筅江蘇省清浦中學(xué)吳洪生

基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)案例分析

筅江蘇省清浦中學(xué)吳洪生

一、核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六個維度.這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個有機(jī)整體.”［1］六大核心素養(yǎng)相互聯(lián)系、相互補(bǔ)充、相互促進(jìn)，在不同情境中整體發(fā)揮作用.也可以說六大核心素養(yǎng)涵蓋“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”三個方面.用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，即接收外界輸入的信息，并對信息進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、直觀想象；用數(shù)學(xué)的思維分析世界，即運(yùn)用邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算對信息進(jìn)行加工處理；用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，即運(yùn)用數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析向外界輸出信息.

二、對概念教學(xué)的認(rèn)識

李邦河院士認(rèn)為“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧的，技巧不足道也.”數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式.它是思維的細(xì)胞，是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識大廈的基石，是進(jìn)行邏輯思維的第一要素，是數(shù)學(xué)思想和方法的載體，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心與基礎(chǔ)，也是解決數(shù)學(xué)問題的前提.［2］因此，在概念教學(xué)中，必須注重概念的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生主動地親身經(jīng)歷概念的形成過程，追求自然生成的概念教學(xué)，真正掌握數(shù)學(xué)概念.具體說，概念教學(xué)要做到三個注重：

1.注重概念的探究與形成

從數(shù)學(xué)史的研究來看，每一個數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展，都有各不相同的經(jīng)歷，教學(xué)中要注重揭示數(shù)學(xué)概念形成的過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)和生成過程，讓學(xué)生在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，經(jīng)過數(shù)學(xué)建構(gòu)，形成數(shù)學(xué)概念，并理解數(shù)學(xué)概念.

2.注重概念的抽象與表達(dá)

數(shù)學(xué)概念是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個載體，是數(shù)學(xué)知識體系的細(xì)胞，廣泛存在于高中數(shù)學(xué)的各個模塊之中，是基礎(chǔ)知識中的基礎(chǔ).學(xué)生對概念的認(rèn)識是一個從具體到抽象、從特殊到一般的過程.因而在教學(xué)過程中，我們不但要讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，更要注重概念的定性把握、定量刻畫、抽象概括、準(zhǔn)確表達(dá)，進(jìn)而形成精確的數(shù)學(xué)概念.

3.注重概念的運(yùn)用與提升

“生活中處處有數(shù)學(xué)”，數(shù)學(xué)概念來源于生活，又服務(wù)于生活.在概念教學(xué)中，老師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概念去解決數(shù)學(xué)問題，通過實(shí)例來說明概念，加深對概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).只有當(dāng)學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)概念運(yùn)用于生活實(shí)際，數(shù)學(xué)概念才能得以鞏固，數(shù)學(xué)思維才能得以提升，數(shù)學(xué)能力才能得以提高.

三、核心素養(yǎng)視角下的案例分析

案例1“任意角的三角函數(shù)的概念”的教學(xué)片斷.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，啟發(fā)思考.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“在三角函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，使學(xué)生體會三角函數(shù)模型的意義.”［1］由于三角函數(shù)是刻畫周期運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型，而摩天輪的運(yùn)動是生活中最常見、最典型的周期運(yùn)動情境，所以情境引入從摩天輪開始.星期六下午，小明和弟弟到游樂園游玩……

問題1：當(dāng)?shù)艿茏夏μ燧?，摩天輪開始轉(zhuǎn)動后，小明最關(guān)注什么？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，隨著摩天輪的旋轉(zhuǎn)，形成弟弟位置不斷改變的感性認(rèn)識.通過直觀想象與數(shù)學(xué)抽象，將摩天輪抽象為圓，弟弟抽象為點(diǎn)，這樣弟弟隨摩天輪的旋轉(zhuǎn)就抽象為質(zhì)點(diǎn)在圓周上的運(yùn)動.弟弟在哪兒，就轉(zhuǎn)化為如何刻畫圓周上點(diǎn)P的位置.進(jìn)而經(jīng)過學(xué)生的探究有兩種刻畫的方法，有序數(shù)對（r，α）可以表示點(diǎn)P；有序數(shù)對（x，y）也可以表示點(diǎn)P.有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

問題2：隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動，r，α，x，y這四個量哪些發(fā)生改變？

設(shè)計(jì)意圖：問題2是對問題1的深入，從直觀感知點(diǎn)P運(yùn)動的過程，發(fā)現(xiàn)并想象r，α，x，y中的哪些量在變化.培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng).

問題3：這些改變本質(zhì)上是由哪個量所引起的？

設(shè)計(jì)意圖：問題3目的在于明確哪個量在變化中起關(guān)鍵作用，明確α的關(guān)鍵作用后，為后續(xù)定義中，比值隨α的變化而變化，即確定α的自變量的身份埋下伏筆.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).

（2）合作探究，協(xié)作交流.

問題4：隨著α改變，r，x，y與α之間有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：問題4提出本節(jié)課所要探究的中心問題——尋找四個量之間的關(guān)系，喚起學(xué)生的探究意識.從問題2到問題3到問題4，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，層層遞進(jìn)，螺旋上升.

問題5：當(dāng)α為銳角時，r，x，y與α有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：搭建腳手架，以退為進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生合作、探究，從最熟悉的銳角出發(fā)，借助初中所學(xué)的靜態(tài)的直角三角形中的邊角關(guān)系，轉(zhuǎn)化得到sinα=，cosα=， tanα=，先建立三角函數(shù)的數(shù)學(xué)形式.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建構(gòu)意識和轉(zhuǎn)化化歸思想.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生合作、探究證明比值的唯一性，也就是與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無關(guān).通過幾何畫板的演示說明隨著銳角的變化，比值隨之而變化，一個銳角對應(yīng)唯一一個比值.進(jìn)而形成對應(yīng)學(xué)意義下的銳角三函數(shù).培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

問題7：當(dāng)α的終邊落在第二象限時，r，x，y與α有什么關(guān)系？第三象限呢？第四象限呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過幾何畫板的演示將上述結(jié)論推廣到任意角的情形，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、概括能力.

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合函數(shù)概念建構(gòu)任意角的三角函數(shù)的概念.培養(yǎng)學(xué)生的遷移意識和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

問題9：能用函數(shù)概念對它進(jìn)行完整闡述嗎？

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

（3）知識建構(gòu)，提升能力.

剖析：①任意角α的三角函數(shù)值僅與α有關(guān)，而與點(diǎn)在角的終邊上的位置無關(guān)；

②由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).

問題10：剛才研究的過程中，你發(fā)現(xiàn)了這些三角函數(shù)的符號規(guī)律了嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生由三角函數(shù)的定義總結(jié)歸納三種三角函數(shù)在各個象限的符號規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).

案例2“直線與平面垂直的定義”的教學(xué)片斷.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》要求立體幾何的教學(xué)采用“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證”等方法，認(rèn)識和探索空間圖形的概念及其性質(zhì)，體會空間圖形問題的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的問題探究、推理論證和空間想象能力.［1］因此本課例以問題探究為主線，以師生互動為主要方式，使學(xué)生在自主探究中建構(gòu)概念，發(fā)展空間觀念和幾何直覺，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（1）創(chuàng)設(shè)情境，感知概念.

展示圖片：①比薩斜塔；②天安門廣場國旗；③橋柱與水面.

問題1：這里的直線與平面給我們以怎樣的直觀印象？你能再舉一些日常生活中直線與平面垂直的例子嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過對斜交與垂直具體實(shí)例直觀形象的比對，讓學(xué)生首先在腦海中形成認(rèn)知沖突，特別是讓學(xué)生再舉例強(qiáng)化對“垂直”的感知，為下面垂直特征的發(fā)現(xiàn)、定義的建構(gòu)做鋪墊.這種通過生活中的實(shí)例引入概念的方式有助于學(xué)生將生活中的素材和數(shù)學(xué)知識融為一體.這也說明生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)來源于生活.鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識世界，用數(shù)學(xué)的思維去分析世界.

（2）設(shè)置問題，共同探究.

如何從數(shù)學(xué)的角度定義一條直線與一個平面垂直？

問題2：圓錐的底面是如何形成的？

問題3：圓錐的軸與底面半徑是什么關(guān)系？

問題4：圓錐的軸與底面內(nèi)過中心的任意一條線是什么關(guān)系？

問題5：圓錐的軸與底面內(nèi)不過中心的任意一條線是什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：明確研究問題、研究方向、研究方法.通過學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作、自主探究，發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的本質(zhì)特征.通過這樣直觀的、具體的例子探究概念，借助學(xué)生已有的具體的直觀經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生建立感性經(jīng)驗(yàn)和抽象概念之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的過渡.培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

（3）觀察歸納，建構(gòu)概念.

歸納：圓錐的軸所在直線垂直于底面內(nèi)的任意一條直線.

建構(gòu)數(shù)學(xué)：如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱這條直線與這個平面垂直.

問題6：定義中的關(guān)鍵詞是什么？

問題7：任意等價于所有嗎？等價于無數(shù)嗎？

問題8：定義中蘊(yùn)含怎樣的轉(zhuǎn)化關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主歸納建構(gòu)直線與平面垂直的定義，培養(yǎng)學(xué)生抓住本質(zhì)準(zhǔn)確表達(dá)的能力，激勵學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.通過對“任意”與“無數(shù)”的比較，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

案例3“直線的斜率”的教學(xué)片斷.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確指出：解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.也就是將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題、處理代數(shù)問題、分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題.這種思想貫穿解析幾何教學(xué)的始終，幫助學(xué)生不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.

（1）創(chuàng)設(shè)情境.

問題1：畫出下列函數(shù)y=x+1，y=3x+1，y=-2x+1的圖像.

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的一次函數(shù)入手，畫出圖像，探究確定直線的幾何要素——兩個點(diǎn).

（2）觀察對比.

問題2：確定直線的要素是什么？

問題3：觀察上面的三條直線，說說它們的異同點(diǎn)？

問題4：如果只給出一點(diǎn)，要確定一條直線，還需添加什么條件？

設(shè)計(jì)意圖：通過問題2、3、4的探究，明確確定直線的要素：已知兩點(diǎn)可以確定一條直線；已知一個點(diǎn)和直線的方向也可以確定一條直線.

問題5：如何用數(shù)學(xué)的語言來刻畫直線的方向呢？

問題6：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)可以用坐標(biāo)來表示，那么直線的傾斜程度是否也能用坐標(biāo)表示？

設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

師：出示兩幅樓梯圖片，如圖1、圖2所示，我們以這兩個樓梯為例來探究它們的傾斜程度.

圖1

圖2

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界.

（3）合作探究：學(xué)生活動與師生互動.

問題7：如何刻畫樓梯的傾斜程度？

問題8：如何計(jì)算坡度？

問題9：樓梯的傾斜程度與坡度有何關(guān)系？

生：由圖（圖3、圖4）可以看出，如果樓梯臺階的寬度（級寬）不變，那么每一級臺階的高度（級高）越大，樓梯越陡.也就是說：坡度越大，樓梯越陡.（用數(shù)學(xué)的思維分析世界）

圖3 （樓梯簡圖）類比

圖4 （直線）

設(shè)計(jì)意圖：在初中學(xué)生已掌握坡度概念，而坡度與斜率本質(zhì)相同，因此坡度是引入斜率概念比較合理的切入點(diǎn).斜率是坡度的發(fā)展，如何在坡度概念的基礎(chǔ)上建構(gòu)斜率概念，是本節(jié)課教學(xué)的核心問題.

（4）數(shù)學(xué)抽象.

問題10：將樓梯坡面抽象為直線，樓梯的坡度即為直線的傾斜程度.樓梯的坡度我們是用每一級臺階的高度比上臺階的寬度來表示.類比可得，在直角坐標(biāo)系中，如圖5，我們在直線上取不同兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），其中如果x1≠x2，那么“級高”和“級寬”分別等于什么？

圖5

生：y2-y1，x2-x1.

（5）建構(gòu)數(shù)學(xué).

問題11：你能表述它們之間的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并證明斜率的唯一性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理核心素養(yǎng).

問題13：如果x1=x2，那么直線PQ的斜率怎樣？

生：直線PQ的斜率不存在，此時直線PQ垂直于x軸.

問題14：如果y2=y1，那么直線PQ的斜率怎樣？

生：直線PQ的斜率為0，此時直線PQ垂直于y軸.

問題15：求一條直線的斜率需要什么條件？

生：只要知道直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：建構(gòu)主義認(rèn)為：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是主體（學(xué)生）在頭腦中建構(gòu)和發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，是主體的一種再創(chuàng)造行為”.通過這幾個問題的辨析，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識直線斜率的本質(zhì)，并培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣.

四、基于核心素養(yǎng)的概念教學(xué)的思考

數(shù)學(xué)概念的形成過程，就是數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造過程.從這個意義上講，數(shù)學(xué)概念教學(xué)就是一種“重構(gòu)”的過程，我們要擇其要領(lǐng)，創(chuàng)設(shè)有利于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)情境，將數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)過程還原給學(xué)生，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，啟發(fā)學(xué)生探究，體會其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，教會學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念下的概念教學(xué)應(yīng)抓實(shí)以下三個方面：

1.在問題情境中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

愛因斯坦說：“提出問題比解決問題更重要.”在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境.基于問題情境，提出新的問題，推進(jìn)數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生思考，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建構(gòu)，達(dá)成教學(xué)目標(biāo).問題是思考的源泉、探究的載體，解決問題則是思考的動力.問題的設(shè)計(jì)要抓住知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，著力于概念的形成，致力于讓學(xué)生經(jīng)歷從圖形語言、文字語言、符號語言等轉(zhuǎn)換的過程，讓學(xué)生體會從具體到抽象、從特殊到一般、從定量到定性的數(shù)學(xué)研究方法，發(fā)展自身的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.在探究建構(gòu)中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

新課標(biāo)倡導(dǎo)通過各種不同形式的探究活動，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，促其養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣.在探究過程中，教師不能越位，只能適時引導(dǎo)點(diǎn)撥，給學(xué)生一定的時間空間，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立探究、合作探究，讓他們在互動時產(chǎn)生智慧的火花，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)研究對象的本質(zhì)，進(jìn)而由學(xué)生自己得出概念，體會概念的來龍去脈，體驗(yàn)成功的喜悅，發(fā)展自身的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.在概念運(yùn)用中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

從概念教學(xué)的過程來看，學(xué)生對概念的認(rèn)識是一個從具體到抽象，再從抽象到具體的過程.從具體到抽象是為了幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念，從抽象到具體是為了讓學(xué)生加深理解并能運(yùn)用概念進(jìn)行推理與運(yùn)算.教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概念去解決數(shù)學(xué)問題，是培養(yǎng)學(xué)生思維，發(fā)展各種數(shù)學(xué)能力的過程.學(xué)生只有把所學(xué)的數(shù)學(xué)概念，回到具體問題中去運(yùn)用，才能使概念得以鞏固，進(jìn)而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用能力，也才能在概念的運(yùn)用過程中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.董榮森.精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，優(yōu)化概念教學(xué)過程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（2）.F