張永芳, 呂燁迪, 肖良君, 趙晶群, 劉 成

(1. 西安理工大學 印刷包裝與數(shù)字媒體學院，西安 710048；2. 西安交通大學 機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

固定瓦-可傾瓦微氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性運動分析

張永芳1,2, 呂燁迪1,2, 肖良君1,2, 趙晶群1,2, 劉 成1,2

(1. 西安理工大學 印刷包裝與數(shù)字媒體學院，西安 710048；2. 西安交通大學 機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

針對固定瓦-可傾瓦微氣體軸承，考慮氣體稀薄效應(yīng)，給出了具有Burgdorfer一階滑移速度邊界的Reynolds方程，運用微分變換法結(jié)合有限差分法求解方程，得到了各瓦塊在單塊瓦坐標系中的非線性氣膜力，然后通過組裝技術(shù)獲得了固定瓦-可傾瓦微氣體軸承的氣膜力。針對固定瓦-可傾瓦微氣體軸承支撐的剛性Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，運用轉(zhuǎn)子中心軌跡圖、Poincaré映射圖和時間歷程圖分析了轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)，比較了努森數(shù)、轉(zhuǎn)速等對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性特性的影響。數(shù)值結(jié)果表明：稀薄效應(yīng)對轉(zhuǎn)子中心的運動軌跡有較大影響，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)表現(xiàn)為周期一運動、周期三運動和周期四運動。

微氣體軸承；固定瓦-可傾瓦；轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；非線性

隨著旋轉(zhuǎn)機械向著高速、微型、無污染的方向發(fā)展，微型氣體軸承得到了越來越廣泛的應(yīng)用，尤其在MEMS、磁記錄系統(tǒng)等領(lǐng)域[1-4]。微型氣體軸承本質(zhì)上是非線性的，目前已有許多對其非線性動力學特性及穩(wěn)定性進行研究的報道[5-9]。張永芳等[10]針對高速氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在主動控制過程中無法避免的時滯現(xiàn)象，建立了含有雙時滯控制的三軸向槽動壓氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學模型，運用微分變換法，得到了非線性氣膜壓力分布；基于精細積分法，構(gòu)造了時滯非線性軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力響應(yīng)的求解方法；研究了系統(tǒng)的非線性響應(yīng)，分析了時滯量和反饋控制增益對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。以上研究指出非線性氣膜力對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著重要的影響，揭示了微氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)豐富的非線性動力學特性，但沒有對氣體的稀薄效應(yīng)加以考慮。隨著軸承尺寸的變小，空氣平均分子自由程和軸承半徑間隙的比值(即努森數(shù))隨之增大，氣流在軸承表面產(chǎn)生速度滑移, 對軸承的性能產(chǎn)生較大的影響，因此在微型氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動分析中，應(yīng)考慮氣體的稀薄效應(yīng)[11-13]。Zhang等[14]指出努森數(shù)在滑移流區(qū)和過渡流區(qū)的取值范圍內(nèi)，稀薄效應(yīng)、可壓縮性和隨機粗糙度三者的耦合作用對氣體軸承的分析與設(shè)計具有重要的影響。楊琴等[15]采用雙向隱式差分法求解了修正的雷諾方程，結(jié)合轉(zhuǎn)子運動方程，采用4階龍格-庫塔法計算研究了氣體稀薄效應(yīng)對氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的影響。以上研究表明考慮氣體的稀薄效應(yīng)對于微型氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動分析是非常必要的。

目前，對固定瓦-可傾瓦微氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行非線性運動分析的報道較少。固定瓦-可傾瓦氣體軸承[16]在軸承工作時，可傾瓦塊可隨轉(zhuǎn)子運動狀態(tài)的改變而繞支點自由擺動，從而使固定瓦-可傾瓦氣體軸承具有良好的自對中能力和較高的穩(wěn)定性。本文以固定瓦-可傾瓦微氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，考慮了氣體稀薄效應(yīng)的影響，針對基于Burgdorfer一階滑移速度邊界條件的Reynolds方程，利用微分變換法，結(jié)合有限差分法，對修正的Reynolds方程進行求解，得到了單塊瓦坐標系下的非線性氣膜力，然后通過組裝技術(shù)獲得了固定瓦-可傾瓦微型氣體軸承的氣膜力。在此基礎(chǔ)上，對固定瓦-可傾瓦微型氣體軸承支撐的剛性Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學特性進行了研究，分析了稀薄效應(yīng)、轉(zhuǎn)速等對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性特性的影響，運用轉(zhuǎn)子中心軌跡圖、Poincaré映射圖和時間歷程圖分析了轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)。

1 系統(tǒng)方程

圖1給出了固定瓦-可傾瓦微氣體軸承-對稱剛性Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型示意圖，其動力學方程為

(1)

式中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量的二分之一；x，y為轉(zhuǎn)子中心在x，y方向的位移分量；fx，fy為軸承在x，y負方向的非線性氣膜力分量；g為重力加速度；ex，ey為轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量偏心距在x，y方向的分量；fex，fey為不平衡力在x，y方向的分量；ω為轉(zhuǎn)子的角速度。

圖1 固定瓦-可傾瓦微氣體軸承-對稱剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

Fig.1 Schematic diagram of a rigid rotor system with micro fixed-tilting pad micro gas-lubricated bearings support

為了便于計算，利用轉(zhuǎn)子角速度ω，軸承的半徑間隙c，環(huán)境壓力pa，軸頸半徑R對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學方程進行無量綱化，為此引入以下無量綱變量

將以上無量綱變量代入式(1)中，可得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的無量綱動力學方程為

(2)

式中：M為質(zhì)量矩陣；X″為加速度向量；W為重量向量；Q為外部激勵力向量；F為非線性氣膜力向量。其表達式分別為

2 固定瓦-可傾瓦微氣體軸承非線性氣膜力

2.1 固定瓦-可傾瓦微氣體軸承模型

2.2 修正的Reynolds方程及邊界條件

考慮氣體稀薄效應(yīng)，由于稀薄氣體動力學基本方程(Boltzmann方程)為一階形式[17]，因此，基于一階滑移邊界的Reynolds方程的無量綱形式為

(3)

式中：φ為沿軸承圓周方向的無量綱坐標；λ為沿軸承軸向方向的無量綱坐標；P為無量綱氣膜壓力；H為無量綱氣膜厚度；Λ為軸承數(shù)；Kn0為努森數(shù)。其表達式分別為

式中：h為有量綱氣膜厚度；μ為氣體動力黏度；λa為環(huán)境壓力下氣膜分子的平均自由程。

(a) 固定瓦-可傾瓦微氣體軸承端視圖

(b) 固定瓦-可傾瓦微氣體軸承剖視圖

固定瓦-可傾瓦微氣體軸承的無量綱壓力分布的邊界條件可以表示為

式中：φi1、φi2為第i塊瓦上氣膜的起始角和終止角。

通過對每塊瓦氣膜區(qū)域上的壓力積分，便可獲得軸瓦徑向和切向的無量綱承載力：

2.3 微分變換法求解修正的Reynolds方程

微分變換法具有收斂速度快和計算誤差小等特點。為了減少迭代求解非線性氣膜力的計算工作量和提高計算精度，本文采用微分變換法求解基于一階速度滑移邊界的Reynolds方程[18]。令Q=P2，I=H2，J=H3，并對式(3)進行微分變換，則式(3)可以表示為

(4)

根據(jù)卷積、一階中差商和二階中差商的定義，式(4)可以表示為

(5)

式中：i，j分別為軸承周向和軸向方向上的節(jié)點編碼；k，l，m為微分變換的階數(shù)(k≥l≥m)；Δφ，Δλ，Δτ分別為軸承周向差分步長、軸向差分步長和時間步長。

由于軸頸中心線與軸承的中心線是平行的，所以氣膜厚度沿軸承軸向方向沒有變化，即?Hi,j/?λ=0。當k=0，l=0，m=0時，式(5)可表達為

(6)

當k=0時,有：

(7)

將式(7)代入式(6)，有：

(8)

式中：Hi(0)為上一時刻的氣膜厚度；Pi,j(0)為上一時刻的壓力分布；Hi(1)，Pi,j(1)分別為求解氣膜壓力分布的中間變量。Hi(1)的表達式為

(9)

當k=1；l=0, 1；m=1, 0時，式(5)可表示為

(10)

當k=1時,有：

(11)

將式(7)和式(11)代入式(10)，有：

(12)

式中：Hi(2)和Pi,j(2)為求解氣膜壓力分布的中間變量。Hi(2)的表達式為

(13)

將Hi(0)，Pi,j(0)，Hi(1)代入式(8)可求得Pi,j(1)，再將Hi(0)，Pi,j(0)，Hi(1) ，Pi,j(1) ，Hi(2)代入式(12)即可求得Pi,j(2)。則氣膜壓力Pi,j可以通過下式求得：

2.4 單塊瓦非線性氣膜力

為了求解固定瓦-可傾瓦微氣體軸承非線性氣膜力，首先需要在單瓦坐標系中求解修正的Reynolds方程，得到單瓦坐標系中的非線性氣膜力。圖3和圖4給出了第i塊瓦的計算坐標系及非線性氣膜力分量的關(guān)系圖，其中ε為軸頸中心相對于軸承中心的偏心率，εi為軸頸中心相對于第i塊瓦的偏心率，εξi和εηi分別是εi在單瓦坐標系ξi和ηi方向上的分量,γi是第i塊瓦在單瓦坐標系中的偏位角。

圖3 第i塊瓦計算坐標

圖4 單瓦坐標系中氣膜力分量的關(guān)系圖

根據(jù)圖3中的幾何關(guān)系可以得到第i塊軸瓦的偏心率εi為

εi=

(14)

式中，Ψ=c/R為軸承的間隙比。

根據(jù)軸瓦的平衡條件:Fξi=0,有:

即:

(15)

式中：Pi為第i塊瓦上的壓力分布；Fθi、Fεi為第i塊瓦上的切向和徑向氣膜力分量，其表達式分別為

在第i塊軸瓦坐標系中，氣膜厚度為

(16)

在第i塊軸瓦坐標系中,相對擺角αi/Ψ的計算采用以下形式:

因為εi<1,cosγi≤1,Ψ<<1,則上式變?yōu)?/p>

(17)

對于固定軸瓦，氣膜力的計算較為簡單，不需要修正擺角，直接調(diào)用氣膜力計算程序就可以得到在軸承坐標系中的非線性氣膜力。對于可傾軸瓦，還必須在軸承運行過程中不斷修正擺角，以保證可傾軸瓦平衡[16]。擺角的修正是一個迭代過程，迭代步驟為：

(1) 給定預(yù)負荷δ、偏心率ε、偏位角θ、軸瓦的支點位置角φki，設(shè)定可傾瓦相對擺角的初始值為(αi/Ψ)0；

(2) 將δ，ε，θ，φki和αi/Ψ代入式(14)求得εi；

(3) 將εi，ε，θ，φki和(αi/Ψ)0代入式(17)求得γi0；

(4) 計算第i塊瓦氣膜的起始角和終止角；

(5) 根據(jù)式(15)計算γi；

(6) 根據(jù)式(17)修正相對擺角αi/Ψ；

2.5 固定瓦-可傾瓦微氣體軸承氣膜力的組裝

(1) 給定初始參數(shù):預(yù)負荷δ，偏位角θ，偏心率ε，可傾瓦的位置角φki和初始相對擺角(αi/Ψ)0；

(2) 若為可傾軸瓦，計算各瓦坐標系ξiOηi下的偏心率εi，偏位角γi。然后調(diào)用氣膜力計算程序，求得瓦塊坐標系下的非線性氣膜力Fξi和Fηi，并利用下式將其轉(zhuǎn)化到軸承坐標系xOby下的非線性氣膜力FXi和FYi。最后判斷瓦塊是否平衡，如果不滿足則利用牛頓迭代法修正相對擺角。

(3) 若為固定瓦塊，則直接調(diào)用單塊瓦的非線性氣膜力計算程序，求得固定瓦在軸承坐標系xOby下的非線性氣膜力Fx和Fy。

(4) 氣膜力的組裝，求得軸承坐標系xOby下的非線性氣膜力FX和FY。

3 數(shù)值算例

3.1 稀薄效應(yīng)對轉(zhuǎn)子非線性特性的影響

為了研究稀薄效應(yīng)對轉(zhuǎn)子非線性特性的影響，選用圖1所示的Jeffcott剛性對稱轉(zhuǎn)子和圖2所示的固定瓦-可傾瓦微氣體軸承，對努森數(shù)為0(不考慮氣體的稀薄效應(yīng))和0.03時的轉(zhuǎn)子中心運動軌跡進行了分析。轉(zhuǎn)子和軸承的參數(shù)選取為：轉(zhuǎn)子長度為l=0.1 m，圓盤寬度8.25 mm，軸承直徑為D=0.006 m，軸承寬度為B=0.006 m，半徑間隙為c=3.116E-006 m，支點比為0.5，預(yù)負荷系數(shù)δ=0.2，轉(zhuǎn)子速度ω=1 000 rad/s。

圖5所示為努森數(shù)為0時轉(zhuǎn)子中心的周期四運動，圖6為努森數(shù)為0.03時轉(zhuǎn)子中心的周期一運動?？梢钥闯?，考慮稀薄效應(yīng)和不考慮稀薄效應(yīng)對轉(zhuǎn)子的非線性特性有較大影響，表明了考慮稀薄效應(yīng)的必要性。

(a) ω=1 000 rad/s, Kn0=0時，軸頸中心周期四運動軌跡

(b)ω=1 000 rad/s, Kn0=0時，軸頸中心運動軌跡的Poincaé映射在X-Y平面上的投影

圖5ω=1 000 rad/s,Kn0=0時，軸頸中心的周期四運動軌跡及其Poincaé映射

Fig.5 The period-4 orbit and Poincaré map of the center of the rotor forω=1 000 rad/s andKn0=0

(a) ω=1 000 rad/s, Kn0=0.03時，軸頸中心周期一運動軌跡

(b) ω=1 000 rad/s, Kn0=0.03時，軸頸中心運動軌跡的Poincaré映射在X-Y平面上的投影

圖6ω=1 000 rad/s,Kn0=0.03時，軸頸中心的周期一運動軌跡及其Poincaé映射

Fig.6 The period-1 orbit and Poincaré map of the center of the rotor forω=1 000 rad/s andKn0=0.03

3.2 固定瓦-可傾瓦微氣體軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性計算

對圖1所示的固定瓦-可傾瓦微氣體軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行分析，轉(zhuǎn)子和軸承的參數(shù)選取如下：努森數(shù)Kn0=0.01，轉(zhuǎn)子為對稱剛性轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子長度l=0.05 m，軸承直徑為D=0.006 m，軸承寬度B=0.006 m，半徑間隙為c=3.116E-006 m，支點比為0.5，預(yù)負荷系數(shù)δ=0.2，質(zhì)量密度為7 800 kg/m3，質(zhì)量偏心ex=ey=0.000 5 mm，可傾瓦的張角為75°，可傾瓦支點位置角分別為 45°和 315°，固定瓦的張角為170°，氣體動力黏度為μ=1.8E-005 Pa·s。

當轉(zhuǎn)速較低時，轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)是穩(wěn)定的周期運動。圖7給出了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為ω=800 rad/s時轉(zhuǎn)子中心的周期運動軌跡、轉(zhuǎn)子中心運動軌跡的Poincaré映射在X-Y平面上的投影、轉(zhuǎn)子中心軌跡在Y方向的時間歷程。隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)的響應(yīng)為周期三運動。圖8給出了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為1 000 rad/s時，轉(zhuǎn)子中心的周期三運動軌跡、轉(zhuǎn)子中心運動軌跡的Poincaré映射在X-Y平面上的投影，轉(zhuǎn)子中心運動軌跡在Y方向的時間歷程。

(a) ω=800 rad/s, Kn0=0.01時，軸頸中心周期一運動軌跡

(b) ω=800 rad/s, Kn0=0.01時，軸頸中心運動軌跡的Poincaré映射在X-Y平面上的投影

(c) ω=800 rad/s，Kn0=0.01時，轉(zhuǎn)子中心Y方向上的時間歷程

圖7ω=800 rad/s,Kn0=0.01時，軸頸中心的周期一運動軌跡、Poincaé映射和時間歷程

Fig.7 The period-1 orbit，Poincaré map and time series of the center of the rotor forω=800 rad/s andKn0=0.01

4 結(jié) 論

本文針對固定瓦-可傾瓦微氣體軸承支撐的剛性Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，研究了氣體稀薄效應(yīng)和轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)非線性動力學行為的影響，結(jié)論如下：

(1) 運用微分變換法求解固定瓦-可傾瓦微氣體軸承的非線性氣膜壓力分布，在提高計算精度的同時，減少了迭代求解氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力響應(yīng)的計算工作量。

(a) ω=1 000 rad/s，Kn0=0.01時，軸頸中心周期三運動軌跡

(b)ω=1 000 rad/s，Kn0=0.01時，軸頸中心運動軌跡的Poincaré映射在X-Y平面上的投影

(c)ω=1 000 rad/s，Kn0=0.01時，轉(zhuǎn)子中心Y方向上的時間歷程

圖8ω=1 000 rad/s,Kn0=0.01時，軸頸中心的周期三運動軌跡、Poincaé映射和時間歷程

Fig.8 The period-3 orbit，Poincaré map and time series of the center of the rotor forω=1 000 rad/s andKn0=0.01

(2) 氣體稀薄效應(yīng)對轉(zhuǎn)子中心運動軌跡有較大影響，在微氣體軸承的研究中，氣體稀薄效應(yīng)的作用不可忽視。

(3) 運用轉(zhuǎn)子中心軌跡圖、Poincaré映射圖和時間歷程圖分析了轉(zhuǎn)子的非線性動力學行為，當轉(zhuǎn)速較低時，轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)為穩(wěn)定的周期運動，但轉(zhuǎn)速增加時，轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)為周期三運動，周期三運動是通向混沌的典型道路。

本文的研究工作可為固定瓦-可傾瓦微氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學設(shè)計提供理論技術(shù)參考，具有積極的指導(dǎo)意義。

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Nonlinear dynamic analysis for a rotor system supported with fixed-tilting pad micro gas-lubricated bearings

ZHANG Yongfang1,2, Lü Yedi1,2, XIAO Liangjun1,2, ZHAO Jingqun1,2, LIU Cheng1,2

(1.School of Printing, Packaging Engineering and Digital Media Technology, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China；2.State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Aiming at fixed-tilting pad micro gas-lubricated bearings, considering gas rarefaction effect, Reynolds equation with Burgdorfer 1st-order slip velocity boundary was derived. This Reynolds equation was solved with the differential transformation method combined with the finite difference one, and then the nonlinear gas film force of each pad was calculated. Adopting the assembly technique, the gas film force of the fixed-tilting pad micro gas-lubricated bearing was obtained. For a rigid Jeffcott rotor system supported with fixed-tilting pad micro gas-lubricated bearings, its unbalance responses were analyzed using rotor center’s orbit diagrams, Poincaré map diagrams and time history diagrams. In addition, influences of Knudsen number and rotating speed on the nonlinear dynamic characteristics of the rotor were compared. The results showed that the gas rarefaction effect has a larger influence on orbits of the rotor’s centers; the unbalance responses of the rotor system are characterized as period-1, period-3, and period-4 motions.

micro gas-lubricated bearing; fixed-tilting pad; rotor system; nonlinear

國家自然科學基金(51505375)；機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室開放課題(SV2016-KF-10)；陜西省教育廳科學研究計劃項目(15JK1549,15JS068)

2016-01-30 修改稿收到日期：2016-04-16

張永芳 女，博士，副教授，1975年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.010