筅江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)殷偉康

凸顯數(shù)學(xué)文化，彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)*
——以“等比數(shù)列的前n項和”為例

筅江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)殷偉康

等比數(shù)列中的歷史文化因素促進了數(shù)列的發(fā)展，其中的人文氣息和人類智慧促使人們對數(shù)學(xué)產(chǎn)生極大的興趣，其內(nèi)容經(jīng)典，文化沉淀豐厚.等比數(shù)列的前n項和公式是高中數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容之一，常采用的推導(dǎo)方法是帶有技巧性的“錯位相減法”，由于不少教師直接“告知”求和公式及其推導(dǎo)方法，導(dǎo)致學(xué)生對此法中的兩邊同時乘以公比q感到難以理解，只能記住其操作步驟和結(jié)論，無法理解和領(lǐng)悟等比數(shù)列的前n項和公式推導(dǎo)方法的內(nèi)涵.因此，筆者從數(shù)學(xué)文化的視角出發(fā)，結(jié)合學(xué)情，運用數(shù)學(xué)史的有效融入方式，對教材進行“二次開發(fā)”，嘗試“重構(gòu)式”教學(xué)方法進行教學(xué)，呈現(xiàn)知識的自然發(fā)生、發(fā)展過程，促進學(xué)生理解等比數(shù)列的前n項和公式推導(dǎo)方法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、創(chuàng)設(shè)情境，誘發(fā)探究

情境1一商人出售了15碼的棉布，第一碼售價1元，第二碼售價2元，第三碼售價4元，第四碼售價8元，依次倍增，求總的價格.

問題1：售價依次構(gòu)成等比數(shù)列，其和為S15=1+2+22+…+214.如何求和呢？

生1：S1=1=2-1，S2=3=22-1，S3=7=23-1，…，由此猜想S15=215-1.

生2：1+1=2，2+2=22，22+22=23，…，214+214=215，

逐次累加，整理得

S15=1+1+2+22+…+214-1=215-1.

生3：由生2的解法，得到啟發(fā)，我認為這樣求解更簡捷.

S15=1+2+22+…+214+215-215=1+2（1+2+22+…+214）-215，

即S15=1+2S15-215，可以把S15看成一個未知數(shù)，解方程，求得S15=215-1.

情境2斐波納契在《算盤書》中有這樣一個問題：7個婦女去羅馬，每個人牽著7匹騾子，每匹騾子負7只麻袋，每只袋子裝7塊面包，每塊面包配7把小刀，每把刀各有7個刀鞘，問婦女、騾子、麻袋、面包、小刀、刀鞘總數(shù)是多少？

問題2：婦女、騾子、麻袋、面包、小刀、刀鞘數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，其和為S6=7+72+73+74+75+76.怎么求和呢？（學(xué)生仿照生3的解法，從方程角度進行求解.）

問題3：等比數(shù)列的前n項和Sn=a1+a2+…+an=a1+ a1q+…+a1qn-1又如何計算？

設(shè)計意圖：以16世紀數(shù)學(xué)家巴克著作中的棉布問題和斐波納契著的《算盤書》中的經(jīng)典問題作為情境引入，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)文化情景，使原本枯燥、抽象的數(shù)學(xué)知識變得生動有趣，激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望.讓學(xué)生在嘗試探究中，體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

二、探索發(fā)現(xiàn)，建構(gòu)數(shù)學(xué)

即Sn=a1+qSn-a1qn，解得

生5：上式要滿足q≠1，若q=1，則Sn=na1.

設(shè)計意圖：生3的解法是構(gòu)造S15為未知元的方程，利用方程思想求解S15.引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，運用類比的方法，將方程思想遷移到“等比數(shù)列的前n項和”求和的過程中.

師：很好！考慮問題要體現(xiàn)嚴謹性.如果不添加項，能否直接求和呢？

生6：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1

=a1+q（a1+a1q++…+a1qn-2）

=a1+qSn-1，

師：從后面（n-1）項中直接提取公因式q，得到新的遞推式，其中Sn-1怎么處理呢？

生6：又當(dāng)n≥2時，Sn=Sn-1+an，將Sn-1=Sn-an代入遞推式，

生4：Sn=a1+a1q+…+a1qn-1+a1qn-a1qn

=a1+q（a1+a1q+…+a1qn-1）-a1qn，

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”重點資助課題：構(gòu)建數(shù)學(xué)文化課堂的教學(xué)實踐研究（課題批準號B-a/2013/02/069）研究成果之一.Sn=a1+q（Sn-an），

設(shè)計意圖：這種提取因式法推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式的方法是古代埃及人最先提出的，簡潔明了，賞心悅目.其實生3的解法中已經(jīng)隱含有“提取因式法”，所以運用提取因式法進行求和，水到渠成.難點是如何將Sn-1進行轉(zhuǎn)化，若從Sn的定義入手，則能發(fā)現(xiàn)兩者之間的關(guān)系.

師：如果從等比數(shù)列的定義出發(fā)，結(jié)合合分比定律，能否推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式呢？

設(shè)計意圖：古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中首次提出運用等比定律法推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式，

他還對推導(dǎo)方法進行改進：

由于此法基于等比數(shù)列的定義和學(xué)生熟知的等比定律法，因而此法顯得更為自然.

師：歐幾里得與生7的解法不完全相同，但是異曲同工.

生8：還應(yīng)該考慮分母不為零，Sn≠0.

師：運用方程思想、提取因式法和等比定律法得到了求和公式，還有沒有其他方法呢？

生9：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，

Sn-a1=a1q+a1q2+…+a1qn-1，

Sn-a1qn-1=a1+a1q+…+a1qn-2，

Sn-a1=q（Sn-a1qn-1）

設(shè)計意圖：這種推導(dǎo)方法稱為掐頭去尾法.法國數(shù)學(xué)家拉克洛瓦（1765～1843）采用此法進行推導(dǎo).

師：能否類比等差數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法進行推導(dǎo)呢？

生10：運用倒序相加法目的是構(gòu)造相同和的形式，但對于等比數(shù)列，好像不奏效.

師：倒序相加法的本質(zhì)是什么？

生11：構(gòu)造一個新的式子（方程），通過兩式相加（線性運算），將不同數(shù)的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的數(shù)列求和，即常數(shù)列求和.

師：從方程角度，使用倒序相加法以達到消除干攏項的目的，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，無論怎樣求和好像都沒辦法消掉中間的項，那怎么辦呢？

生12：構(gòu)造一個等式（方程）與原來的等式（方程）作差.

師：如何構(gòu)造這個等式呢？

生12：只要兩個等式（方程）中出現(xiàn)大量相同的項，就可以作差求和.

生12：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，①

觀察上式，若方程兩邊同時乘以公比q，則qSn這個和式與Sn的和式中，就會出現(xiàn)大量相同的項.

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn，②

由①-②，得（1-q）Sn=a1-a1qn

設(shè)計意圖：這種推導(dǎo)方法稱為錯位相減法，歐拉（1707～1783）首次采用此法進行推導(dǎo).在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式的過程中，通過類比等差數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生明確消項是求和的基本方法，然后再探求消項的方法，這樣可以突破教學(xué)難點.對求和的基本方法的數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識越深刻，對數(shù)學(xué)方法本身的理解就會越自然.

師：在數(shù)學(xué)推理中，若正面考慮較難時，則往往從它的反面進行思考.能否仿照上面的推導(dǎo)思路，從其他角度進行推導(dǎo)呢？

生13：乘法的逆運算是除法，方程①兩邊同時除以公比q，也可以求和.

生14：老師，我發(fā)現(xiàn)方程①兩邊同時乘以“-q”也可以求和.

師：很好！體現(xiàn)了“正難則反”的思想，從逆向思維的角度進行推導(dǎo).能否根據(jù)等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法（累加法）進行推導(dǎo)呢？

生15：關(guān)鍵要構(gòu)造相鄰兩項的差式.

師：如何構(gòu)造呢？學(xué)生經(jīng)過反復(fù)嘗試，有所發(fā)現(xiàn).

生16：a1-a2=（1-q）a1，a2-a3=（1-q）a2，…，an-an+1=（1-q）an，

以上n個等式左右分別相加，得a1-an+1=（1-q）Sn，

以上n個等式左右分別相加，也可以得到Sn=

師：兩位同學(xué)運用累加法進行求和，思維獨特，很有創(chuàng)意，值得欣賞和借鑒.

設(shè)計意圖：通過啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從逆向思維的角度、類比等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法進行探究求和公式.

三、文化引領(lǐng)，彰顯本質(zhì)

探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦，只有揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)才是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂所在.但是不少教師急功近利，不愿在概念建構(gòu)、公式的推導(dǎo)過程中花力氣，僅僅停留在教材所呈現(xiàn)的推導(dǎo)形式上，寧愿不惜時間用在例題講解和習(xí)題訓(xùn)練上，導(dǎo)致學(xué)生對概念、公式的理解是膚淺的，對概念、公式所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法知之甚少，更無法理解和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì).

1.回歸自然，領(lǐng)悟本質(zhì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)充分揭示數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程，同時強調(diào)數(shù)學(xué)公式的形成應(yīng)該是自然的、符合學(xué)生的認知規(guī)律的.通過挖掘史料，創(chuàng)設(shè)“巴克著作中的棉布問題和斐波納契著的《算盤書》中的經(jīng)典問題”史料情境，誘發(fā)學(xué)生探究等比數(shù)列的前n項和公式，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)公式的探究過程，從而理解公式，掌握推導(dǎo)方法，領(lǐng)悟本質(zhì).這樣的教學(xué)，符合學(xué)生的認知規(guī)律，求和公式的產(chǎn)生讓學(xué)生感到比較自然，并能使學(xué)生認識到求和公式背后所蘊含的豐富而鮮活的內(nèi)容與思維方法，從而讓學(xué)生感到枯燥乏味的數(shù)學(xué)其實本身是生動活潑的、趣味盎然的.

2.抓住本質(zhì)，領(lǐng)悟思想

數(shù)學(xué)文化的核心是在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的歷史進程中，逐步沉淀下來的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)品質(zhì)等.數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)家思維活動的成果，數(shù)學(xué)家的思維方法和思維過程是數(shù)學(xué)文化中寶貴的財富.教師要從數(shù)學(xué)文化的視角，挖掘數(shù)學(xué)知識形成過程中數(shù)學(xué)家思維活動方式，利用數(shù)學(xué)家的思考方式和方法來突破思維瓶頸.對教材進行再創(chuàng)造，融入數(shù)學(xué)史料，通過創(chuàng)設(shè)有效的問題鏈，激發(fā)學(xué)生參與探究，引導(dǎo)學(xué)生從方程、等比定理等角度出發(fā)，模仿歐幾里得、拉克洛瓦的推導(dǎo)方法的過程，探究求和公式.讓學(xué)生在探究中，經(jīng)歷獲得等比數(shù)列的前n項和公式的思維活動經(jīng)驗，感悟其所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.筆者認為：對于錯位相減法的突破要數(shù)學(xué)思想層面上下足工夫.“能否類比等差數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法進行推導(dǎo)呢？”引導(dǎo)學(xué)生從倒序相加法的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化與化歸思想出發(fā)，認識到“消項”是求和的基本方法，類比推導(dǎo)出“錯位相減法”，學(xué)生還從逆向思維的角度進行探究，提出了“方程①兩邊同時除以公比q或乘以-q也可以求和”的想法，這樣有利于促進學(xué)生對錯位相減法的本質(zhì)認識.學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、類比、猜想、抽象、推廣等一系列思維活動，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，從多元的角度分析問題、理解問題，探究等比數(shù)列的前n項和公式，揭示數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，逐步領(lǐng)悟方程思想、錯位相減法、正難則反等數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵.讓學(xué)生在嘗試探究成功的歡愉之中，感悟公式的推導(dǎo)方法之美，品味數(shù)學(xué)的韻味，體驗數(shù)學(xué)文化的魅力.

3.展示思維，培養(yǎng)素養(yǎng)

章建躍博士認為：沒有“過程”的教學(xué)把“思維的體操”降格為“刺激—反應(yīng)”訓(xùn)練，是教育功利化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的集中體現(xiàn).在等比數(shù)列的前n項和公式教學(xué)中，教師普通采用教材上的錯位相減法進行推導(dǎo)求和公式，強調(diào)方法的操作步驟，而忽視求和公式的形成過程的探究，以及對錯位相減法的本質(zhì)的認識.其實數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)、公式的推導(dǎo)，總是在一定文化下的某一種思考，都有其深刻的背景.在教學(xué)中，注重還原、再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)、等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)的思維過程，進行科學(xué)地合情合理地引導(dǎo)，誘發(fā)學(xué)生探究，并創(chuàng)設(shè)交流時機，展示學(xué)生的思維過程.學(xué)生在問題情境中嘗試運用方程思想進行求和，類比方程思想，探究等比數(shù)列的前n項和公式，并在求和過程中學(xué)生自行不斷修改、完善.引導(dǎo)學(xué)生模仿數(shù)學(xué)家的思維活動（等比定律法、掐頭去尾法和錯位相減法）進行求和，尤其學(xué)生從逆向思維角度提出了對錯位相減法的改進方法，增進了對錯位相減法的本質(zhì)的理解，這樣錯位相減法就會在學(xué)生腦海中根深蒂固，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).學(xué)生運用累加法進行探究求和公式，并提出自己的認識，這種能夠數(shù)學(xué)地表達屬于自己的觀點，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在這樣的探究和思維活動中，學(xué)生會不知不覺地獲得基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去審視現(xiàn)實問題、思考問題，獲得研究數(shù)學(xué)問題的一些基本方法和積累數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗.

1.吳現(xiàn)榮，宋軍.HPM視角下的等比數(shù)列前n項和公式教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報，2016（7）.

2.張勤，李德安.數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)初探——以“等比數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)”為例［J］.數(shù)學(xué)通訊，2016（2）.

3.周龍虎.“等比數(shù)列前n項和”教學(xué)思考［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2015（12）.