郝亞非

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院物理系 浙江 金華 321004)

動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律辨析

郝亞非

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院物理系 浙江 金華 321004)

辨析了系統(tǒng)動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒的適用條件，旨在加深學(xué)生對(duì)動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律的理解.以3個(gè)例題為例，根據(jù)實(shí)際條件選擇參數(shù)，計(jì)算了系統(tǒng)的內(nèi)力和外力的數(shù)值，分析了系統(tǒng)所受合外力(外力力矩的矢量和)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)內(nèi)力(內(nèi)力矩)的條件.結(jié)果表明，只定性地根據(jù)物體的質(zhì)量很小就得出物體的重力遠(yuǎn)小于系統(tǒng)內(nèi)力的結(jié)論是不充分的，質(zhì)量很小的物體的重力是否遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的內(nèi)力還取決于碰撞前物體的速度；而外力力矩的矢量和是否遠(yuǎn)小于內(nèi)力矩不僅取決于碰撞前物體的速度，還取決于碰撞的位置.

動(dòng)量 角動(dòng)量 守恒 力矩 力

動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律是力學(xué)的三大守恒定律.其中，角動(dòng)量守恒定律適用的條件是[1,2]：

(1)系統(tǒng)相對(duì)于參考點(diǎn)的外力力矩的矢量和為零，即Mex=0.

如果滿足如下條件，也可以應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律.

(2)系統(tǒng)相對(duì)于參考點(diǎn)的外力力矩的矢量和不為零，即Mex≠0，但是過(guò)程進(jìn)行的時(shí)間極短，且外力力矩的矢量和Mex遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的內(nèi)力矩Min，即Mex?Min，外力力矩可以忽略不計(jì)，系統(tǒng)的角動(dòng)量也可以看作守恒.

條件(1)很容易把握，只要判斷出系統(tǒng)所受的合外力相對(duì)于參考點(diǎn)的外力力矩的矢量和為零，即可得出系統(tǒng)角動(dòng)量守恒的結(jié)論.條件(2)比較抽象，很多學(xué)生很難準(zhǔn)確地理解和把握.以下我們先以力學(xué)中常見(jiàn)的兩個(gè)例題(例1，例2)為例，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，直觀地給出過(guò)程進(jìn)行時(shí)間極短的情況下，外力力矩的矢量和與內(nèi)力矩的相對(duì)大小，分析應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律的條件(2).

圖1 例1示意圖

解題思路：將蟲(chóng)與桿作為一個(gè)系統(tǒng)，先運(yùn)用角動(dòng)量守恒定律求解得到蟲(chóng)與桿碰撞后的角速度，該角速度即為蟲(chóng)向桿端點(diǎn)爬行時(shí)桿的恒定角速度，然后運(yùn)用角動(dòng)量定理求解蟲(chóng)的爬行速度.

要解決該問(wèn)題首先需要判斷出系統(tǒng)關(guān)于O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，而判斷系統(tǒng)關(guān)于O點(diǎn)角動(dòng)量守恒，需要分析系統(tǒng)所受外力和內(nèi)力.系統(tǒng)所受外力：支撐點(diǎn)O對(duì)桿的力、桿的重力、蟲(chóng)的重力，其中支撐點(diǎn)對(duì)桿的力和桿的重力的作用線均過(guò)O點(diǎn)，相對(duì)O點(diǎn)的力矩均為零，所以外力矩只有蟲(chóng)的重力矩，大小為

系統(tǒng)的內(nèi)力為蟲(chóng)和桿的碰撞力，內(nèi)力矩大小為

這是一種外力力矩的矢量和不為零的情況，系統(tǒng)相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量是否守恒取決于外力力矩的矢量和是否遠(yuǎn)小于內(nèi)力矩.這和文獻(xiàn)[3]中的情況不同，文獻(xiàn)[3]中外力和內(nèi)力相對(duì)于參考點(diǎn)的力臂不同，外力的力臂遠(yuǎn)小于內(nèi)力的力臂，可以得出合外力的力矩遠(yuǎn)小于內(nèi)力矩的結(jié)論.本文中，蟲(chóng)的重力和碰撞內(nèi)力相對(duì)于O點(diǎn)的力臂相同，蟲(chóng)的重力和碰撞內(nèi)力相對(duì)于O點(diǎn)的力矩的大小取決于蟲(chóng)的重力和碰撞內(nèi)力的相對(duì)大小.通常的分析是：蟲(chóng)的重力很小，遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的內(nèi)力，所以系統(tǒng)角動(dòng)量守恒.但是，這樣分析讓學(xué)生很迷茫，mg和Fin都是符號(hào)，學(xué)生很難直觀地得出蟲(chóng)的重力遠(yuǎn)小于碰撞內(nèi)力的結(jié)論.如果能夠給出Fin的數(shù)值，再分析蟲(chóng)的重力mg和系統(tǒng)內(nèi)力Fin的相對(duì)大小就很容易了.

可以先假定系統(tǒng)相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，即

J蟲(chóng)ω0=(J桿+J蟲(chóng))ω

得到蟲(chóng)和桿碰撞后的角速度大小為

線速度大小為

然后對(duì)蟲(chóng)運(yùn)用動(dòng)量定理求解蟲(chóng)受到桿的碰撞內(nèi)力.分析蟲(chóng)的受力，蟲(chóng)受重力和桿對(duì)它的碰撞內(nèi)力，根據(jù)動(dòng)量定理，有

碰撞時(shí)間很短，可以取Δt=0.001 s，求得平均碰撞內(nèi)力大小為

圖2 例2示意圖

【例2】一個(gè)沙袋用質(zhì)量忽略不計(jì)的繩懸掛于O點(diǎn)，一顆子彈以水平速度v0擊入沙袋，并和沙袋以同樣的速度運(yùn)動(dòng)，子彈和沙袋構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量和角動(dòng)量是否守恒？(不考慮子彈和沙袋的大小)示意圖如圖2所示.

解題思路：子彈要擊入沙袋，v0需要達(dá)到一定數(shù)值才可以，取v0=200 m·s-1.根據(jù)對(duì)例1的分析，這種情況下，子彈和沙袋構(gòu)成的系統(tǒng)關(guān)于O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒.因?yàn)樯炒闹亓屠K子的拉力相對(duì)于O點(diǎn)的力矩為零，系統(tǒng)的外力力矩的矢量和為子彈的重力矩，遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的內(nèi)力矩.

系統(tǒng)的動(dòng)量是否守恒呢？

動(dòng)量守恒定律適用的條件是[1,2]：

(1)系統(tǒng)所受的合外力為零，即Fex=0，系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變.

(2)系統(tǒng)所受的合外力不為零，即Fex≠0，但是合外力在某個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為零，系統(tǒng)的總動(dòng)量雖不守恒，但沿該坐標(biāo)軸的分動(dòng)量卻是守恒的.

在實(shí)際問(wèn)題中，如果滿足如下條件，也可以應(yīng)用動(dòng)量守恒定律.

(3)系統(tǒng)所受的合外力不為零，即Fex≠0，但是過(guò)程進(jìn)行的時(shí)間極短，且合外力遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的內(nèi)力Fin，即Fex?Fin，可以忽略外力對(duì)系統(tǒng)的作用，認(rèn)為系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，如碰撞、打擊、爆炸.

首先，例2符合條件(2)，沿x軸方向系統(tǒng)所受合外力為零，沿x軸方向的動(dòng)量守恒.在碰撞前后瞬間，系統(tǒng)沿y軸方向的速度為零，系統(tǒng)的總動(dòng)量是否守恒呢？這需要用條件(3)來(lái)判斷，該條件也很抽象，學(xué)生也不容易理解和把握.

接下來(lái)，我們?nèi)砸粤W(xué)中常見(jiàn)的兩個(gè)例題(例2，例3)為例，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，直觀地給出過(guò)程進(jìn)行時(shí)間極短的情況下，系統(tǒng)所受的合外力和內(nèi)力的相對(duì)大小，分析應(yīng)用動(dòng)量守恒定律的條件(3).

子彈擊入沙袋前的速率取v0=200 m·s-1，子彈質(zhì)量mz=0.01 kg，沙袋質(zhì)量ms=10 kg，碰撞時(shí)間Δt=0.01 s，繩長(zhǎng)L=1 m.根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，有

Jzω0=(Jz+Js)ω

可求得子彈擊入沙袋后的角速度大小為

ω=0.2 rad·s-1

線速度大小為

v=Lω=0.2 m·s-1

求得

圖3 例3示意圖

【例3】一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的剛性桿懸掛于O點(diǎn)，可繞O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一顆子彈以水平速度v0擊入桿，并和桿以同樣的速度運(yùn)動(dòng)，子彈和桿構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量和角動(dòng)量是否守恒？(不考慮桿的橫向線度)示意圖如圖3所示.

解題思路：根據(jù)前兩個(gè)例題的分析可知，子彈和桿構(gòu)成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒.

系統(tǒng)動(dòng)量是否守恒呢？

求得O點(diǎn)對(duì)桿的水平作用力Fx=1 N.所以沿水平方向系統(tǒng)所受的合外力遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的內(nèi)力，系統(tǒng)沿水平方向的動(dòng)量守恒.

綜上所述，判斷系統(tǒng)所受合外力(外力力矩的矢量和)是否遠(yuǎn)小于系統(tǒng)內(nèi)力(內(nèi)力矩)時(shí)，只定性地根據(jù)物體的質(zhì)量很小就得出物體的重力遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的內(nèi)力的結(jié)論是不充分的，質(zhì)量很小的物體的重力是否遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的內(nèi)力還取決于碰撞前物體的速度，而外力力矩的矢量和是否遠(yuǎn)小于內(nèi)力矩不僅取決于碰撞前物體的速度，還取決于碰撞的位置.本文通過(guò)3個(gè)例題，計(jì)算了系統(tǒng)的內(nèi)力，并和系統(tǒng)所受的合外力進(jìn)行比較，分析系統(tǒng)所受合外力(外力力矩的矢量和)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)內(nèi)力(內(nèi)力矩)的條件.本文中所舉的3個(gè)例題都是力學(xué)中常見(jiàn)的例題，通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法，能夠加深學(xué)生對(duì)動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律的理解，對(duì)學(xué)生剖析、深刻理解相關(guān)物理規(guī)律在類似問(wèn)題中的應(yīng)用也是有所幫助的.

1 馬文蔚, 解希順, 周雨青. 物理學(xué). 北京: 高等教育出版社, 2006

2 趙近芳, 王登龍. 大學(xué)物理學(xué)(第4版). 北京: 北京郵電大學(xué)出版社, 2015

3 邱曉燕, 唐志海. 一道力學(xué)碰撞問(wèn)題中動(dòng)量守恒與角動(dòng)量守恒辨析. 物理教學(xué)探討, 2011, 29(433): 40～41

4 王宗昌. 木棒和子彈組成系統(tǒng)的動(dòng)量守恒問(wèn)題. 南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2005, 4(9): 36～37

AnalysisontheConservationLawsofMomentumandAngularMomentum

HaoYafei

(PhysicsDepartment,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua,Zhejiang321004)

This paper analyzes the application conditions of the conservation laws of momentum and angular momentum, helping students to come to a better understanding of these two laws. By analyzing three examples, and choosing parameters, the values of internal force and resultant external force are calculated, and the conditions that resultant external force (resultant external moment) is far less than internal force (internal moment) are analyzed. The results show that it is imprecise to come to the conclusion that the gravity of the object with very small mass is far less than internal force, whether the gravity of object is far less than internal force also depends on the preceding collision velocity of the object. Whether the resultant external moment is far less than internal moment depends on not only preceding collision velocity of the object but also the collision location.

momentum; angular momentum; conservation; moment; force

郝亞非(1980- )，女，副教授，主要從事物理教學(xué)研究工作，研究方向?yàn)椴牧衔锢?

2016-10-18)