高 萍

以“將軍飲馬”之例妙解“最短距離和”

高 萍

親愛(ài)的同學(xué)，你知道“將軍飲馬”的問(wèn)題嗎？據(jù)說(shuō)一位古羅馬將軍遇到一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：如圖1，將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？聰明的你，一定能輕松地解決這個(gè)問(wèn)題——如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交河岸所在直線于點(diǎn)P，則將軍沿著AP+PB的路線走是最短的.

圖1

圖2

但是，你知道為什么要這樣做嗎？作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，依據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知AP=A′P，要使得AP+PB最短，只要A′P+PB最短就可以了.而當(dāng)A′P和PB在同一條直線上時(shí)，A′P+PB的和是最短的——因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短.

請(qǐng)注意，在解決這個(gè)古老的經(jīng)典問(wèn)題——“求最短距離和”時(shí)，最關(guān)鍵的思想是把其中的一條線段AP轉(zhuǎn)化為A′P，使得求和的兩條線段AP和PB在轉(zhuǎn)化后有可能在同一直線上，當(dāng)它們?cè)谕恢本€上時(shí)，距離和就最短.最有用的經(jīng)驗(yàn)是，作了定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，使得轉(zhuǎn)化得以實(shí)現(xiàn).

好了，數(shù)學(xué)的魅力馬上就要展現(xiàn)！請(qǐng)耐心向下看：

例1 如圖3，在正方形ABCD中，AE平分∠DAC，P、Q分別是AD、AE上的動(dòng)點(diǎn)，則P、Q位于何處時(shí)，PQ+QD最短？若正方形的邊長(zhǎng)為5，求PQ+QD的最短距離和.

圖3

【分析】要使PQ+QD最短，可轉(zhuǎn)化其中的某一條線段，使轉(zhuǎn)化后的兩條線段有可能在同一條直線上.P、Q兩點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，故轉(zhuǎn)化DQ.如圖4，作定點(diǎn)D關(guān)于動(dòng)點(diǎn)Q所在直線的對(duì)稱點(diǎn)D′，依據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，D′點(diǎn)落在線段AC上，且D′Q=DQ.此時(shí)只需D′Q+PQ最短即可.因?yàn)镻也是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，D′Q和PQ在同一直線上有無(wú)數(shù)種可能，其中D′Q和PQ在同一直線上且與AD垂直時(shí)其距離和最短（如圖5）.

圖4

圖5

【答案】P、Q位置如圖5時(shí)，PQ+QD最短，最短距離和為

怎樣？雖然出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是不是感覺(jué)和“將軍飲馬”的問(wèn)題如出一轍？

例2 如圖6，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°.在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△MNA周長(zhǎng)最小.

圖6

圖7

【分析】△MNA周長(zhǎng)最小，即AM+MN+AN和最小，可考慮轉(zhuǎn)化其中兩條線段，使轉(zhuǎn)化后的三條線段有可能在同一條直線上.M、N均為動(dòng)點(diǎn)，故轉(zhuǎn)化AM、AN比較合適.分別作定點(diǎn)A關(guān)于動(dòng)點(diǎn)M、N所在直線BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A1和A2，此時(shí)AM+MN+AN轉(zhuǎn)化為A1M+MN+A2N，當(dāng)這三條線段在同一直線上時(shí)，其和最短.

【答案】如圖7所示.

如何？雖然是三條線段的最短距離和，相信一定沒(méi)難住善于思考的你吧.讓我們把難度等級(jí)再提高一級(jí)試試吧！

例3 如圖8，已知點(diǎn)A（3，4），B（-1，1），在x軸上有兩點(diǎn)E、F，且EF=1，線段EF在x軸上平移，移至何處時(shí)四邊形ABEF周長(zhǎng)最短？

圖8

圖9

【分析】因?yàn)榫€段AB和線段EF為定長(zhǎng)線段，所以要使四邊形ABEF周長(zhǎng)最短，其實(shí)就是要使BE+AF最短.我們?nèi)粢罁?jù)前面的經(jīng)驗(yàn)，作某點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化其中一條線段，會(huì)發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后兩線段間夾著一段EF，無(wú)法使它們?cè)谕恢本€上.怎么辦呢？如果沒(méi)有EF這一段就好了.能不能利用圖形的變換擠去EF呢？

如圖9，我們可以把線段BE向右平移一個(gè)單位，使E、F兩點(diǎn)重合，得線段B1F，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使B1F+AF最短.現(xiàn)在是不是又回到“將軍飲馬”的問(wèn)題了？

【答案】如圖10，作B1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B2，B2A與x軸的交點(diǎn)F′即為所求F的位置，左移一個(gè)單位即為所求E點(diǎn)的位置.

圖10

看了這些問(wèn)題，是不是感覺(jué)到了數(shù)學(xué)的神奇與魅力？什么叫萬(wàn)變不離其宗，什么叫九九歸一，你一定有更深的理解了吧！在以上幾例中，通過(guò)作圖形的平移和對(duì)稱變換，轉(zhuǎn)化了線段的位置，使復(fù)雜的問(wèn)題都化歸于“將軍飲馬”這樣的簡(jiǎn)單模型.不過(guò)，平移和對(duì)稱變化只是我們實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的途徑之一，還有全等變換以及由圖形特點(diǎn)所帶來(lái)的相等線段也可實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化.也就是說(shuō)，轉(zhuǎn)化線段使得多條線段有可能在同一條直線上，才是解決“求最短距離和”問(wèn)題的精髓.

你領(lǐng)會(huì)其中的精髓了嗎？來(lái)檢測(cè)一下吧！

考考你：如圖11，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.

（1）求證：△AMB≌△ENB；

（2）當(dāng)M位于何處時(shí)，AM+BM+CM的和最??？

圖11

江蘇省常州市金壇區(qū)第三中學(xué)）

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