丁立娟

【摘要】本文主要工作是在單位復(fù)圓盤D上平方可積的函數(shù)構(gòu)成希爾伯特空間，Bergman空間定義為其中解析函數(shù)構(gòu)成的子空間.本文探討多項(xiàng)式函數(shù)的Bergman范數(shù)的最值和它的零點(diǎn)在D上的位置分布的關(guān)系.通過對(duì)帕塞瓦爾定理的直接應(yīng)用，得出了2-范數(shù)的精確結(jié)果.對(duì)于p-范數(shù)給出了部分結(jié)果的證明和n=3時(shí)對(duì)猜測(cè)結(jié)果的計(jì)算機(jī)驗(yàn)證.

【關(guān)鍵詞】Bergman范數(shù)；MATLAB計(jì)算；多項(xiàng)式；零點(diǎn)

一、前 言

在工程數(shù)學(xué)中Bergman范數(shù)的求解與分析具有重要的作用，本文主要針對(duì)的是多項(xiàng)式的Bergman范數(shù)零點(diǎn)，進(jìn)行理論證明和計(jì)算機(jī)的驗(yàn)證.

二、理論準(zhǔn)備

假定u是A內(nèi)連續(xù)的下調(diào)和函數(shù)，并且m（r）≤12π∫π-πu（reiθ）dθ.（0≤r<1）

若r1

由以上定理可知12π∫π-π|f（reiθ）|pdθ是r的增函數(shù).

Holder不等式：

∫E|f（x）g（x）|dx≤ ∫E|f（x）|p1p· ∫E|f（x）|q1q，

1p+1q=1.

Holder不等式的推廣：

∫E|∏Nn=1fn|dx≤∏Nn=1 ∫E|fn|pndx1pn，其中∑Nn=11pn=1.

三、理論證明

（一）對(duì)2-范數(shù)最值問題的證明

設(shè)n次多項(xiàng)式f（z）=∑Nn=0anzn，不妨設(shè)aN=1，由復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理知，

f（z）=∏Nn=1（z-zn），其中zn是f（z）在D上的零點(diǎn)（n=1，2…，N）且滿足0

由2-范數(shù)的定義和極坐標(biāo)變換得

‖f‖22=∫10r∫2π0|f（reiθ）|2dθdr，

由帕塞瓦爾定理得

∫2π0|f（reiθ）|2dθ=∑+∞n=0|an|2r2n，

代入上式得

‖f‖22=∫10r2π∑Nn=0|an|2r2ndr=2π∫10∑Nn=0|an|2r2n+1dr

=2π∑Nn=0∫10|an|2r2n+1dr=∑Nn=0|an|2πn+1.

由根與系數(shù)的關(guān)系得

an=（-1）N-n∑n1

令f1（z）=zn-an，f2=（z-b）n，設(shè)其各項(xiàng)系數(shù)分別為a（1）n（n=1，2…，N）和a（2）n（n=1，2…，N），由上述公式得

|an|=|（-1）N-n∑n1

<∑n1

當(dāng)n=0時(shí)，

|a0|=aN<∏Nn=1|zn|=|a（2）0|；

當(dāng)0

|an|=|（-1）N-n∑n10=|a（2）n|；

當(dāng)n=N時(shí)，

aN=a2N=1；

綜上，|a（1）n|<|an|<|a（2）n|，對(duì)于0≤n≤N.

因?yàn)椤琭‖2=∑Nn=0|an|2πn+1是|an|的單調(diào)函數(shù)，

‖f1‖2=2π∑Nn=0|a（1）n|22n+2<‖f‖2<∑Nn=0|a（2）n|2πn+1=‖f2‖2.

因此，由對(duì)稱性可知，當(dāng)f的零點(diǎn)在r=a上均勻分布時(shí)，f的2-范數(shù)取得最小值；當(dāng)f的n個(gè)零點(diǎn)集中在r=b上某一點(diǎn)上時(shí)，多項(xiàng)式函數(shù)f的2-范數(shù)取得最大值.

至此，2-范數(shù)情況證畢.

特別地，對(duì)于測(cè)度dAa（a）=（1-|z|2）adA（a），a>-1時(shí)，

‖f‖22=∫10r（1-r2）∫2π0|f（reiθ）|2dθdr，

利用帕塞瓦爾定理得

‖f‖22=2π∫10∑Nn=0|an|2（r2n+1-r2n+3）dr

=∑Nn=0π（n+1）（n+2）|an|2.

由|a（1）n|<|an|<|a（2）n|（對(duì)于0≤n≤N），同上法可得出相同結(jié)果.

四、對(duì)于p-范數(shù)問題的研究

利用Holder不等式得

‖f‖pp=∫10∫2π0∏Nn=1|（reiθ-rneiθn）|pdθrdr

≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ1nrdr.

注意到

∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ=∫2π0（|（reiθ-rneiθn）|2）np2dθ

=∫2π0（r2-2rrncos（θ-θn）+r2n）np2dθ

=∫2π0|（rneiθ-reiθn）|npdθ.

由上面結(jié)論12π∫π-π|f（reiθ）|pdθ是r的增函數(shù)可知

∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ=∫2π0|（rneiθ-reiθn）|npdθ

也是rn的增函數(shù)，且rn

∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ=∫2π0|（rneiθ-reiθn）|npdθ

≤∫2π0|（beiθ-reiθn）|npdθ=∫2π0|（reiθ-beiθn）|npdθ.

所以

‖f‖pp=∫10∫2π0∏Nn=1|（reiθ-rneiθn）|pdθrdr

≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ1nrdr

≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-beiθn）|Npdθ1Nrdr，

由周期函數(shù)的性質(zhì)得

∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-beiθn）|Npdθ1Nrdr

=∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-b）|Npdθ1Nrdr

=∫10∫2π0|（reiθ-b）|Npdθrdr=∫D|（z-b）N|pdA（z）.

即對(duì)于p-范數(shù)，當(dāng)f的n個(gè)零點(diǎn)集中在r=b上某一點(diǎn)上時(shí)，多項(xiàng)式函數(shù)f的p-范數(shù)取得最大值.

五、基于MATLAB對(duì)三次多項(xiàng)式的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證

利用MATLAB編程初步驗(yàn)證了題目中猜測(cè)的結(jié)果.我就n=3的情況下利用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生一組多項(xiàng)式，并要求多項(xiàng)式在D上有n個(gè)零點(diǎn).通過近似積分計(jì)算初步驗(yàn)證了猜想.主程序如下：

a=0.1； %零點(diǎn)模的下界

b=0.9；%零點(diǎn)模的上界

p=1.5；%p值

f=@（r，th）（abs（（r.*exp（i.*th））.^3-a.^3））.^p.*r；%表示p（z）=zn-an

vmin=integral2（f，0，1，0，2*pi）

%p（z）=zn-an的p-范數(shù)

g=@（r，th）（abs（（r.*exp（i.*th）-0.9）.^3））.^p.*r；%表示p（z）=（z-b）n

vmax=integral2（g，0，1，0，2*pi）

%p（z）=（z-b）n的p-范數(shù)

k=0；

for j=1：100

R=unifrnd（0.1，0.9，3，1）；TH=rand（3，1）*2*pi；

h=@（r，th）（abs（（r.*exp（i.*th）-R（1）*exp（i *TH（1）））.*（r.*exp（i.*th）-R（2）*exp（i*TH（2）））.

*（r.*exp（i.*th）-R（3）*exp（i*TH（3）））））.^p.*r；

v=integral2（h，0，1，0，2*pi）；

if v>=vmin&&v<=vmax

k=k+1；

end

End %計(jì)算隨機(jī)產(chǎn)生的滿足條件的100個(gè)多項(xiàng)式

%并比較其范數(shù)

k/100%求出介于兩數(shù)值之間的百分比

運(yùn)行結(jié)果為100%，表示隨機(jī)產(chǎn)生的100個(gè)多項(xiàng)式的p-范數(shù)都介于兩者之間，可以驗(yàn)證對(duì)于1 000個(gè)多項(xiàng)式計(jì)算也成立.

由于多項(xiàng)式是隨機(jī)產(chǎn)生的，所以初步可以驗(yàn)證猜測(cè)的準(zhǔn)確性.由于希爾伯特空間具有很好的幾何性質(zhì)，所以在2-范數(shù)情況下存在精確的解析結(jié)果，即由帕塞瓦爾定理推導(dǎo)出的積分公式.但是對(duì)于一般的Lp空間，不具有希爾伯特空間的特點(diǎn)，所以沒有得到精確表達(dá)式.但是可以利用下調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)證明猜測(cè).根據(jù)對(duì)p=2時(shí)結(jié)果加以歸納，可以猜測(cè)出當(dāng)f的零點(diǎn)在r=a上均勻分布時(shí)（這里說的均勻分布是指相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間，幅角的差是定值2πn）f的p-范數(shù)取得最小值；當(dāng)f的n個(gè)零點(diǎn)集中在r=b上任意一點(diǎn)上時(shí)，多項(xiàng)式函數(shù)f的p-范數(shù)取得最大值.本文中已經(jīng)給出了取得最大值情況的證明，對(duì)于最小值的情況，給出了n=3時(shí)三次多項(xiàng)式的計(jì)算機(jī)驗(yàn)證，驗(yàn)證的結(jié)果也說明了猜測(cè)的正確性.

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