唐山市豐潤區(qū)任各莊鎮(zhèn)中學(xué)(064012)

董鳳娥 ●

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用“不完全歸納法”解兩道物理高考題

唐山市豐潤區(qū)任各莊鎮(zhèn)中學(xué)(064012)

董鳳娥 ●

針對連續(xù)作用過程的物理問題用不完全歸納法來解決很有效.本文以全國高考和北京高考試題為例加以說明，以便引起大家的重視.

物理;全國高考;北京高考;不完全歸納法.

眾所周知，對于一個和自然數(shù)n有關(guān)的命題，如果由n=1命題成立，可推出n=2命題成立；由n=2命題成立，可推出n=3命題成立；依此類推，由n=k-1命題成立，可推出n=k命題成立；這樣就形成了一個無窮的遞推，從而命題對于n≥0或1的自然數(shù)都成立.這種推理在數(shù)學(xué)上叫做“不完全歸納法”(也可以叫做遞推法).有些高考物理試題用這種推理來解決很有效，但必須要有耐心.下面舉例加以說明以便引起大家的重視.

例1 (2007年全國高考)如圖所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M=19m的金屬球并排懸掛.現(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60°的位置自由釋放，下擺后在最低點(diǎn)與金屬球發(fā)生彈性碰撞.在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場.已知由于磁場的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c(diǎn)處.求經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°.

解析 設(shè)絕緣小球m的擺線長度為L，由題設(shè)可知每次碰撞都發(fā)生在最低點(diǎn)且為彈性正碰，規(guī)定向左為速度的正方向，第一次碰撞前絕緣小球的速度為v0，碰撞后絕緣小球的速度為v1，金屬球的速度為V1，碰撞前后由動量守恒定律可得：

mv0=MV1-mv1①

碰撞前后由機(jī)械能守恒定律可得：

已知M=19m③，

由①②③聯(lián)立，解得

根據(jù)題意可知，第二次碰撞前絕緣小球的速度為v1，等于第一次碰撞后絕緣小球的速度.設(shè)第二次碰撞后絕緣小球的速度為v2，金屬球的速度為V2，

碰撞前后由動量守恒定律可得：

mv1=MV2-mv2

碰撞前后由機(jī)械能守恒定律可得：

已知M=19m

同理可得，第三次碰撞前后有，

mv2=MV3-mv3

已知M=19m

以此類推，可求得第n次碰撞后絕緣小球和金屬球的速度分別為

設(shè)第一次碰撞前絕緣小球的動能為E0，根據(jù)題意可知碰撞前由最高處到達(dá)最低處的過程機(jī)械能守恒，則有

不妨假設(shè)，第n次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度等于45°.第n次碰后絕緣球的動能為En，根據(jù)題意可知碰撞后由最低處到達(dá)最高處的過程機(jī)械能守恒，則有

如果經(jīng)過n次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度小于45°，則有0.81n<0.586

因?yàn)?，?dāng)n=2時，0.586<0.812；當(dāng)n=3時，0.813<0.586.

所以，經(jīng)過3次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于450.

例2 (2010年北京高考)雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結(jié)合為一體，其質(zhì)量逐漸增大.現(xiàn)將上述過程簡化為沿豎直方向的一系列碰撞.已知雨滴的初始質(zhì)量為m0，初速度為v0，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量變?yōu)閙1.此后每經(jīng)過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量依次為m2、m3…mn…(設(shè)各質(zhì)量為已知量).不計(jì)空氣阻力.若考慮重力的影響， 求:

(1)第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和v1′；

解析 (1)若考慮重力的影響，沿豎直方向(正方向)雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運(yùn)動，每一次碰撞瞬間(前后)動量守恒.

第1次碰撞后，m0v1=m1v1/

第2次碰撞后，m1v2=m2v2′

結(jié)合(2)式可得

依此類推，第n次碰撞后雨滴速度為

所以，第n次碰撞后雨滴的動能為

由以上兩例不難看出，針對連續(xù)作用過程的物理問題用不完全歸納法解答很奏效.依托物理問題情景，考查學(xué)生運(yùn)用經(jīng)典的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維解決物理問題是今后高考的一種趨勢，希望大家要引起足夠的重視.

[1]http://www.docin.com/p-694276988.html

[2]http://www.docin.com/p-480952069.html

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