李 凱， 何書韜， 吳國(guó)民， 毛藝達(dá)， 李天勻

(1. 中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心， 武漢 430064; 2. 華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院， 武漢 430074)

基于能量泛函的開口矩形板自由振動(dòng)特性分析

李 凱1， 何書韜1， 吳國(guó)民1， 毛藝達(dá)2， 李天勻2

(1. 中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心， 武漢 430064; 2. 華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院， 武漢 430074)

基于能量泛函方法，建立了開口矩形板自由振動(dòng)分析模型。計(jì)算了開口矩形板的固有頻率和振型函數(shù)。在處理開口問(wèn)題時(shí)，利用對(duì)稱性和反對(duì)稱性只研究四分之一塊板，并將其分割成三個(gè)區(qū)域，通過(guò)位移連續(xù)條件建立區(qū)域之間的聯(lián)系，并用梁函數(shù)模擬位移場(chǎng)，最終得到整體能量泛函。對(duì)其變分后得到廣義特征值矩陣方程，求解方程可以求出各階固有頻率。結(jié)果對(duì)比表明本文方法的準(zhǔn)確性，為在方案設(shè)計(jì)階段快速分析開口矩形板振動(dòng)及其相關(guān)問(wèn)題提供了理論基礎(chǔ)。

開口矩形板； 梁函數(shù)； 能量變分； 固有頻率

含開口矩形板在工程領(lǐng)域中有廣泛地應(yīng)用，大量的被應(yīng)用在航空、船舶、機(jī)械制造等領(lǐng)域。尤其在船舶結(jié)構(gòu)上。在保證船體強(qiáng)度和剛度的前提下，保證船舶結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，盡量減輕船體重量，提高經(jīng)濟(jì)效益，往往在船舶板材上設(shè)置眾多的開口結(jié)構(gòu)。而這些開口改變了船舶原有的振動(dòng)特性，對(duì)板架固有頻率的影響是不容忽視的。有關(guān)板的自由振動(dòng)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者作了很多基礎(chǔ)研究。Leissa[1]對(duì)不同邊界條件下經(jīng)典Voigt解進(jìn)行了討論，給出了自由振動(dòng)的固有頻率解。曾子平等[2]利用拉格朗日乘子法給出了加筋矩形板的自由振動(dòng)分析。Shastry[3]對(duì)任意方向的加筋矩形板的自由振動(dòng)進(jìn)行了研究。彭林欣[4]將加筋板視為平板和筋條的集合，用最小二乘無(wú)單元分析對(duì)加筋板進(jìn)行了自由振動(dòng)分析。戈海玉[5]利用有限元法和邊界元法混合分析，計(jì)及剪切的影響，對(duì)板的自由振動(dòng)進(jìn)行了計(jì)算。葉開浣等[6]給出了四邊固支的復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)的解法。滕兆春等[7]基于二維彈性理論和Hamilton原理做了FGM圓環(huán)板的面內(nèi)自由振動(dòng)分析的相關(guān)研究。但對(duì)于開口板，國(guó)內(nèi)學(xué)者的理論解法研究相對(duì)較少。Sivasubramonian等[8]用有限元方法研究了縱向加筋方板對(duì)稱開口的自由振動(dòng)特性。Boay[9]用有限元方法研究了不同的參數(shù)(孔的尺寸、邊界條件等)對(duì)板的自由振動(dòng)的影響。Laura等[10]處理了旋轉(zhuǎn)彈性邊界的矩形板上存在自由邊界的矩形、圓孔的問(wèn)題。Huang等[11]對(duì)帶多種不同形狀的孔的矩形板的自由振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。Paramasivam[12]對(duì)矩形板進(jìn)行分割，來(lái)處理板開口的問(wèn)題。Mundkur等[13]使用正交多項(xiàng)式函數(shù)利用瑞利-里茲法分析了開口板的振動(dòng)。

本文采用能量變分法，計(jì)算了對(duì)稱邊界中心開口矩形板的固有頻率。利用結(jié)構(gòu)及邊界的對(duì)稱性，僅研究中心開口矩形板的1/4區(qū)域，從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化。本文考慮了正對(duì)稱和反對(duì)稱兩種對(duì)稱邊界的情況，使得到的模態(tài)振型更加全面。對(duì)開口矩形板的1/4區(qū)域進(jìn)行研究。在開口處沿開口的延長(zhǎng)線將把開口矩形板分割成3個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域都為規(guī)則的矩形板，利用分割后的相鄰板位移的連續(xù)性條件，表示出各塊板之間位移函數(shù)中系數(shù)之間的關(guān)系。把位移函數(shù)代入板的應(yīng)變能和動(dòng)能和方程中，運(yùn)用變分法，應(yīng)用應(yīng)變能和動(dòng)能的變分之差為零的條件，建立中心開口矩形板的自由振動(dòng)方程。令系數(shù)矩陣的行列式為0，對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率進(jìn)行求解，并通過(guò)提取出系數(shù)矩陣的特征向量，繪制出開口板自由振動(dòng)的固有振型。并與經(jīng)典的FEM方法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明本文方法是準(zhǔn)確有效的。

1 理論分析

如圖1所示，開口矩形板的長(zhǎng)度為a，寬度為b，矩形開口位于板的中心，開口的長(zhǎng)度為a1，寬度為b1，板厚為h，利用對(duì)稱性，將四分之一的薄板分為3個(gè)區(qū)域。

由于板振動(dòng)時(shí)兩個(gè)正交方向的振型和梁函數(shù)的形狀相對(duì)比較相近，因此每個(gè)區(qū)域的位移(撓度)函數(shù)用如下的一系列的梁函數(shù)來(lái)表達(dá)：

(1)

(2)

不妨設(shè)：

(3)

(4)

可以構(gòu)造轉(zhuǎn)換矩陣[A]，使得{C′[i]}=[A]{C[i]}

(5)

(6)

圖1 開口矩形板示意圖

(7)

(8)

(9)

(10)

在1,2板的交線上選取等距且均分交線長(zhǎng)度的P1個(gè)點(diǎn)(P1=N)，即把交線分為N+1等份，并利用1,2板的交線處的位移相等條件：

(12)

把上述方程寫成矩陣的形式：

(13)

(14)

在2,3板的交線上選取等距且均分交線長(zhǎng)度的P2個(gè)點(diǎn)(P2=M)，即把交線分為M+1等份，并利用2,3板的交線處的位移相等條件：

(16)

把上述方程寫成矩陣的形式：

(17)

(19)

fm(x*)=Asinkx*+Bcoskx*+Csinhkx*+Dcoshkx*

(20)

gm(y*)=Asinky*+Bcosky*+Csinhky*+Dcoshky*

(21)

式中，x*,y*是無(wú)因次化坐標(biāo)。

各個(gè)不同邊界需滿足的條件，如表1所示。

表1 不同邊界下的條件

表1中，C、F、SS、Sym、Asym分別代表固支邊界條件、自由邊界條件、簡(jiǎn)支邊界條件、對(duì)稱邊界條件和反對(duì)稱邊界條件。

對(duì)于各向同性的簡(jiǎn)諧振動(dòng)板來(lái)說(shuō)，僅考慮彎曲變形，其應(yīng)變能為

(22)

其動(dòng)能為

(23)

(24)

其中，

(25)

(26)

(27)

2 數(shù)值計(jì)算

本文通過(guò)兩個(gè)算例，分別說(shuō)明了本文方法在計(jì)算開口大小不同的矩形板時(shí)的適用性和計(jì)算不同邊界長(zhǎng)條形板各階固有頻率時(shí)的準(zhǔn)確性。其中，C-F邊界表示板的外邊界的邊界條件為固支，內(nèi)孔的邊界是自由；SS-SS邊界表示板的外邊界的邊界條件為簡(jiǎn)支，內(nèi)孔的邊界也是簡(jiǎn)支。

在以下兩個(gè)算例中，中心開口方板的材料參數(shù)的取值如下：材料密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3，彈性模量E=2.1×1011Pa。中心開口方板的幾何參數(shù)的取值如下：算例1中板長(zhǎng)a=5 m，板寬b=5 m，板厚h=0.02 m；算例2中板長(zhǎng)a=10 m，板寬b=5 m，板厚h=0.02 m，孔長(zhǎng)a1=2.5 m，孔寬b1=2.5 m。

表2 C-F邊界下不同開口大小方板的首階固有頻率

算例1 C-F邊界下不同開口大小方板的振動(dòng)分析:

本算例用本文方法和有限元方法分別計(jì)算了C-F邊界不同開口的方板的首階固有頻率，以FEM方法為基準(zhǔn)，計(jì)算了相對(duì)誤差，并進(jìn)行了對(duì)比。在使用能量法時(shí)，由于板的應(yīng)變能僅計(jì)入了彎曲的影響，忽略了剪切和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，故計(jì)算得到的剛度偏小，故比FEM方法偏小。從另一個(gè)方面來(lái)講，F(xiàn)EM方法使用了特定的形狀函數(shù)，使得單元邊界處的變形及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性也受到限制，從而使單元之間連接剛度增加，計(jì)算得到的固有頻率偏大。因此，本文方法計(jì)算的固有頻率從整體上比有限元方法略小。

計(jì)算結(jié)果表明：該方法的計(jì)算誤差比較小。從計(jì)算表格可以進(jìn)一步看出，隨著開口大小的增加，結(jié)構(gòu)的首屆固有頻率整體上也是不斷增加的。本文方法可以計(jì)算的開口范圍比較大，具有較強(qiáng)的適用性。

算例2 C-F和SS-SS邊界下開口矩形板的振動(dòng)分析:

在計(jì)算開口矩形板時(shí)，充分利用其對(duì)稱性條件，將其對(duì)稱條件分成四種情況進(jìn)行討論。不妨設(shè)平行于y軸和x軸的四種對(duì)稱邊界分別是：正對(duì)稱-正對(duì)稱(類別1)、正對(duì)稱-反對(duì)稱(類別2)、反對(duì)稱-正對(duì)稱(類別3)、反對(duì)稱-反對(duì)稱(類別4)，并分別計(jì)算其固有頻率，得到表3、表4。

表3 C-F邊界下開口矩形板的各階固有頻率

由此可見，對(duì)于C-F和SS-SS邊界長(zhǎng)條形板前10階固有頻率和經(jīng)典的FEM方法差別不大，計(jì)算準(zhǔn)確度較高。

由以上對(duì)比圖可以得到，本文方法經(jīng)典的FEM方法的振型的吻合度也非常好，進(jìn)一步證明了本文方法的正確性。

表4 SS-SS開口矩形板的各階固有頻率

仿真分析振型(FEM)本文方法振型

圖2 C-F開口矩形板首階振型對(duì)比圖(類別1)

圖3 C-F開口矩形板首階振型對(duì)比圖(類別2)

Fig.3 The first set mode with the 2nd category of rectangular plate at C-F boundary with an opening

從以上數(shù)據(jù)可以看出，本方法所設(shè)的梁函數(shù)和真實(shí)的位移函數(shù)十分接近，故即使在取得的梁函數(shù)的數(shù)目比較少時(shí)，也可以得出比較精確地固有頻率，并得到比較準(zhǔn)確、比較全面的模態(tài)振型。

3 總 結(jié)

仿真分析振型(FEM)本文方法振型

圖4 C-F開口矩形板首階振型對(duì)比圖(類別3)

圖5 C-F開口矩形板首階振型對(duì)比圖(類別4)

Fig.5 The first set mode with the 4th category of rectangular plate at C-F boundary with an opening

本文基于能量變分法，使用梁函數(shù)，對(duì)中心開口矩形板進(jìn)行了自由振動(dòng)特性分析。利用對(duì)稱性，在對(duì)稱邊界處考慮正對(duì)稱和反對(duì)稱兩種情況，對(duì)四分之一塊板進(jìn)行研究，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化。并把這四分之一塊板分割成三個(gè)區(qū)域，利用位移連續(xù)條件建立三個(gè)區(qū)域之間的位移函數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系。將位移函數(shù)代入能量方程中，得到整體的能量泛函，再對(duì)其求變分，求解頻散特性方程，得到結(jié)構(gòu)各階的固有頻率。

本文以C-F邊界下不同大小開口方板和C-F 、SS-SS開口矩形板為例，給出了算例驗(yàn)證，和經(jīng)典的FEM方法的仿真模型進(jìn)行對(duì)比，該方法的準(zhǔn)確性良好，計(jì)算出的固有頻率和固有振型均比較吻合，在國(guó)內(nèi)對(duì)研究開口板振動(dòng)問(wèn)題的較少的前提下，為解決板開口問(wèn)題提供了新的思路。

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The free vibration characteristics analysis of rectangular plate with central opening using energy functional method

LI Kai1, HE Shutao1, WU Guomin1, MAO Yida2, LI Tianyun2

(1. China Ship Development and Design Center， Wuhan 430064， China;2. School of Naval Architecture and Ocean Engineering， Huazhong University of Science and Technology， Wuhan 430074， China)

This article based on the energy functional method to establish a free vibration analysis model and calculate the natural frequency of rectangular plate with an opening. When considering the opening, only a quarter of the plate is available by using symmetry and antisymmetry conditions，which is divided into three regions. Then find connections between regions through continuity conditions of displacement. Displacement field is simulated by beam functions and get the overall energy function. After that，natural frequencies are obtained by solving dispersion characteristic equations yielding by variational method. The results show that the accuracy of the method by comparison. The method provides theoretical foundation on the issue of vibration of rectangular plate with opening and problem related.

rectangular plate with opening; beam functions; energy variational method; natural frequency

2015-03-24 修改稿收到日期：2016-04-28

李凱 男，博士，1983年生

U663.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.025