萬(wàn)兆亮，么煥民

(1.哈爾濱工程大學(xué);2.哈爾濱師范大學(xué))

城市重金屬污染擴(kuò)散方程模型

萬(wàn)兆亮1，么煥民2

(1.哈爾濱工程大學(xué);2.哈爾濱師范大學(xué))

針對(duì)城市小區(qū)域重金屬元素的空間分布，運(yùn)用MATLAB中的V4插值，得到足夠多的數(shù)據(jù)及空間三維分布.分析重金屬污染物的傳播特征，采用封閉邊界的Neumann邊值及廣泛應(yīng)用的δ函數(shù)初值，構(gòu)造了刻畫(huà)城市重金屬污染擴(kuò)散方程，得到了八種重金屬污染的等級(jí)程度.

擴(kuò)散方程;Neumann邊值;SPSS;MATLAB;插值算法;牛頓法

0 引言

重金屬是指密度在5.0以上的元素.汞、鎘、鉛、鉻以及類金屬砷以及重金屬銅、鈷、鎳、錫、釩等都會(huì)對(duì)環(huán)境造成污染.重金屬具有沉積性的特點(diǎn)，許多重金屬是人體必須的微量元素，一旦缺乏就會(huì)威脅到人體的健康.過(guò)多的攝入重金屬在一定程度上能抑制生物酶的活性，破壞正常的生物化學(xué)反應(yīng)，具有多種毒理作用.

1 重金屬污染擴(kuò)散方程的模型構(gòu)造

1.1 重金屬污染的主要原因

已知生活區(qū)和山區(qū)的污染程度很低，因此一定不是污染源，而工業(yè)區(qū)重金屬污染程度嚴(yán)重，污染物總量也最大，導(dǎo)致離工業(yè)區(qū)稍近的生活區(qū)和交通區(qū)污染都較為嚴(yán)重，故而工業(yè)區(qū)應(yīng)該是大量污染源的所在地.由于工業(yè)區(qū)Cu、Hg的濃度相對(duì)于其他各種金屬元素濃度要更為顯著，則重金屬污染的主要原因應(yīng)為該市存在排放大量Cu、Hg的工業(yè)部門，而大量排放Cu的工廠有磷肥廠，煉油廠等;大量排放Hg的工廠有鋼鐵廠，磷肥廠等.除此以外，交通區(qū)、公園綠地區(qū)的污染程度都很高.

1.2 模型假設(shè)

(1)污染物在擴(kuò)散的過(guò)程中不發(fā)生性質(zhì)變化;

(2)假設(shè)八種重金屬污染物的擴(kuò)散過(guò)程相互獨(dú)立;

(3)重金屬污染物的傳播服從擴(kuò)散定律和Fick定律;

(4)假定存在污染源的小區(qū)域D內(nèi)的地面是連續(xù)曲面;

1.3 對(duì)重金屬污染物的傳播特征的分析及模型的建立

任何物質(zhì)傳播都是一種擴(kuò)散問(wèn)題，而擴(kuò)散就是污染源向四周中緩慢傳播的過(guò)程.擴(kuò)散的原因有兩種:一是由于分子熱運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的，二是由于物質(zhì)受到重力作用，使得地勢(shì)較低的地方容易沉積更多的重金屬元素.首先要確定污染源的所在小區(qū)域D，其次，在D中精確確定污染源所在的位置.由于實(shí)際生活中的地形既不是連續(xù)曲面，也幾乎不可能用函數(shù)解析地表達(dá)，但是當(dāng)范圍縮小后，可以近似的將D看作單連通區(qū)域上的連續(xù)曲面.由于污染物是以擴(kuò)散形式傳播的，而擴(kuò)散有兩種原因:一是由于分子熱運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的，二是由于物質(zhì)受到重力作用，使得地勢(shì)較低的地方容易沉積更多的重金屬元素.對(duì)于第一種擴(kuò)散原因，可以使用Δu來(lái)刻畫(huà)，對(duì)于第二種擴(kuò)散原因，由于坡度不同，擴(kuò)散的速度不同，故可以使用grad(梯度)來(lái)刻畫(huà).并且做如下規(guī)定:初始時(shí)刻(即t=0時(shí))，所有的污染物集中于污染源;采用封閉邊界的Neumann邊值及廣泛應(yīng)用的δ函數(shù)初值，得到如下擴(kuò)散方程:

1.3.1 區(qū)域D的尋找

首先需要數(shù)據(jù)處理.為了使數(shù)據(jù)更加精細(xì)，利用MATLAB中提供的“V4”插值算法，生成密集網(wǎng)格.由于污染源一定是濃度的極大值點(diǎn)，因此非極大值點(diǎn)基本不會(huì)是污染源.并且生活區(qū)和山區(qū)的污染程度很低一定不是污染源，而工業(yè)區(qū)、交通區(qū)、公園綠地區(qū)的污染程度都很高，所以主要考慮這三個(gè)區(qū)域中的污染源問(wèn)題.其次，對(duì)于已知的部分?jǐn)?shù)據(jù)分別求出綜合污染指數(shù)，見(jiàn)表1.

表1 綜合污染指數(shù)

得出的綜合污染程度重的點(diǎn)及其鄰域，并使相鄰的鄰域并在一起構(gòu)成了一些小區(qū)域，污染源就會(huì)在這些小區(qū)域中.再對(duì)這些小的區(qū)域進(jìn)行討論.

1.3.2 應(yīng)用擴(kuò)散方程

對(duì)于這些小區(qū)域，可以看成是獨(dú)立的互不干擾的封閉區(qū)域，運(yùn)用擴(kuò)散方程(1)，其中D為這些小區(qū)域.如果D∈R2為一個(gè)足夠小的閉區(qū)域，且是單連通的光滑的區(qū)域，則擴(kuò)散系數(shù)d可以看成為常量，因此方程(1)的解一定存在，形式為［1］

1.3.3 模型求解算法

Step1:需要確定方程的參數(shù)d.在題目的附件1中，取出處于區(qū)域D內(nèi)的數(shù)據(jù)，將其帶入方程的解，這時(shí)會(huì)出現(xiàn)超越方程，使用牛頓法，求出其近似的解.使用SPSS分析這些近似的解，求出他們的聚點(diǎn)，這就是參數(shù)d.

Step2:初值中的參數(shù)m為該污染物的總量，利用公式:污染物總量 =污染物濃度 ×區(qū)域面積，就可以計(jì)算出污染物的總量了.

Step3:在區(qū)域D中尋找污染源:第1步，將小區(qū)域畫(huà)出分度值為T=10的網(wǎng)格，為了便于計(jì)算，將網(wǎng)格各邊分別與x軸，y軸平行.第2步，將網(wǎng)格交點(diǎn)(x，y)代入u(t0，x，y)，其中t0為預(yù)先給定的;若u(t0，x，y)=0，則舍去這個(gè)點(diǎn).第3步，若剩余的點(diǎn)較多，可以將t0減小一半，重復(fù)第2步.

Step4:記這些剩余的點(diǎn)集合為P，觀察P會(huì)出現(xiàn)三種情況:

第一種，P中的點(diǎn)基本聚集在某一點(diǎn)(P1，P2)的周圍，且距離(P1，P2)越近，點(diǎn)越密.此時(shí)，(P1，P2)就是(點(diǎn)狀)污染源.

第二種，將P中的點(diǎn)順次連接起來(lái)，發(fā)現(xiàn)明顯呈一條直線或曲線，擬合出來(lái)，記作F(x，y)= 0.此時(shí)，F(xiàn)(x，y)=0就是(線狀)污染源.

第三種，P中的點(diǎn)幾乎均勻地分布在某一范圍Q，此時(shí)Q就是污染源，這是一種面狀污染.

以Cu為例，在D={(x，y)|2000≤x≤2400，3300≤y≤3600}中，以T=10為分度畫(huà)出網(wǎng)格，利用插值法得出網(wǎng)格交點(diǎn)處的值，將這些數(shù)據(jù)依次代入(2)式，得到超越方程

采用牛頓法可求解方程(3)的近似值.并規(guī)定:只要等式左右兩邊的值相差不超過(guò)0.1%，就認(rèn)為這個(gè)d的值是解.將一系列(x，y)和對(duì)應(yīng)的濃度u(x，y)代入(5)式，得到擴(kuò)散系數(shù)d分別為3.2137，3.1992，3.2002，3.2010，3.1940，3.1999……導(dǎo)入SPSS中，經(jīng)分析它們呈正態(tài)分布，期望值為3.2000，故d=3.2，經(jīng)過(guò)計(jì)算m= 3570.

由此得到了關(guān)于Cu濃度在區(qū)域D上的擴(kuò)散方程，得出P=(2270，3530)，此即為點(diǎn)狀污染源.

對(duì)其他元素也執(zhí)行上述步驟，將結(jié)果列成表2.

表2 污染源的位置確定

1.3.4 八種重金屬元素的空間分布

空間分布是指重金屬隨著地理位置不同含量的變化圖.由于研究對(duì)象是地表土壤中的重金屬含量程度，且地標(biāo)位置可與R2的一個(gè)子集一一對(duì)應(yīng).故可以用(x，y)∈R2來(lái)表示位置.以重金屬在該坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)位置的濃度為z軸，可構(gòu)成一個(gè)三維空間，此即為該元素的空間分布.利用MATLAB中提供的“V4”插值算法，通過(guò)griddata這個(gè)函數(shù)，可以生成一個(gè)比較密集的網(wǎng)格，擬合出網(wǎng)格點(diǎn)的函數(shù)值，從而得到近似的曲面，也就是該金屬元素的空間分布圖，如圖1所示.

［1］王玉文，史峻平，侍述軍，等.常微分方程簡(jiǎn)明教程:大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書(shū)［M］.北京:科學(xué)出版社，2010.

［2］王樹(shù)禾.數(shù)學(xué)模型選講［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.

［3］杜強(qiáng)，賈麗艷.SPSS統(tǒng)計(jì)分析從入門到精通［M］，北京:人民郵電出版社，2009.

［4］劉坤，李光德，張中文，等.城市道路土壤重金屬污染及潛在生態(tài)危害評(píng)價(jià)［J］.環(huán)境科學(xué)與技術(shù)，2008(2):124－127.

［5］蘭天水，林健，陳建安，等.公路旁土壤重金屬污染分布及潛在生態(tài)危害的研究［J］.海峽預(yù)防醫(yī)學(xué)雜志，2003(9): 4－6.

［6］薛定宇，陳陽(yáng)泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的MATLAB求解［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2008.

Diffusion Equation Model of City Heavy Metal Pollution

Wan Zhaoliang1，Yao Huanmin2

(1.Harbin Engineering University;2.Harbin Normal University)

In this paper，for the small area of urban spatial distribution of heavy metals，enough data and 3D space distribution was obtained by using V4 interpolation of MATLAB.Analysis of transmission characteristics of heavy metal pollutants，adopting closed boundary boundary value and wide application of the function of initial value，the characterization of heavy metal pollution in cities diffusion equation was constructed and the degree of grade eight kinds of heavy metal pollution were got.

Diffusion equation;Neumann boundary value;SPSS;MATLAB;The interpolation algorithm;Newton＇s method

圖1

O242

:A

:1000－5617(2017)01－0004－04

(責(zé)任編輯:季春陽(yáng))

2016－12－11