陳娟++李建軍

在高考中，絕大多數(shù)學(xué)生都恐懼圓錐曲線問題.圓錐曲線到底難在哪里呢？兩個(gè)方面，一是思維，不理解問題的實(shí)質(zhì)，不知道算什么，二是計(jì)算量大，計(jì)算復(fù)雜.而事實(shí)上，只要解決了第一個(gè)問題，第二個(gè)問題也就不難了，因?yàn)闆]有問題的切入點(diǎn)，不明白算什么，所以才沒有辦法，也沒有算下去的信心.這里，我就近幾年的高考題，總結(jié)出幾個(gè)解題思路.

類型一：問題是以幾何圖形或者幾何語言形式出現(xiàn)的——數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系

例1 （2015·新課標(biāo)全國卷Ⅰ理科20）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y=x24與直線y=kx+a（a>0）交于M，N兩點(diǎn).

（1）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程.

（2）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

分析 （1）略.

（2）問題中∠OPM=∠OPN反映了什么本質(zhì)呢，作出圖形，設(shè)PM，PN與x軸分別交于點(diǎn)A，B，由∠OPM=∠OPN容易得出∠PAO=∠PBO，又∠PAO為PM的傾斜角α，∠PBO為PN的傾斜角β的補(bǔ)角，α+β=π.從而kPN+kPM=0.又斜率與坐標(biāo)有關(guān)，于是就可以用韋達(dá)定理解決，這樣，幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，找到解題思路.

例2 （2015·新課標(biāo)全國卷Ⅱ理科20）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.

（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

（2）若l過點(diǎn)m3，m，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率，若不能，說明理由.

分析 （1）略.

（2）四邊形OAPB為平行四邊形，是想說明什么問題呢？先分析平行四邊形有什么特點(diǎn)、性質(zhì).① 對邊平行且相等；② 對角線互相平分.由①可以想到kPB=kAO且|PB|=|AO|，由②可以得中點(diǎn)重合，顯然，②這個(gè)性質(zhì)用起來更方便.設(shè)直線l的斜率為k，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)m3，m，所以l：y=kx+m（3-k）3，又OM的方程為y=-9kx.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xp.

由y=-9kx，9x2+y2=m2， 得x2p=k2m29k2+81，即xp=±km3k2+9.又xP=2xM，于是±km3k2+9=2×k（k-3）m3k2+9，解得k1=4-7，k2=4+7.

方法小結(jié) 這一類問題的關(guān)鍵是將圖形問題利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，主要利用圖形的幾何性質(zhì)和特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

類型二：求范圍或者最值問題——基本思想為構(gòu)造函數(shù)或解不等式

例3 （2016·新課標(biāo)全國卷Ⅰ理科20）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

分析 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）由于要求四邊形MPNQ的面積，則要求出弦長|MN|，|PQ|.此題思路不復(fù)雜，計(jì)算稍微煩瑣，基本思想是構(gòu)造函數(shù).

例4 （2015·新課標(biāo)全國卷Ⅱ理科20）已知橢圓E：x2t+y23=1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA.

（Ⅰ）當(dāng)t=4，|AM|=|AN|時(shí)，求△AMN的面積；

（Ⅱ）當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，求k的取值范圍.

分析 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）由題知t>3，由2|AM|=|AN|，可以得到k與t的等式關(guān)系，然后利用t>3這個(gè)條件構(gòu)造不等式，即可求出范圍.

方法小結(jié) 求范圍或最值，基本思路就是構(gòu)造函數(shù)或不等式，尤其是構(gòu)造不等式，怎么去尋找不等關(guān)系，建立與所求參數(shù)的聯(lián)系，是解題的切入點(diǎn)，除了上面提供的思路，有時(shí)還會(huì)利用判別式，曲線之間的位置關(guān)系來建立，當(dāng)然，這樣的問題思路比較容易找到，這里就不列舉了.