湖北工程學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 胡 雷

一、切比雪夫不等式的證明

（一）從不等式本身出發(fā)證明切夫雪比不等式

設X是一個連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù)為記其數(shù)學期望為表示ε掉落在外的概率，所以就有在此積分范圍內(nèi)滿足那我們就可以列出下面式子

同理我們可以證明X為離散型隨機變量的時候的切夫雪比不等式

設X為離散型隨機變量，其概率分布為其中i= 1 ,2,3……;x取分別以Pi取得值xi則事件表示隨機變量X取得所有滿足不等式的可能值xi該事件的概率為得證

（二）從方差的角度證明切比雪夫不等式

設X是一個隨機變量，它的數(shù)學期望為E(X),記作它的總體方差為V(X)，記作它的樣本方差為VI(X)。定義：對于某一區(qū)間I∈R;若存在，則稱為隨機變量X在I區(qū)間上的樣本方差，記做VI(X)。

定理：在隨機變量X的數(shù)學期望E(X)與V(X)方差都存在的情況下，隨機變量X的總體方差大于等于其所有的樣本方差，即V(X) ≥VI(X)。

接下來，基于這個定理，給出切夫雪比不等式的證明。

證明：設X為離散型隨機變量，其概率函數(shù)為其中

設X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為

記根據(jù)定理有

從而得出

二、切比雪夫不等式的應用

利用切比雪夫不等式估計隨機變量落入有限區(qū)間的概率

例：設隨進變量X服從上的均勻分布，試用切比雪夫不等式估計概率

解：第一步先求出E(X)和D(X)

第二步把要估計的概率P[0 ＜X＜2(m+1)]轉(zhuǎn)換成P(|X- E(X)|＜ε)的形式

第三步ε=m+1取利用切比雪夫不等式估計概率