王永娟，孫麗男

(黑河學(xué)院)

匯率服從跳擴(kuò)散過程的外匯期權(quán)定價(jià)

王永娟，孫麗男

(黑河學(xué)院)

在匯率過程為分形跳—擴(kuò)散過程，執(zhí)行價(jià)格為常數(shù)的條件下，構(gòu)造出匯率函數(shù)受分形Brown運(yùn)動(dòng)和跳—擴(kuò)散過程共同作用的模型，得到了執(zhí)行價(jià)格為常數(shù)的外匯期權(quán)的定價(jià)公式.

分形跳—擴(kuò)散;外匯期權(quán);匯率;保險(xiǎn)精算定價(jià)

0 引言

近年來(lái)，外匯期權(quán)作為期權(quán)家族的一員，受到了廣泛的關(guān)注.自從Garman和Kohihagan［1］在1983年首次提出了外匯期權(quán)定價(jià)的G_K模型后，很多學(xué)者對(duì)此模型進(jìn)行深入研究.劉倩，劉新平［2］討論了常利率時(shí)的外匯期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià).張敏，李詠［3］等人研究了股價(jià)服從幾何分形布朗運(yùn)動(dòng)，常利率的外匯歐式期權(quán)的定價(jià).該文在匯率過程為分形跳—擴(kuò)散過程并且執(zhí)行價(jià)格確定的條件下，運(yùn)用保險(xiǎn)精算方法，得到了歐式外匯期權(quán)的定價(jià)公式.

1 分形布朗運(yùn)動(dòng)介紹

設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是一個(gè)概率空間，Hurst指數(shù)為H(0＜H≤1)的連續(xù)Gauss過程BH={BH(t): t≥0}，滿足

(1)BH=0，E［BH(t)］=0對(duì)于所有t≥0成立;

(2)BH(α)=αHBH(·)

2 外匯期權(quán)定價(jià)模型

設(shè){BH(t):t≥0}為概率空間上的分形Brown運(yùn)動(dòng)，其中.假設(shè)分形外匯市場(chǎng)滿足［4］: (1)沒有任何交易費(fèi)用;(2)國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率都是常數(shù);(3)資產(chǎn)的交易時(shí)間是連續(xù)的; (4)匯率S(t)滿足

其中N(t)表示S(t)在［0，t］內(nèi)跳躍的次數(shù)，它服從泊松過程;J(t)是的隨機(jī)變量.{BH(t):t≥0}是分形布朗運(yùn)動(dòng)，假設(shè)1/2＜H≤1，J(ti)為第i次跳躍，i=1，2，…，且eJ(t)－1、{BH(t):t≥0}與{N(t):t≥0}之間都相互獨(dú)立.

引理1［5］假設(shè)β(t)為t時(shí)刻S(t)的瞬時(shí)收益率t∈［0，T］，外匯價(jià)格過程S(t)在［0，T］產(chǎn)生期望收益率為且滿足

引理2［6］設(shè)外匯價(jià)格為S(t)，執(zhí)行價(jià)格為K、到期日為T的歐式看漲價(jià)格為C(K，T)和歐式看跌外匯期權(quán)為P(K，T)，則外匯期權(quán)在t=0時(shí)無(wú)紅利支付的歐式外匯期權(quán)保險(xiǎn)精算定價(jià)為

其中IA和IB為條件A、條件B的示性函數(shù)，且本國(guó)債券價(jià)格及國(guó)外債券價(jià)格分別滿足

則上述結(jié)果被執(zhí)行的充要條件分別是

條件A

條件B

3 匯率過程為分形跳—擴(kuò)散過程的歐式外匯期權(quán)定價(jià)

引理3根據(jù)Ito公式［7］，式(1)解為

其期望為

定理假設(shè)執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T的外匯價(jià)格S(t):t≥0為式(1)，本國(guó)債券價(jià)格為式(2)，外國(guó)債券價(jià)格為式(3)，則

(1)歐式看漲外匯期權(quán)價(jià)格C(K，T)為

(2)歐式看跌外匯期權(quán)價(jià)格P(K，T)為

(3)平價(jià)公式為

其中

證明由Ito公式，式(1)存在唯一解

［1］Ganman M B，Kohlhagen S W.Foreign currency option valucs［J］.Journal of lntemational Money and Finance，1983，2(3):37－41.

［2］劉倩，劉新平.外匯期權(quán)定價(jià)的新方法—保險(xiǎn)精算方法［J］.貴州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，21(1):43－45.

［3］張敏，李昶，何穗.幾何分形Brown運(yùn)動(dòng)的外匯期權(quán)定價(jià)［J］.湖北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，21(6):75－77.

［4］武文娜.分?jǐn)?shù)—跳擴(kuò)散環(huán)境下的外匯期權(quán)定價(jià)模型［J］.通話師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，32(8):12－13.

［5］閆海峰，劉三陽(yáng).帶有Poisson跳的股票模型的期權(quán)定價(jià)［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003，20(2):35－40.

［6］王靖宇.外匯期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型研究［D］.哈爾濱工程大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013.

［7］閆海峰，劉三陽(yáng).廣義Black—Scholes模型期權(quán)定價(jià)新方法—保險(xiǎn)精算方法［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2003，24(7): 730－738.

The Exchange Rate of Foreign Exchange Option Pricing in Jump Diffusion Process

Wang Yongjuan，Sun Linan
(Heihe College)

In this paper，a model is constructed，whose exchange rate function is influnced by the fractal Brown motion，jump－diffusion process under the exchange rate process is fractal jump－diffusion process and executive price is constant，and a pricing formula of foreign exchange reset options is obtained when the executive price is constant.

Fractal jump－diffusion;Foreign exchange reset options;Exchange rate;Actuarial pricing

F830.92

:A

:1000－5617(2017)01－0022－03

(責(zé)任編輯:季春陽(yáng))

2016－12－29