黃志琴

分解剖析 溯源歸一

黃志琴

分類是初中數(shù)學(xué)第一個(gè)運(yùn)用頻繁并“隆重”介紹的數(shù)學(xué)思想方法.分類討論題讓同學(xué)們“愛(ài)恨交錯(cuò)”——具有挑戰(zhàn)性而很難攻克.其實(shí)分類是有章可循，標(biāo)準(zhǔn)是它的基礎(chǔ)，順序是分類全面的保障.

問(wèn)題一 怎樣把 ||a的絕對(duì)值去掉？在數(shù)學(xué)問(wèn)題中當(dāng)我們不能確定時(shí)就需要分類.分類是需要標(biāo)準(zhǔn)的，想一想，它的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？正數(shù)、負(fù)數(shù)和零.與數(shù)的組成相關(guān)的分類討論：比較數(shù)的大小，有理數(shù)的加法、乘法法則，化簡(jiǎn)二次根式等等.我們需要逐個(gè)依次考慮：負(fù)數(shù)、0、正數(shù).

例1 化簡(jiǎn)代數(shù)式 ||x+1+ ||x-2及求它的最小值.

例2 已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y有最小值，最小值是多少？

（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）兩點(diǎn)都在該函數(shù)的圖像上，試比較y1與y2的大小.

【點(diǎn)撥】例1中我們需要找到兩個(gè)“0”點(diǎn)，并且組合分成“三段”（結(jié)合數(shù)軸更清晰）.

例2中的第（3）問(wèn)，思路一，可轉(zhuǎn)化為y1-y2的差與0的比較（“0”點(diǎn)），根據(jù)m的取值范圍比較y1、y2的大小，這是函數(shù)應(yīng)用中的常見(jiàn)問(wèn)題.思路二，函數(shù)圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，先確定相等時(shí)m的值為（“0”點(diǎn)值），在此基礎(chǔ)上分類.親愛(ài)的同學(xué)，解這一類題的關(guān)鍵是什么？

問(wèn)題二 有一條道路和兩個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng).把這條道路看成一條直線l，兩個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)分別看成點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)A、B與直線l有多少種不同的位置關(guān)系？畫(huà)出各種可能位置的圖形.不同的位置，需逐個(gè)考慮.

例3（點(diǎn)在線上）已知一條直線上有A、B、C三點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P，AB=10，線段BC的中點(diǎn)為Q，BC=6，則線段PQ的長(zhǎng)為_(kāi)__.

例4（點(diǎn)在線外）如圖1，已知∠AOB.

（1）用直尺和圓規(guī)作射線OP，使OP⊥OB，

并分別作∠POA、∠AOB的平分線OM、ON；（2）求∠MON的度數(shù).

圖1

【點(diǎn)撥】例3中直線被點(diǎn)A、B分成三部分，點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)B的位置可以在左側(cè)或右側(cè)，需要分類.

例4因?yàn)辄c(diǎn)P位置可以在直線OB的兩側(cè)，射線有2條，圖形有2種.

問(wèn)題三 當(dāng)圖形特殊化，放在平面直角坐標(biāo)系或圓的背景中時(shí)，題目就變得復(fù)雜，需要分解剖析.

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，問(wèn)平面上是否存在點(diǎn)Q，使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，寫(xiě)出Q的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2

【點(diǎn)撥】已知兩個(gè)點(diǎn)確定一條線段，線段AB可以是未知菱形的邊或?qū)蔷€，需要分類.點(diǎn)P的位置是在x軸上，即第二條邊的所在直線確定，存在4個(gè)菱形，點(diǎn)Q的位置如下：Q1（5，3）、Q2（-9，3）、Q3（0，-3）、Q4（-，3）.

特殊圖形形狀特殊，其中存在構(gòu)成元素的特殊關(guān)系，定義和性質(zhì)是我們考慮的分類標(biāo)準(zhǔn).又如等腰三角形的邊、角之間的特殊關(guān)系是我們分類的標(biāo)準(zhǔn).確定能確定的，縮小范圍，有條理地簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題.

小試身手

1.如圖3，A（-5，0），B（-3，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，CD∥AB.∠CDA=90°.點(diǎn)P從點(diǎn)Q（4，0）出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)∠BCP=15°時(shí)，求t的值；

（3）以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值.

圖3

2.直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2.

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）連接BC，得△ABC.若點(diǎn)D在x軸上，且以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

圖4

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)白塔中學(xué)）

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