筅湖北省武漢市第二中學(xué)張搏翰

數(shù)學(xué)歸納法在幾何解題中的應(yīng)用

筅湖北省武漢市第二中學(xué)張搏翰

一、數(shù)學(xué)歸納法簡(jiǎn)介

定理1（第一數(shù)學(xué)歸納法定理）設(shè)p（n）表示任意一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，并滿足：若p（0）、p（1）成立，且有p（n）→p（n+1），則對(duì)于任意的自然數(shù)n，p（n）恒成立.

定理2（第二數(shù)學(xué)歸納法定理）設(shè)p（n）表示任意一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，并滿足p（1）成立，若n≤k時(shí)命題成立，可以推導(dǎo)得n=k+1時(shí)命題成立，則對(duì)于任意的自然數(shù)n，p（n）恒成立.

二、數(shù)學(xué)歸納法在幾何解題中的應(yīng)用

1.數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)幾何問題繪圖中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法在幾何繪圖中的應(yīng)用主要在繪制平面幾何圖形的中心和重心等方面.理論上來說，不管多么復(fù)雜的平面多邊形，都可以通過尺規(guī)作圖的方式得到平面多邊形的中心和重心.比如，三角形可以通過三邊中線的交點(diǎn)得到重心，而四邊形則可以通過分別連接兩個(gè)對(duì)點(diǎn)構(gòu)造兩個(gè)三角形得到兩個(gè)重心連線，其交點(diǎn)即為四邊形的重心.但是當(dāng)邊數(shù)逐漸增多時(shí)，很難通過尺規(guī)直接繪制平面幾何的重心，因此需要用數(shù)學(xué)歸納法，舉例如下：

例1假設(shè)平面上現(xiàn)有2n+1個(gè)點(diǎn)，試作一個(gè)（2n+1）邊形，恰好以這2n+1個(gè)點(diǎn)為中點(diǎn).

解析：當(dāng)n=1時(shí)，將上述問題可歸納為：平面上3個(gè)點(diǎn)，試作三邊形恰以這3個(gè)點(diǎn)為中點(diǎn).此時(shí)，將3點(diǎn)分別兩兩連線，再過每點(diǎn)分別作連線的平行線即可.

假設(shè)當(dāng)平面上有2n-1個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以得到一個(gè)（2n-1）邊形，恰以這2n-1個(gè)點(diǎn)為中點(diǎn)，并假設(shè)平面上有2n+1個(gè)點(diǎn)A1，A2，…，A2n+1，要作一個(gè)（2n+1）邊形，恰好以這2n+1個(gè)點(diǎn)為中點(diǎn).

考慮平面上四邊形X1X2n-1XnX2n+1，如圖1，點(diǎn)A2n-1，A2n，A2n+1是它各邊X2n-1X2n、X2nX2n+1、X2n+1X1的中點(diǎn).

假設(shè)A是邊X1X2n-1的中點(diǎn)，則四邊形AiA2n-1A2nA2n+1是平行四邊形.

由于三個(gè)頂點(diǎn)A2n-1、A2n和A2n+1是已知的，所以平行四邊形的第四個(gè)定點(diǎn)容易得到.

點(diǎn)A1，A2，…，A2n-2，A是（2n-1）邊形X1X2…X2n-1的中點(diǎn)，根據(jù)假設(shè)，這個(gè)（2n-1）邊形可以得到，因此只需再作出以點(diǎn)A2n+1和A2n-1為中點(diǎn)的線段X1X2n+1和X2n-1X2n.

圖1

2.數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)幾何問題運(yùn)算中的應(yīng)用

求邊或角的數(shù)值，以及平面幾何中邊、角構(gòu)成的不等式，占所有平面幾何問題的三分之二，數(shù)學(xué)歸納法在幾何計(jì)算中的應(yīng)用主要在于涉及多個(gè)平面幾何圖形的邊或角或弧的運(yùn)算，或求多個(gè)幾何圖形邊、角、弧、個(gè)數(shù)構(gòu)成的不等式計(jì)算，舉例如下：

例2設(shè)有多個(gè)圓心在同一條直線一邊且兩兩相交的半圓，試求這些半圓的交點(diǎn)最多將半圓分割成多少個(gè)圓弧？

解析：設(shè)半圓個(gè)數(shù)與圓弧個(gè)數(shù)為函數(shù)f（n），則容易驗(yàn)證，當(dāng)n=2時(shí)，f（n）=f（2）=4=22，如圖2所示：

圖2

當(dāng)n=3時(shí)，為了使得到的圓弧最多，應(yīng)將第三個(gè)半圓和前兩個(gè)半圓都相交，得到f（n）=f（3）=9=32.

因此，設(shè)當(dāng)有n個(gè)半圓時(shí)，可以將半圓最多分成f（n）=n2個(gè)圓弧.

證明如下：當(dāng)n=2時(shí)命題成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即當(dāng)直線一邊有k個(gè)兩兩相交的半圓時(shí)，可以把圓弧分割成k2個(gè)圓弧.

當(dāng)n=k+1時(shí)，且第k+1個(gè)半圓與原來的第k個(gè)半圓都相交時(shí)可以得到最多的圓弧.

此時(shí)，第k+1個(gè)半圓將原來所有的半圓都割出了一條新圓弧，有k條圓弧，而原來所有的半圓將第k+1個(gè)半圓分割成了k+1個(gè)圓弧，因此f（k+1）=k2+k+k+1=（k+1）2，即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.

根據(jù)歸納法原理，該命題是真命題，即設(shè)當(dāng)有n個(gè)半圓時(shí)，可以將半圓最多分成f（n）=n2個(gè)圓弧.

3.數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)幾何問題論證中的應(yīng)用

論證題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常見的幾何題類型，也是很多學(xué)生最頭疼的幾何題類型.不少學(xué)生看到需要證明的幾何題，往往不知道從何下手.數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)幾何證明題中的應(yīng)用集中在有n個(gè)幾何圖形的情況.舉例如下：

例3假設(shè)有n條互不平行的直線在同一個(gè)平面內(nèi)，且其中任意的三條直線沒有交點(diǎn)，試證明這n條直線可以將其所在平面分割成個(gè)小區(qū)域.

證明：當(dāng)n=1時(shí)，即平面內(nèi)只有一條直線，可以把平面分割成兩個(gè)區(qū)域，因此有，命題成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即當(dāng)有k條互不平行的直線在同一個(gè)平面內(nèi)，且其中任意的三條直線沒有交點(diǎn)時(shí)，這k條直線可以將其所在平面分割成個(gè)小區(qū)域.

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，這條直線被原來所有的直線分為k+1條線段，每條小線段又將其所在的小區(qū)域分為兩個(gè)，所以會(huì)增添k+1個(gè)小區(qū)域.

因此，當(dāng)有k+1條互不平行的直線在同一個(gè)平面內(nèi)，且其中任意的三條直線沒有交點(diǎn)時(shí)，這k+1條直線可以將其所在平面分割成個(gè)小區(qū)域.所以當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.根據(jù)第一數(shù)學(xué)歸納法定理，該命題成立.

除上述平面幾何問題外，數(shù)學(xué)歸納法也適用于部分立體幾何題目.例如選修課本第二冊(cè)關(guān)于通過平面幾何中的勾股定理，猜想空間中四面體的性質(zhì).甚至推廣到空間中更多面的幾何體，就需要運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的思想.

三、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)歸納法和幾何作為中學(xué)階段重要的知識(shí)點(diǎn)，相互之間也存在著關(guān)系.本文一方面通過舉例驗(yàn)證了數(shù)學(xué)歸納法在平面幾何問題繪圖、運(yùn)算和論證中應(yīng)用的可行性，得到數(shù)學(xué)歸納法適用于求解涉及多個(gè)圖形的幾何問題的結(jié)論.另一方面，給出了數(shù)學(xué)歸納法在立體幾何應(yīng)用中的研究方向.

1.張德峰.高中數(shù)學(xué)解題方法中思維品質(zhì)的培養(yǎng)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（9）.

2.肖海燕，代欽.數(shù)學(xué)歸納法在幾何教學(xué)中的應(yīng)用［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011.

3.張懿慧.數(shù)學(xué)歸納法在幾何學(xué)中的應(yīng)用［J］.教育經(jīng)驗(yàn)與德育園地，2010.F