徐志旋

教材中的例題、習(xí)題的拓廣與證明是經(jīng)過數(shù)學(xué)專家精心篩選出來(lái)的，具有經(jīng)典性與代表性，理應(yīng)引起我們一線教師的重視.在人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第92頁(yè)中，有一道拓廣探索題，通過對(duì)這道題的解答和證明過程，值得我們進(jìn)一步思考和探討.

問題 如圖1，用硬紙板剪一個(gè)平行四邊形，作出它的對(duì)角線的交點(diǎn)O，用大頭針把一根平放在平行四邊形上的直細(xì)木條固定在點(diǎn)O處，撥動(dòng)細(xì)木條，使它隨意停留在任意位置，觀察幾次撥動(dòng)的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？證明你的發(fā)現(xiàn).

分析 在木條的運(yùn)動(dòng)過程中，雖然木條位置在改變，但是有不變的量，OA=OC，∠DAC=∠BCA，∠AOE=∠COF，可證明△AOE≌△COF，同樣可證明△DOE≌△BOF，故可以得到線段OE=OF.這三個(gè)結(jié)果都不會(huì)隨木條位置的改變而改變.

如果這道題就此結(jié)束的話，達(dá)不到拓廣探索的目的.教師應(yīng)該在課堂教學(xué)中發(fā)掘教材，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.對(duì)于這道題，可以充分地進(jìn)行拓廣.

拓廣一 如圖2，連接BE，DF.請(qǐng)猜想四邊形BEDF是什么四邊形，并給出證明.

分析 可以先猜測(cè)四邊形BEDF是平行四邊形，結(jié)合上題的結(jié)果可知：OE=OF，OB=OD.故得到證明.

拓廣二 如圖3，題目的所有條件不變，只是把圖形進(jìn)行了改變，可對(duì)學(xué)生提出問題，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，線段OE=OF這些結(jié)論還成立嗎？為什么？連接BF，DE，四邊形BEDF還是平行四邊形嗎？

拓廣三 題目的所有條件仍然不變，圖形進(jìn)一步進(jìn)行改變，如圖4、圖5所示.

可繼續(xù)給學(xué)生提出問題，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，OE=OF，四邊形BEDF是平行四邊形這幾個(gè)結(jié)論還成立不成立？

這樣，通過教師一步一步地拓廣，學(xué)生的思維能力得到提高.其實(shí)這幾個(gè)題目的變形，只是題目的圖形發(fā)生了改變，學(xué)生不仔細(xì)分析就不知道如何入手，如果教師能在平時(shí)的教學(xué)中堅(jiān)持經(jīng)常性地使用類似這樣的變式訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)這種類題接觸多了，以后再遇到這類題就迎刃而解了.

接著我們來(lái)看新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第122頁(yè)的習(xí)題，繼續(xù)來(lái)探索拓廣與證明的方法.

問題 如圖6，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F.求證：AE=EF.（提示：取AB的中點(diǎn)G，連接EG）

說(shuō)明 新人教版初中數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)題分三個(gè)層次展開——復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索，循序漸進(jìn)、由淺入深.“拓廣探索”環(huán)節(jié)不僅是對(duì)知識(shí)內(nèi)涵的拓展，更是知識(shí)應(yīng)用的外延，旨在培養(yǎng)學(xué)生的探究能力與創(chuàng)新能力.為了降低學(xué)生的解題難度，本題還進(jìn)行了方法提示.

證明 取AB的中點(diǎn)G，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°.

∵點(diǎn)G、點(diǎn)E分別是AB，BC的中點(diǎn)，

∴AG=BG=BE=CE，

∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°.

∵CF是正方形外角的平分線，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°.

∵∠AEF=90°，∠B=90°，

∴∠CEF+∠BEA=90°，

∠GAE+∠BEA=90°，

∴∠GAE=∠CEF，

∴△AGE≌△ECF（AAS），

∴AE=EF.

拓廣一 此題E點(diǎn)是邊BC中點(diǎn)，是一個(gè)特殊的點(diǎn)，這時(shí)，可以給學(xué)生提出問題，假如E點(diǎn)改為一個(gè)普通的點(diǎn)，且可以在邊BC上運(yùn)動(dòng).如圖7，其他條件不變，則AE=EF嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 由特殊到一般，化靜為動(dòng).證明方法可以借鑒原題中的提示，可以在AB上截取BG=BE，連接GE.

圖8

拓廣二 如圖8，若E是線段BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，其他條件不變，AE=EF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 本題在拓廣一的基礎(chǔ)上繼續(xù)向外延伸，點(diǎn)E由在有限區(qū)間運(yùn)動(dòng)延伸到無(wú)限區(qū)間運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生的發(fā)散思維能力達(dá)到了一個(gè)更廣闊的空間，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性進(jìn)一步高漲，變通能力得到了有效提高，解決問題的能力得到了加強(qiáng).至于證明方法可在前面的基礎(chǔ)上讓學(xué)生自己思考、自己證明.

圖9

拓廣三 如圖9，若E是線段CB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CM的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.AE=EF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 當(dāng)點(diǎn)E是線段BC的反向延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生的好奇心再次被激發(fā)，求知欲得到增強(qiáng).教師可以適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生，學(xué)生通過猜想、探索、討論、對(duì)比、驗(yàn)證，寫出證明過程.

從以上三個(gè)拓廣題的證明過程來(lái)看，用到了分類討論的思想，其解題思路與方法看似不同，其結(jié)果卻是殊途同歸——證明兩個(gè)三角形全等.而輔助線的作法又是那么相似，例如，拓廣二中的點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，則其解題策略是在線段BA的延長(zhǎng)線上截取AG=CE，而拓廣三中當(dāng)點(diǎn)E在BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，其解題策略是在BA的反向延長(zhǎng)線上截取BG=BE.通過這種解題方法的指引，讓學(xué)生掌握類比探究的解題方法，達(dá)到了教是為了不教的教學(xué)效果.

在素質(zhì)教育的今天，考試更重視考查學(xué)生的素質(zhì)，教師必須多鉆研新課程標(biāo)準(zhǔn)，多研究教材，吃透教材，靈活應(yīng)用教材.《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教.教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”由此可見，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是新課程理念下的重要目標(biāo).如何培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維呢？經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，合理利用變式訓(xùn)練能有效激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維.

教材中的例題、習(xí)題都是較好的教學(xué)資源.教師在平時(shí)的教學(xué)中要針對(duì)一些例題、習(xí)題，尤其是拓廣探索題，進(jìn)行挖掘、進(jìn)行變式練習(xí)，這些都可以成為或已經(jīng)成為綜合性較好的中考試題.