=C(p，q，n，k，α)有

k是一個(gè)自然數(shù)或0，α是一個(gè)復(fù)合指數(shù)(α1，…，αn);αi(1≤i≤n)是一個(gè)自然數(shù)或0.從(7)，(8)和(9)中可知對(duì)空間變量微分一次后，t的指數(shù)增加了，對(duì)時(shí)間t微分一次后，t的指數(shù)增加了1.

1.3 關(guān)于時(shí)間趨于無(wú)限時(shí)的解的性質(zhì)的定理

定理4設(shè)u((4)式)是熱傳導(dǎo)方程(3)以為初值的解，則

其中g(shù)(x，t)=Gt(x).

這個(gè)定理證明當(dāng)t→∞，m≠0時(shí)，u與mg有著相似性.當(dāng)m=0時(shí)，(10)表示t→∞ 時(shí)，‖u‖∞(t)比t－n/2趨向于0更快.

證明

利用積分形式的中值定理，有

利用這個(gè)不等式及(12)，有|hη(x－y)－h(huán)η(x)|≤2|y|η1/2C1.

應(yīng)用到(11)中有

由于這個(gè)不等式的右端與x無(wú)關(guān)，兩端都取上確界有

2 方程的結(jié)構(gòu)和空間變量的衰減估計(jì)

對(duì)于一類非線性問題，它的解一般不能得到一個(gè)直接表達(dá)式.下面將給出一種建立在方程結(jié)構(gòu)上的證明.

2.1 尺度變換下的性質(zhì)和漸近公式

命題2.1設(shè)u=u(x，t)是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，在一個(gè)開集滿足熱傳導(dǎo)方程?tu－ Δu=0，即

對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)λ，定義函數(shù)

uλ(x，t)=u(λx，λ2t)，則下面的性質(zhì)成立

(i)函數(shù) uλ在: (λx，λ2t)∈Q}上滿足熱傳導(dǎo)方程.

(ii)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)μ，函數(shù)μu在Q上滿足熱傳導(dǎo)方程［7］.

命題2.2漸近公式(10)等同于［8］

證明對(duì)于k2=t，有

從而獲得了(13)和(10)的等同性.

基于這個(gè)事實(shí)，為了了解(x，t)在無(wú)窮處u的性質(zhì)，有必要研究uk(x，t)在k→∞時(shí)的極限.

公式(13)等同于漸近公式(10)，表明當(dāng)k→∞ 時(shí)函數(shù)列{uk}收斂到自相似解mg(t= 1)［9］.

2.2 空間變量的衰減估計(jì)

命題2.3u是(3)中給出的熱傳導(dǎo)方程的解，初值為，設(shè)存在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心、以j0＞0為半徑的開球Bj0滿足suppf?Bj0.則對(duì)η∈(0，1)，有

成立.

證明通過(guò)估計(jì)解的表達(dá)式

對(duì)|y|≤j0，如果η≤t≤1/η，有

3 熱傳導(dǎo)方程的解的全局Lq－L1估計(jì)

對(duì)所有的t＞0和1≤q≤∞ 都成立.

當(dāng)v≡0時(shí)，這種估計(jì)對(duì)應(yīng)于q=1，k=4π是的熱傳導(dǎo)方程的Lp－Lq估計(jì)(5).這個(gè)估計(jì)重要的是可不依賴于k的空間函數(shù)v，如果div v= 0，即使當(dāng)t→0時(shí)v發(fā)散［11］.

［1］Giga M，Giga Y，Saal J.Nonlinear Partial Differential Equations［M］.2010.

［2］Giga Y，Kamble T.Large time behavior of the vorticity of two dimensional viscous flow and its application to vortex formation.Comm Math Phys，117，1988:459－568.

［3］Evans L C.Partial Differential Equations［M］.1998.

［4］Sverak.Partial Differential Equations［M］.2010.

［5］Ockendon J，Howison S，Lacey A，et al.應(yīng)用偏微分方程［M］.2003.

［6］Bleecker D，Csordas G.Basic Partial Differential Equations［M］.1996.

［7］邢家省，李爭(zhēng)輝.熱傳導(dǎo)方程初值問題解的若干性質(zhì)［J］.北京:北京航空航天大學(xué).

Study on the Attenuation Properties of the Solution of Heat Conduction Equation

Zhang Penglei

(Northwestern University)

In this paper，the decay state estimation of the solution of the heat conduction equation are discussed.The solution of the heat conduction equation is asymptotically self similar at large time by two methods.One is directly based on the expression of the solution;however，this method is not applicable to nonlinear partial differential equations.The other method can be applied to the nonlinear problem by describing the convergence of the function of the solution and the structure of the heat conduction equation.

Heat conduction equation;Gauss kernel;decay estimate;Asymptotic behavior;Scaling transformation

O175

:A

:1000－5617(2017)01－0025－04

(責(zé)任編輯:李家云)

2016－12－22