牟小燕

一、什么是數(shù)形結合？

數(shù)形結合是數(shù)學中重要思想方法之一。它既具有數(shù)學學科的鮮明特點，又是數(shù)學研究的常用方法。數(shù)形結合思想----就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合。贊科夫說：“教會學生思考，這對學生來說，是一生中最有價值的本錢”，而要教會學生思考，實質是要教會學生掌握數(shù)學的思想方法。常用的數(shù)學思想方法有很多，而數(shù)形結合思想具有數(shù)學學科的鮮明特點，是解決許多數(shù)學問題的有效思想。將抽象的數(shù)量關系形象化，具有直觀性強，易理解、易接受的特點。將直觀圖形數(shù)量化，轉化成數(shù)學運算，常會降低難度，并且使知識的理解更加深刻明了。

二、數(shù)形結合有哪些功能？

1.有利于記憶

由于數(shù)學語言比較抽象，而圖形語言則比較形象。利用圖形語言進行記憶速度快，記得牢。笛卡爾曾說：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了。因此，用這種方式來表達事物是非常有益的?！蓖瑫r，由于圖象是“形象”的，語言是“抽象”的，因此對圖形的記憶往往保持得比較牢固。

2.有助于思考

用圖進行思維可以說是數(shù)學家的思維特色。往往一個簡單的圖象就能表達復雜的思想，因此圖象語言有助于數(shù)學思維的表達。在數(shù)學中，有時看到學生遇到難題百思不得其解時，如能畫個草圖稍加點拔，學生往往思路大開。究其原因就是充分發(fā)揮了圖象語言的優(yōu)越性。

三、如何培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想？

1.強化意識，體會作用

我國著名數(shù)學家華羅庚所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。”數(shù)形結合思想方法能巧妙地實現(xiàn)數(shù)與形之間的互換，使得看似無法解決的問題簡單化、明朗化，讓人有“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。數(shù)形結合思想方法在解題中的重要性決定了它在平時的教學中也應該受到重視。在數(shù)學教學中教師要有意識地溝通數(shù)、形之間的聯(lián)系，幫助學生逐步樹立起數(shù)形相結合的觀點，提高主動運用的意識，并使這一觀點扎根到學生的認知結構中去，成為運用自如的思想觀念和思維工具，從而提高學生數(shù)學修養(yǎng)與解題能力。

【案例】

學生學完長方形和正方形的周長后，有一題是這樣的：用4個邊長為2厘米的正方形拼成一個長方形或正方形，周長最大是多少？最小是多少 ？

面對這樣一個問題，好多學生都感到很茫然，不去作進一步的思考，便會錯誤的這樣列式：2×4×4=32（㎝）。因為學生的思維大多都是停留在對表面意思的理解：一個正方形的周長是2×4=8（㎝），那么4個小正方形拼在一起周長不就是8×4=32（㎝）了嗎？他們往往沒有去作深層次的思考：小正方形拼在一起后有些邊長被重合在一起了，計算時單純地用1個小正方形的周長再乘4，有些邊長重復計算，導致新拼成的圖形周長不準確。那么，這個問題要去思考到底是哪些邊長會重合在一起，對于中等及以下的學生來說，憑借頭腦憑空想象是有相當大的難度的？如何解決這個問題？其實，無需老師多言，讓學生同桌合作，自己動手拼一拼、擺一擺，再認真仔細的觀察，答案就顯而易見了。學生通過操作，很快就得出了兩種不同的擺法：

再通過計算，得出了兩種不同的結果：（8+2）×2=20（㎝） 4×4=16（㎝），問題便迎刃而解。

在這樣的探究過程中，教師把“數(shù)學結合思想方法”有意識的滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中，充分利用直觀圖形，把抽象內容視覺化、具體化、形象化，化深奧為淺顯，讓學生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，看到知識背后負載的方法、蘊涵的思想，那么，學生所掌握的知識才是鮮活的，可遷移的，學生的數(shù)學素質才能得到質的飛躍。

2.擴大范圍，廣泛應用

要培養(yǎng)學生數(shù)形結合思想方法，首先教師要切實掌握數(shù)形結合的思想方法，以數(shù)形相結合的觀點鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數(shù)形結合思想方法滲透的各種因素，都要考慮如何結合具體內容進行數(shù)形結合思想方法滲透。“數(shù)形結合思想方法”包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，在小學數(shù)學“數(shù)與代數(shù)”領域教學中，用得最多的是前者，我們可以把數(shù)學結合思想方法滲透在教學中的每一內容。以數(shù)與形相結合的原則進行教學。

（1）數(shù)的認識方面。例如在教學《1000以內數(shù)的認識》這節(jié)課教學中利用小立方體有效的幫助學生構建知識，以及初步感知十進制的計數(shù)方法。數(shù)數(shù)的難點就是接近整百的數(shù)，學生無法感受抽象的數(shù)數(shù)之間滿10的變化，那么我們就將數(shù)數(shù)的抽象思考方式放大，將思維暴露出來，讓學生通過觀察小方塊的變化，一對一的數(shù)數(shù)，在數(shù)到9變成10時，通過演示讓學生理解10的由來同時強化十進制關系。同時通過 “形”來感知數(shù)的多少，既形象又深刻，培養(yǎng)了學生良好的數(shù)感。

（2）數(shù)的運算方面。借助“形”來幫助學生理解非常重要，如在教學退位減法時利用小棒等實物或圖形來理解算理，幫助學生建構“破十法”的原理；教學進位加法時利用小棒等實物或圖形，幫助學生建構“滿十進一”的算理；教學中我們還可以豐富其內容，如：被減數(shù)中間有0的減法，可以利用計數(shù)器有效的突破難點等等。

（3）問題解決方面。借助數(shù)形結合能化抽象為形象，幫助學生建立直觀模型，讓數(shù)量關系更形象、更清晰。

【案例】公雞有50只，比母雞少15只，母雞有幾只？

這類“求一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）多少的數(shù)是多少的問題”學生往往憑借經驗“多加少減”胡亂答題，而不去真正的理解題意。單單憑借教師枯燥乏味的去給學生講解兩個量之間的多少關系，聽得學生云里霧里，最終弄不清楚到底哪個量多，還不如換一種思維方式，把文字敘述轉化為直截了當?shù)膱D形——線段圖，從線段圖中很直觀地看出母雞的只數(shù)由兩部分組成：與公雞同樣多的部分和多出來的部分，列式 50+15=65（只）整個過程數(shù)形結合，在直觀圖示的導引下，使問題化難為易，化抽象為具體，學生通過看圖便一目了然了。與此類問題相類似的還有這樣一種問題：

果園里有150棵蘋果樹，梨樹的棵樹比蘋果樹的2倍少50棵，梨樹有多少棵？

果園里有150棵梨樹，梨樹的棵樹比蘋果樹的2倍少50棵，蘋果樹有多少棵？

這兩個相似的問題不仔細辨別，認為兩個題目是一樣的，而實際上兩個問題由于“1倍量”及倍數(shù)關系的不同，導致兩個問題的解題思路不同。恰好也就是這樣的問題，學生很容易把兩個問題搞混淆，原因是什么？原因就是學生不能正確根據文字描述的題意理解清楚，如果能把這兩個問題的文字描述轉化為線段圖來幫助理解，學生就很容易根據圖意正確列出算式了。

（4）常見的量方面。例如在教學《24時記時法》的教學中可以利用鐘表上的刻度，1個大格代表1小時，24小時就是鐘面上的時針走了2圈，同時形象的理解了0時和24時在同一點上，讓具體的“形”與抽象的數(shù)相輔相成，從而建立起感性認識。

（5）式與方程方面。例如，等式的基本性質的教學，都是以天平秤為載體，通過以加、減、乘、除等方式不斷的改變天平秤兩邊的數(shù)量，從而引導學生得出“等式的兩邊同時加或減一個相同的數(shù)，結果仍然是等式；等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），結果仍然是等式”的等式基本性質；在方程意義的教學中，同樣也是利用天平來幫助學生建立方程存在的等量關系，從而認識什么是方程。

（6）幾何方面的運用。數(shù)形結合思想在幾何中的應用就更為普遍了。比如：“繩子圈羊”活動、“玩泥巴、捏泥人活動”、“切蘿卜活動”等等，以及平時在教學中還用到的許多類似的方法，都是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)。目的就是使題意更加形象、直觀，便于學生更好的理解。

四、數(shù)形結合有哪些方法？

數(shù)形結合的思想方法是數(shù)學學科里最常用的一種方法，它包含了轉化、配方、分類討論、方程思想等數(shù)學思想方法，可見數(shù)形結合思想方法是數(shù)學中極具綜合性的思想方法。在平常的教學活動中讓學生學到數(shù)形結合的方法。教師可以采用多種方式精心組織學生訓練，讓學生置身于具體的教學過程，才能在教師的引導下逐步領悟，理解和掌握。

1.運用或聯(lián)想實物。

2.畫圖。畫圖的形式很多，包括畫線段圖、畫圖形、畫示意圖、畫面積圖、畫點子圖、集合圖等等。

3.利用數(shù)軸。數(shù)軸是體現(xiàn)數(shù)形結合思想的一個重要方法。利用數(shù)軸，找到實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系，讓數(shù)與數(shù)軸這個“形”，緊密融合在一起。

例如，教學《小數(shù)大小比較》時，由于學生在學習本節(jié)課的內容之前只是初步的認識了小數(shù)，還沒有深入的學習小數(shù)的意義，因此學生在總結比較的方法時用抽象的數(shù)學語言比較困難。當文字的表述有困難時，利用數(shù)軸能很好的解決這一問題。因為對于每一個小數(shù)，數(shù)軸上都有唯一確定的點與它對應，因此，兩個小數(shù)的大小比較，是通過這兩個小數(shù)在數(shù)軸上的對應點的位置關系進行的。借助數(shù)軸讓學生理解小數(shù)的大小，知道在數(shù)軸上越往后這個數(shù)越大，越往前這個數(shù)就越小。

再比如， 0.4 > （ ） > （ ） > （ ） > （ ）>0.3，一個這樣的練習我們應該如何去引導學生呢？

同樣可以借助數(shù)軸，在數(shù)軸上找出小于0.4大于0.3的小數(shù)以及能找出幾個這樣的小數(shù)。這個練習借助數(shù)軸，讓抽象的數(shù)學就變得具體、形象了。

4.幾何模型。例如，教學“1-1/2-1/4-1/8-1/16=”，對于小學生來說由于邏輯推理有一定的難度，一批中下學生不容易明白，如果采用幾何模型進行教學，學生都輕松的掌握了。將上面的算式構造成下面的幾何模型圖，把一個大正方形看成單位“1”，一次又一次地進行平均分，通過觀察幾何模型圖很容易看出1-1/2-1/4-1/8-1/16=？，運用數(shù)形結合思想方法可以把代數(shù)與幾何溝通了，使形直觀地反映數(shù)內在的聯(lián)系，拓寬思路，把復雜問題簡單化，從而順利且快速的解決問題，使數(shù)學知識變的更有生命力，讓人回味無窮。我們提倡多種方式來滲透數(shù)形結合思想，要培養(yǎng)學生胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓學生的思維視野。

在數(shù)形結合的教學過程中，應該慎重考慮“先數(shù)后形”還是“先形后數(shù)” 兩者呈現(xiàn)的結果是不一樣的，要把握好。數(shù)形結合思想有助于學生思維更形象，數(shù)形結合思想的方法不是萬能妙藥，提高學生的抽象邏輯思維能力也是非常重要的，兩者之間應平衡。

數(shù)學課堂上有許多抽象的知識，學生很難憑空建立感性認識，借助數(shù)形結合，便可以為數(shù)學課堂插上隱形的翅膀，幫助學生遨游在數(shù)學王國！