●何淑龍 (真光中學 廣東廣州 510380)

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課堂教學因探究而精彩*
——雙曲線及其標準方程的教學實踐與思考

●何淑龍 (真光中學 廣東廣州 510380)

文章通過一節(jié)課的教學設計，說明課堂上如何開展探究性教學：創(chuàng)設情境，激發(fā)探究欲望；實驗探究，生成概念；辨析對比，深化概念探究；類比探究，推導關鍵知識；應用探究，深化理解知識,同時闡述了對課堂進行探究性教學設計的思考.

實驗探究；類比探究；變式探究；教學思考

1 教學背景

最近，筆者回想起2015年1月在重慶市九龍坡區(qū)參加的由中國教育科學研究院舉辦的“第3屆實驗區(qū)高質量課堂展示活動暨實驗區(qū)聯(lián)席會議”.當時，筆者在重慶市鐵路中學主講了一節(jié)公開課，課題是“雙曲線及其標準方程”.因為本節(jié)課的教學內容很常規(guī)，學習難度不大，學生容易理解與接受，但要在如此普通的課中創(chuàng)新出彩，得到專家、同行的認同確實有很大的難度.

為了上好這節(jié)課，筆者進行了認真地學習與研究.首先分析了學情：重慶市鐵路中學是重慶市重點中學，學生素質較高，為開展探究性教學提供了有利條件；其次研究了教材和課程標準：此內容是學生學習了橢圓之后學習的另一種圓錐曲線，橢圓的研究內容與方法為雙曲線的學習作了鋪墊，學習方法可以遷移，為學生開展探究性學習提供了參考.最終筆者確立了“以學生探究為主的教學設計方案”，并在課堂上讓學生充分探究，筆者最終獲得了講課比賽一等獎

為什么這樣設計呢？教學效果如何呢？且看下面筆者的教學實踐與思考.

2 教學實踐

2.1 創(chuàng)設情境，激發(fā)探究欲望

探究式教學順利開展的前提條件是激發(fā)學生探究的欲望.如何激發(fā)學生的探究欲望呢？方法之一是設計合適的問題情境，引發(fā)學生的認知沖突，從而達到激發(fā)其探究欲望的目的[1].為此，筆者通過對橢圓知識的復習回顧，引出新的問題，以問題引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)其探究的欲望.

教學片斷1

師：今天有幸來到重慶市鐵路中學，首先參觀了美麗的校園，了解到學校的光輝歷史，老師為同學們有這么好的學習環(huán)境、學習氛圍而感到驕傲.當參觀運動場時，老師不自覺地聯(lián)想到我們已學過的數(shù)學知識——橢圓，請同學們回憶一下我們已學過橢圓的哪些知識？

生1：橢圓的定義、標準方程、幾何性質.

師：生1回答得很好，那么橢圓的定義是什么呢？

生2：到2個定點的距離之和為定長的點的軌跡叫橢圓.

生3：不對，需要條件：在平面內，即在平面內到2個定點的距離之和為定長的點的軌跡叫橢圓.

生4：還不完美，還需要條件，定長大于2個定點之間的距離.

師：不錯，為剛剛發(fā)言的幾位同學點贊.經過這幾位同學的補充，我們得到了橢圓的定義：在平面內，到2個定點距離之和為定長(記作2a，大于2個定點之間的距離)的點的軌跡叫做橢圓.這2個定點叫做橢圓的焦點，記作F1,F2，這2個定點之間的距離|F1F2|=2c叫做焦距.當2a>2c時，軌跡是橢圓，那么2a=2c，2a<2c所對應的點的軌跡是什么呢？

生5：當2a=2c時，點的軌跡為線段F1F2；當2a<2c時，點的軌跡不存在.

師：非常好，同學們對橢圓定義掌握得非常好.是否有同學會思考如下問題：在平面內，到2個定點距離之和為定長(大于2個定點之間的距離)的點的軌跡叫橢圓，那么到2個定點距離之差為定長的點的軌跡是什么呢？

教學感悟 由于是異地上課，“怎樣讓學生接納教師”是擺在筆者面前的一個問題.自然親切的開場白，拉近了與學生的距離；對橢圓相關概念的復習，為雙曲線的學習作了鋪墊，同時類比導出了新的問題，引起學生的注意與思考，從而激發(fā)學生的求知欲望.

2.2 實驗探究，抽象生成概念

探究性活動的順利開展需要好的素材，提供合適的材料是實現(xiàn)探究活動的重要保障.從認知心理學的角度看，學習材料被視為一種信息載體，合適的學習材料能較好地吸引學生自主參與，有利于學習過程的動態(tài)生成，是學生思維活動的源泉.那么，提供什么樣的材料才能解決引發(fā)學生認知沖突的問題呢？筆者從做實驗開始，通過分析實驗的條件與結論，引導學生歸納總結出雙曲線的定義.

教學片斷2

師：現(xiàn)在請2位同學到講臺上做2個實驗，請同學們觀察并思考“由實驗的條件能得出什么結論”？

實驗1 如圖1，取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的2條邊上選擇其中一邊用剪刀剪斷，再拉開它的一部分，將2邊的端點分別固定在點F1,F2上:把筆尖放在點M處，把拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經過的點就畫出一條曲線.

圖1 圖2

實驗2 如圖2，將實驗1中的拉鏈調換一下位置，重新操作一次，筆尖經過的點又畫出一條曲線.

師：請同學們觀察這2個實驗，分析一下實驗的條件如何，能得出什么結論？

生6：實驗1中的條件是F1,F2為2個定點，實驗2也是如此.

生7：實驗1還有條件|MF1|-|MF2|=|F2F|，實驗2的條件是|MF2|-|MF1|=|F1F|.

生8：在實驗1中，既然|F2F|剪斷了，則|F2F|可看作是常數(shù)；|MF1|-|MF2|=常數(shù)，F(xiàn)1,F2是定點，筆尖經過的軌跡是一條曲線.

師：生8所說的一條曲線，我們稱它為雙曲線的一支，能給它下個定義嗎？

生9：到2個定點距離之差為常數(shù)的點的軌跡是雙曲線的一支.

生10：將實驗1和實驗2結合起來，可得出到2個定點距離之差的絕對值為常數(shù)的點的軌跡是2支雙曲線.

師：2支雙曲線合起來，我們稱之為雙曲線，剛才同學們說得非常好.類比橢圓的定義,能對雙曲線做一下總結嗎？

生11：在平面內，到2個定點距離之差的絕對值為常數(shù)的點的軌跡叫雙曲線.

師：非常好，雙曲線是這樣定義的：在平面內與2個定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)(小于2個定點之間的距離)的點的軌跡叫雙曲線；這2個定點叫雙曲線的焦點，2個焦點的距離叫雙曲線的焦距，其符號語言為||MF1|-|MF2||=2a(其中2a為常數(shù)，且2a<|F1F2|).

教學感悟 讓學生動手做拉鏈實驗，使學生體驗到數(shù)學知識來源于實踐，是從實踐中抽象概括出來的.讓學生分析實驗條件與結論，引導學生總結歸納雙曲線的定義.盡管學生的概括歸納可能不完美，但隨著交流、探討的深入，學生們能逐漸完善地給出了雙曲線的定義.在教學過程中，教師始終將機會讓給學生，讓學生做，讓學生說，讓學生評，讓學生體驗[2].

2.3 辨析對比，深化概念探究

探究導向可建立新舊知識的聯(lián)系，是實現(xiàn)理解性探究活動的關鍵所在.理解就是把新知識點吸納、融合到已有的知識體系之中.為了深化對雙曲線定義的理解，需要類比橢圓，然后對雙曲線定義的條件進行辨析.

教學片斷3

師：在平面內，點M滿足||MF1|-|MF2||=2a(其中2a為常數(shù)，F(xiàn)1,F2為定點)，其軌跡一定是雙曲線嗎？為什么要加上“小于2個定點之間的距離”？

生12：當常數(shù)2a<|F1F2|時，點M的軌跡是雙曲線；當常數(shù)2a=|F1F2|時，點M的軌跡是2條射線；當常數(shù)2a>|F1F2|時，點M不存在.

師：為什么呢？

生12：根據(jù)三角形的性質“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”.

師：若在平面內點M滿足|MF1|-|MF2|=2a(其中2a為常數(shù)，且2a<|F1F2|)，其軌跡是什么呢？

生13：還是雙曲線.

生14：點M到F1的距離比到F2的距離長，其軌跡是雙曲線的一支(右支).

師：同學們回答得很好.利用定義時，我們要注意雙曲線的條件，特別是與橢圓的對比時，不能生搬硬套.

教學感悟 通過問題導學，類比橢圓的學習，讓學生去辨析雙曲線的概念.在辨析中學生對雙曲線概念的理解更深刻、更全面，在整個教學過程中，教師重在“導”，而學生多在討論、交流、爭辯.

2.4 類比探究，推導方程

把握學生探究活動的起點，營造獨立探究的機會，是實現(xiàn)探究活動的重要基礎.認知理論認為：理解是新信息與原有知識經驗相互作用的過程.要使新舊知識能相互作用、發(fā)生聯(lián)系，前提是幫助學生準備好已有的認知結構[3].由于學生已經學習了橢圓方程的推導，推導雙曲線的方程可讓學生獨立思考、自主探索和推導，然后相互交流.

教學片斷4

圖3

師：我們剛剛學習了雙曲線的定義，能否根據(jù)定義推出雙曲線的方程呢？請同學們獨立思考并推導，有問題可與同桌合作.

(10分鐘后，教師展示學生的成果.)

生15(投影)：建立如圖3所示的坐標系，其中F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0).由||MF1|-|MF2||=2a(其中2a<2c),設M(x,y)，可知

2邊平方得

(x+c)2+y2+(x-c)2+y2-

師：生15做到此就做不下去了,有同學能繼續(xù)嗎？

生16：生15根據(jù)求軌跡的方法建系、設點、列式，都做得很好，但化簡方面做得不好，太繁了，以致于做不下去.我認為只要計算能力足夠強，還是能做下去的.

師：生16分析得非常好，我們看看下一位同學做得怎么樣？

生17：建立如圖3所示的坐標系，F(xiàn)1(-c,0),F2(c,0),由||MF1|-|MF2||=2a(其中2a<2c)，設M(x,y),則

即

亦即

再2邊平方，整理得

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

師：非常好，若上式2邊同時除以a2(a2-c2)，則

這樣的結構是不是非常簡潔呢？接下去該如何做？

師：生17做得如何，能給出評價嗎？

生18：生17做得很好，像推導橢圓方程一樣，移項平方，2邊可消去很多項，再移項平方，就得出了結果.

師：還有別的推導方法嗎？

化簡得

2邊平方得

a2t-c2x2=a4,

于是

a2(x2+y2+c2)-c2x2=a4,

化簡得 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),

即

師：生19做得非常棒，具有很強的創(chuàng)新能力和觀察分析問題的能力，我們?yōu)樗膭?chuàng)新鼓掌.

(學生紛紛鼓掌慶賀,課堂氣氛活躍起來.)

師：若焦點在y軸上，雙曲線的標準方程是什么呢？請說明理由.

教學感悟 考慮到學生在學習橢圓時曾經推導過橢圓的標準方程.教師相信，學生通過類比橢圓的學習可自行推導雙曲線的標準方程，因此放手讓學生推導，并展示其成果.對其中不太好的做法，也是引導學生找出其閃光點，并分析失敗的原因，使學生感到有信心和希望.對其中好的做法，加以肯定，展示其成功之處，使學生體驗到成功的喜悅.沒想到教學時還有學生想到創(chuàng)新的做法，令師生大開眼界.教學時，教師應把時間還給學生，讓學生獨立思考、合作交流、相互評價.

2.5 變式探究，提升能力

采用變式探究是實現(xiàn)探究活動的重要舉措.變式探究有助于學生深化知識、完善知識結構、理清知識的來龍去脈.在運用雙曲線的定義和方程解題時可考慮采用變式探究，以深化知識的理解，提升學生的能力.

教學片斷5

師：剛才學習了雙曲線的定義及標準方程，現(xiàn)在我們來應用所學知識解決問題.

問題1 已知雙曲線的2個焦點坐標為F1(-5,0)，F(xiàn)2(5,0),雙曲線上一點P到F1,F2的距離之差的絕對值等于8，求雙曲線的標準方程.

b2=c2-a2=9,

師：生21做得非常好，若將題目變?yōu)椋涸谄矫鎯龋琍(x,y)滿足

則點P的軌跡方程是什么？

師：非常好，理解得很深刻.還能編寫一些題目嗎？

生24：已知雙曲線的焦點坐標為F1(0,-5)，F(xiàn)2(0,5),雙曲線上一點P到F1,F2的距離之差等于8，求雙曲線的標準方程.

生25：若點P(x,y)滿足

則點P的軌跡方程是什么？

生26：若點P(x,y)滿足

則點P的軌跡方程是什么？

師：非常好，剛才同學們編寫的都是用定義求雙曲線標準方程的問題.

教學感悟 應用所學知識解決問題是學生鞏固知識、深化理解知識的必要環(huán)節(jié).教學時教師從一道簡單題進行變式，讓學生理解與領悟雙曲線定義的不同表述，并讓學生自己編題訓練，使學生真正理解所學知識，也許學生的編題不成熟，有些是模仿的，但學生的自主學習能力得到了提升.

3 教學思考

本節(jié)課的教學，教師放手讓學生自主活動、自主探究，把時間還給學生，把機會讓給學生，學生興趣濃厚，思維積極，課后也得到了大多數(shù)聽課教師的好評.通過這節(jié)課的教學，筆者有如下思考：

1)這節(jié)課為什么要進行探究性教學，讓學生自主探究呢？

從學習內容說，學生不是第1次學習圓錐曲線，前面已學習過橢圓.雙曲線與橢圓有很多相似之處，學生只需類比、對比即可，而類比、對比的思想方法在高中數(shù)學中經常用到.

從教學重、難點看，重點是雙曲線定義及其辨析，難點是雙曲線標準方程的推導.在突出重點的過程中，與橢圓類比，先做實驗，讓學生觀察思考，分析實驗條件與結果.類比橢圓得出定義，用拉鏈動手實驗，而不是電腦操作實驗，給了學生更多的時間與空間.從難點的突破方面看，推導雙曲線的方程與橢圓方程的推導是類似的，只不過多了絕對值，對學生來說增加了難度.從學生生源來看，學生的素質高、自主學習能力強，為實現(xiàn)探究性教學奠定了基礎.事實上只要給學生充足的時間，讓學生合作，學生的探究工作就能做得非常好.

2)教學如何實現(xiàn)“探究式教學”？

實現(xiàn)探究式教學，要根據(jù)教學內容與學生實際.若教學內容太難，學生無法達到的，則不能采用，如等比數(shù)列求和公式的推導就不能用此法.實施探究式教學，教師要做到“敢降”“敢放”“敢等”.“敢降”即是教師要“降低”自己的“教師身份”與學生“平起平坐”，把問題設計得平易近人，降低問題的起點，讓學生參與進來；“敢放”就是教師要有收放自如的底氣與能力，創(chuàng)設情境開放，讓學生大膽地提出自己的思路，讓學生有充分的時間去思考與探究，把表現(xiàn)的機會讓給學生；“敢等”是教師的一種氣質，就是教師要有把握時機的耐心與從容，耐心地等待學生解決問題.

本節(jié)課的教學內容非常適合探究性教學.在教學中筆者原先“不敢降”“不敢放”“不敢等”，但是有聽課師生的鼓勵與支持，就大膽地進行了嘗試，事實上效果還是不錯的.

[1] 林婷.突出主體地位 追尋高效復習[J].數(shù)學通訊，2013(3)：47-51.

[2] 金明.課堂教學應讓學生盡情地“說”[J].中學數(shù)學，2013(5)：9-12.

[3] 何淑龍，金明.解題教學應探尋解題思路之源——從一道考題談數(shù)列不等式的證明策略[J].中學數(shù)學研究，2013(2)：34-36.

2017-02-11；

2017-03-13

2016廣州市教育規(guī)劃課題(1201574155)；廣東省“十二五”規(guī)劃課題(2013YQJK080)

何淑龍(1976-)，男，湖南祁陽人，中學一級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)06-06-05