筅浙江省臺(tái)州中學(xué)畢里兵

提高解題能力，打造高效課堂
——以一道高考題的研究為例

筅浙江省臺(tái)州中學(xué)畢里兵

波利亞在《怎樣解題》中指出：要想提高學(xué)生的解題能力，必須逐漸地培養(yǎng)學(xué)生思維里對(duì)題目的興趣，并且給他們足夠的機(jī)會(huì)去模仿、實(shí)踐和探究.試題的編寫(xiě)凝聚了編者的無(wú)數(shù)心血，是課堂教學(xué)的寶貴資源.在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)充分利用好經(jīng)典試題，發(fā)揮其潛在的思維訓(xùn)練價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，下面以一道高考題為例來(lái)談.

一、試題

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓方程：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A（2，4）.（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程；（3）設(shè)點(diǎn)T（t，O）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

圖1

二、解法探究

這是2016年江蘇高考卷18題，題目設(shè)計(jì)以向量為背景，讓考生經(jīng)歷幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的過(guò)程；同時(shí)又蘊(yùn)涵著豐富的變化過(guò)程，首先把T看作定點(diǎn)，直線PQ看作平行直線系，在變化過(guò)程中存在弦長(zhǎng)PQ與線段TA相等即存在，揭示了動(dòng)中有靜、靜中有動(dòng)、動(dòng)靜相宜的數(shù)學(xué)特征.依托運(yùn)動(dòng)找到解決問(wèn)題的方法，求解過(guò)程簡(jiǎn)單，而思維過(guò)程艱難.

解法2：利用題中條件P，Q在圓M上來(lái)尋找代數(shù)關(guān)系.設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）.

圖2

解法3：點(diǎn)P在圓上，容易想到圓的參數(shù)式.設(shè)點(diǎn)P（6+ 5cosθ，7+5sinθ），設(shè)AP的中點(diǎn)K由于TQ中點(diǎn)為K，由此得到點(diǎn)Q坐標(biāo)（8+5cosθ-t，5sinθ+ 11），利用點(diǎn)Q在圓上，得到關(guān)系：t2-4t+20=（10t-20）cosθ-40sinθ；由輔助角公式得（其中（t-2）cosφ=4sinφ）；

在直線與圓的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生經(jīng)歷如下的過(guò)程：用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題來(lái)解決.通過(guò)上述過(guò)程，讓學(xué)生感受用解析法研究問(wèn)題的一般程序，幫助學(xué)生不斷地體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.本解法從代數(shù)的角度將點(diǎn)在圓上轉(zhuǎn)化為方程組有解問(wèn)題，是形到數(shù)的轉(zhuǎn)化；然后將方程組的解轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圓的有公共點(diǎn)問(wèn)題，是數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，是解決本題的關(guān)鍵所在.與解法一、解法二比較，解法三思維起點(diǎn)低，學(xué)生容易理解，思路清晰，但運(yùn)算繁瑣，特別是用輔助角公式，要注意題目中把（t-2）2作為整體來(lái)運(yùn)算才能得到完整解法.

三、試題溯源

本題的第（1）問(wèn)是求圓心在定直線上，且與定直線與定圓相切的圓方程，實(shí)際上就是蘇教版必修2第116頁(yè)例2的變式：

求過(guò)點(diǎn)A（0，6）且與圓（x-1）2+（y+2）2=4切于原點(diǎn)的圓方程，類(lèi)似習(xí)題還有第117頁(yè)第4，6題；

第（2）小問(wèn)是已知直線斜率與直線被圓所截的弦長(zhǎng)求直線方程，源于必修2第117頁(yè)習(xí)題第2題：過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）作直線l與圓（x-1）2+（y+2）2=4相交，且所截得的弦長(zhǎng)為2的直線方程；

第（3）小問(wèn)以向量為背景，如果考生能將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解析幾何問(wèn)題，解法2就會(huì)變成水到渠成.蘇教版必修2第116頁(yè)第2題：若圓x2+y2=m，與圓x2+y2+6x-8y-11= 0相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；第117頁(yè)第5題：已知圓（xa）2+y2=1，與圓：x2+y2=25沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍. 2016年高考題僅僅是給出一個(gè)情景，把課本基礎(chǔ)題進(jìn)行重組、引伸、拓展.本題源于課本而高于課本.

四、幾點(diǎn)思考

1.鼓勵(lì)學(xué)生主體參與

現(xiàn)代課程觀認(rèn)為，教學(xué)活動(dòng)是師生共同探求知識(shí)的過(guò)程，是教師、學(xué)生、教材、環(huán)境等諸多因素相輔相成的動(dòng)態(tài)成長(zhǎng)的構(gòu)建過(guò)程，教學(xué)活動(dòng)要充分體現(xiàn)學(xué)生的個(gè)性，充分落實(shí)學(xué)生的主體地位，以促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展為目標(biāo).因此，教師將原本學(xué)生無(wú)從下手的試題引導(dǎo)學(xué)生主體參與變式，變式的呈現(xiàn)具有小步子、層層推進(jìn)、螺旋上升的特點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生呈現(xiàn)不同的思維過(guò)程，促使學(xué)生思維的廣度得以延伸，思維的深度得以挖掘，并讓學(xué)生觸及高中數(shù)學(xué)解決最值問(wèn)題的思想與方法.

2.指導(dǎo)學(xué)生解題后反思

波利亞認(rèn)為，解題后反思是有效解題的一個(gè)重要而有益的階段，反思整個(gè)解題過(guò)程，并再次思考、核實(shí)結(jié)果及獲得結(jié)果的方法，從而掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力.教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題后反思：這道題主要考查了哪些知識(shí)點(diǎn)？最優(yōu)解法是哪種？對(duì)于相同的題型，要?dú)w納通法通解，對(duì)于不同的題型要熟知解題策略.在平時(shí)的教學(xué)中，教師要先行深度剖析這類(lèi)問(wèn)題，才能從容歸納問(wèn)題的普遍性與特殊性，才能有效地指導(dǎo)學(xué)生解題后反思.學(xué)生需要反思：幾個(gè)變式主要涉及到哪些知識(shí)點(diǎn)？解法之間有怎樣的聯(lián)系？一些解法的本質(zhì)是什么？諸多解法中最優(yōu)解法是哪個(gè)？能否歸納通法通解？解決最值問(wèn)題的一般方法有哪些？通過(guò)解題后反思，學(xué)生再次面對(duì)最值問(wèn)題時(shí)不再霧里看花般觸摸不到，并讓他們體悟歸納具體題型的解題方法，養(yǎng)成勤于探究、及時(shí)反思的好習(xí)慣.