許 琴

大膽判斷 小心說理

許 琴

近幾年的中考試題中，判斷說理型問題頻頻“亮相”，引起了大家的高度重視.談起解決這一類問題，相信大家腦海里都會(huì)浮現(xiàn)出“大膽判斷，小心說理”這八個(gè)字.“判斷”——即根據(jù)學(xué)過的數(shù)學(xué)定義、定理等知識(shí)，經(jīng)過合情合理的猜想，從而作出正確的判斷；“說理”——即根據(jù)題目的要求，對(duì)自己作出的判斷進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)算或推理說明.下面就結(jié)合例題講講這類問題的解題方法.

一、統(tǒng)計(jì)型判斷說理題

統(tǒng)計(jì)型判斷說理題不但考查概念的理解，還考查讀圖的能力.利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷，從而正確地解決問題.

例1 九年級(jí)（1）班開展了為期一周的“敬老愛親”社會(huì)活動(dòng)，并根據(jù)學(xué)生做家務(wù)的時(shí)間來評(píng)價(jià)他們?cè)诨顒?dòng)中的表現(xiàn).老師調(diào)查了全班50名學(xué)生在這次活動(dòng)中做家務(wù)的時(shí)間，并將統(tǒng)計(jì)的時(shí)間（單位：小時(shí)）分成5組：A：0.5≤x＜1；B：1≤x＜1.5；C：1.5≤x＜2；D：2≤x＜2.5；E：2.5≤x＜3.

制作成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖）：

請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）這次活動(dòng)中學(xué)生做家務(wù)時(shí)間的中位數(shù)所在的組是______；

（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（3）該班的小明同學(xué)這一周做家務(wù)2小時(shí)，他認(rèn)為自己做家務(wù)的時(shí)間比班里一半以上的同學(xué)多，你認(rèn)為小明的判斷符合實(shí)際嗎？請(qǐng)用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)知識(shí)說明理由.

解：（1）C組的人數(shù)是：50×40%=20（人），

B組的人數(shù)是：50-3-20-10-2=15（人），

把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，由于共有50個(gè)數(shù)，第25、26個(gè)數(shù)都落在1.5≤x＜2范圍內(nèi)，則中位數(shù)落在C組.故答案為：C.

（2）根據(jù)（1）得出的數(shù)據(jù)補(bǔ)圖即可.

（3）符合實(shí)際.設(shè)中位數(shù)為m，根據(jù)題意，m的取值范圍是：1.5≤m＜2，

∵小明做家務(wù)的時(shí)間大于中位數(shù)，

∴他做家務(wù)的時(shí)間比班級(jí)中一半以上的同學(xué)多.

二、概率型判斷說理題

概率型判斷說理題主要是對(duì)游戲公平性的判斷.判斷游戲是否公平就是要計(jì)算每個(gè)事件發(fā)生的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

例2 如圖所示，可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被3等分，指針落在每個(gè)扇形內(nèi)的機(jī)會(huì)均等.

（1）現(xiàn)隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，停止后，指針指向1的概率為______；

（2）小明和小華利用這個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲，若采用下列游戲規(guī)則，你認(rèn)為對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法說明理由.

解：（1）根據(jù)題意得：隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，停止后，指針指向1的概率為.故答案為：.

（2）不公平.列表得：

所有等可能的情況有9種，其中兩數(shù)之積為偶數(shù)的情況有5種，積為奇數(shù)的情況有4種，

三、函數(shù)型判斷說理題

函數(shù)型判斷說理題主要是決策性問題，一般需要運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合函數(shù)、方程、不等式的知識(shí)來解決.

例3 甲、乙兩家超市以相同的價(jià)格出售同樣的商品，為了吸引顧客，各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲超市累計(jì)購買商品超出300元之后，超出部分按原價(jià)8折優(yōu)惠；在乙超市累計(jì)購買商品超出200元之后，超出部分按原價(jià)8.5折優(yōu)惠.假設(shè)顧客預(yù)計(jì)累計(jì)購物x元（x＞300），那么顧客到哪家超市購物更優(yōu)惠？說明你的理由.

解：設(shè)在甲超市購物所付的費(fèi)用為y1元，

在乙超市購物所付的費(fèi)用為y2元.

y1=300+0.8（x-300）=0.8x+60，

y2=200+0.85（x-200）=0.85x+30.

①當(dāng)y1=y2時(shí)，即0.8x+60=0.85x+30，解得x=600，即當(dāng)顧客購物600元時(shí)，到兩家超市購物所付費(fèi)用相同；

②當(dāng)y1＞y2時(shí)，即0.8x+60＞0.85x+30，解得x＜600，而x＞300，∴300＜x＜600，即顧客購物超過300元且不滿600元時(shí)，到乙超市購物更優(yōu)惠；

③當(dāng)y1＜y2時(shí)，即0.8x+60＜0.85x+30，解得x＞600，即當(dāng)顧客購物超過600元時(shí)，到甲超市購物更優(yōu)惠.

四、幾何型判斷說理題

幾何型判斷說理題綜合性較強(qiáng)，不但要求同學(xué)們會(huì)判斷圖形的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系，還要求大家有一定的作圖能力和分析問題的能力.

例4 如圖1所示，一幢樓房AB背后有一臺(tái)階CD，臺(tái)階每層高0.2米，且AC=17.2米，設(shè)太陽光線與水平地面的夾角為α，當(dāng)α=60°時(shí)，測(cè)得樓房在地面上的影長AE=10米，現(xiàn)有一只小貓睡在臺(tái)階的MN這層上曬太陽.（ 3取1.73）

（1）求樓房的高度約為多少米？

（2）過了一會(huì)兒，當(dāng)α=45°時(shí)，問小貓還能否曬到太陽？請(qǐng)說明理由.

圖1

解：（1）當(dāng)α=60°時(shí)，在Rt△ABE中，

答：樓房的高度約為17.3米.

（2）當(dāng)α=45°時(shí)，小貓仍可以曬到太陽.

如圖2所示，假設(shè)沒有臺(tái)階，當(dāng)α=45°時(shí)，從點(diǎn)B射下的光線與地面AD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，與MC的交點(diǎn)為點(diǎn)H.

圖2

此時(shí)的影長AF=AB=17.3（米），

∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1（米），

∴CH=CF=0.1（米），

∴大樓的影子落在臺(tái)階MC這個(gè)側(cè)面上，

∴小貓仍可以曬到太陽.

為了更好地解決判斷說理題，希望同學(xué)們能勇于對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行猜想，敢于求證自己的猜想，努力鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維，能夠創(chuàng)新愉快地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)洮西中學(xué)）