●陳寒極 (慈溪中學(xué) 浙江慈溪 315300)

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一道數(shù)列放縮題解法改進(jìn)的心路歷程*

●陳寒極 (慈溪中學(xué) 浙江慈溪 315300)

高三復(fù)習(xí)階段，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)水平的提高，以及個(gè)人知識(shí)發(fā)展的差異，對(duì)同一個(gè)問題會(huì)有不同的解法，但是解法會(huì)有優(yōu)劣，思考入手點(diǎn)也會(huì)有難易的差別，比如數(shù)列放縮題就是一個(gè)極好的例子.文章通過一題多解，提煉方法后化為多題一解，并歸納解題步驟以及解題中的注意點(diǎn)，從而有效地解決這類問題.

數(shù)列；放縮；等比；改進(jìn)

在高三一輪復(fù)習(xí)中，有這樣一個(gè)問題：

例1[1]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn滿足an+1=2Tn+6，且a1=6.

(浙江省臺(tái)州中學(xué)2016屆高三第1學(xué)期期中考試優(yōu)化卷)

從而

于是

故

Tn<3.

所以

(注：留出4項(xiàng)不變，從第5項(xiàng)開始放縮.)

(注：留出3項(xiàng)不變，從第4項(xiàng)開始放縮.)

(注：使用糖水不等式需要注意分母大于分子.)

評(píng)析 總結(jié)這6種方法：方法1類似于等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法,是神來之筆；方法2湊出一個(gè)拆項(xiàng)表達(dá)式然后求和；方法3～6都在努力放縮為一個(gè)等比數(shù)列，然后化為無窮遞縮等比數(shù)列求和，其中方法3需留出4項(xiàng)，方法4需留出3項(xiàng)，方法5需留出1項(xiàng)，而方法6不用留項(xiàng)，是相對(duì)而言最好的放縮.

在感嘆于學(xué)生創(chuàng)造力的同時(shí)，筆者又在思考怎么放縮才能相對(duì)便捷地求出結(jié)果，同時(shí)方便學(xué)生理解和掌握呢？無獨(dú)有偶，在練習(xí)中又碰到以下問題.

(2015年浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)數(shù)學(xué)模擬試題)

(注：留出2項(xiàng)不變，從第3項(xiàng)開始放縮.)

(注：留出2項(xiàng)不變，從第3項(xiàng)開始放縮.)

(注：留出2項(xiàng)不變，從第3項(xiàng)開始放縮.)

從而

下面給出幾個(gè)練習(xí)題，說明該方法是有效的、方便的.

即證

本題的另一種證法如下：

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),

再留出第1項(xiàng)和第2項(xiàng)，求和得出證明.

[1] 曲一線.浙江38套模擬卷匯編[M].北京：教育科學(xué)出版社，2016.

[2] 王獻(xiàn)新.全品高考復(fù)習(xí)方案2017一輪復(fù)習(xí)用書教師手冊[M].北京：北京教育出版社，2016.

2017-02-15；

2017-03-16

陳寒極(1980-)，男，浙江慈溪人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)06-26-04