高永飛，王兆魁

（1.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073；2.清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084）

微納衛(wèi)星L1點(diǎn)Halo軌道轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)

高永飛1，王兆魁2

（1.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073；2.清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084）

針對(duì)地月空間探測(cè)任務(wù)的高風(fēng)險(xiǎn)、高成本，提出了利用微納衛(wèi)星完成地月空間環(huán)境監(jiān)測(cè)、未知空間探索及地月空間動(dòng)力學(xué)驗(yàn)證的方案，從而為未來建立地月空間運(yùn)輸系統(tǒng)建立良好基礎(chǔ)。借助地月空間三體動(dòng)力學(xué)和小推力軌道設(shè)計(jì)中的直接法，設(shè)計(jì)了針對(duì)微納衛(wèi)星的低能耗地月轉(zhuǎn)移方案。結(jié)果表明：微納衛(wèi)星借助火箭上面級(jí)，從GEO軌道出發(fā)飛向L1點(diǎn)Halo軌道，所需速度增量為1.033 km/s，轉(zhuǎn)移時(shí)間為40.02 d；不借助火箭上面級(jí)，所需速度增量為1.397 5 km/s，轉(zhuǎn)移時(shí)間為48.7 d。

微納衛(wèi)星；地月轉(zhuǎn)移；低能耗

0 引 言

地月空間探測(cè)已逐漸成為人類重要的航天活動(dòng)。我國(guó)自正式開展月球探測(cè)工程以來，也已圓滿完成了從“嫦娥1號(hào)”到“嫦娥3號(hào)”的月球探測(cè)任務(wù)，為人類和平利用地月空間邁出了新的一步。地月空間建立太陽能電站、空間站、無線電通訊中繼站，或者作為太空探索多元化目的地的通道，為人類發(fā)展提供了能源、高位置資源和軍事戰(zhàn)略資源。因此，為充分利用地月空間或進(jìn)一步走向深空，建立地月空間運(yùn)輸系統(tǒng)是十分必要的。

地月空間運(yùn)輸系統(tǒng)基于近地停泊軌道、地月轉(zhuǎn)移軌道、地月駐留軌道和近月停泊軌道建立。近地停泊軌道可以選用低地球軌道（Low Earth Orbit，LEO）、同步轉(zhuǎn)移軌道（Ceostationary Transfer Orbit，GTO）或地球同步軌道（Geosynchronous Orbit，GEO）[1]。位于LEO的國(guó)際空間站可為地月空間運(yùn)輸系統(tǒng)提供在軌服務(wù)；GTO、GEO則具有較高的能量，可為建立可重復(fù)使用運(yùn)輸系統(tǒng)降低能量代價(jià)；地月轉(zhuǎn)移軌道可以分為兩大類：脈沖轉(zhuǎn)移軌道和小推力轉(zhuǎn)移軌道。脈沖轉(zhuǎn)移軌道適合于載人深空探測(cè)或其他快速響應(yīng)任務(wù)，小推力轉(zhuǎn)移軌道由于轉(zhuǎn)移時(shí)間長(zhǎng)、載荷比高則更適合于貨運(yùn)飛船或其他對(duì)于轉(zhuǎn)移時(shí)間沒有嚴(yán)格要求的任務(wù)。Halo軌道由于能夠連續(xù)觀測(cè)太空環(huán)境，且由其衍生得到的不變流形可以作為低能耗轉(zhuǎn)移通道，可以選作地月空間駐留軌道；近月停泊軌道則是月球探測(cè)的中轉(zhuǎn)站。同時(shí)，地月空間運(yùn)輸系統(tǒng)的建立還需要對(duì)地月空間輻射環(huán)境或其他環(huán)境參數(shù)進(jìn)行有效監(jiān)測(cè)，以提高系統(tǒng)安全性；對(duì)地月空間動(dòng)力學(xué)進(jìn)行驗(yàn)證，為運(yùn)輸系統(tǒng)建立奠定基礎(chǔ)。然而，探測(cè)地月空間未知環(huán)境或執(zhí)行高風(fēng)險(xiǎn)任務(wù)，高成本、高風(fēng)險(xiǎn)極大地限制了人類航天活動(dòng)。

微納衛(wèi)星因其低成本在近地空間科學(xué)探測(cè)任務(wù)中得到了廣泛應(yīng)用。由于使用了商業(yè)貨架組件以及標(biāo)準(zhǔn)機(jī)械/電子接口，微納衛(wèi)星可以通過搭載不同的科學(xué)探測(cè)載荷完成不同的科學(xué)任務(wù)，如地球觀測(cè)、生物研究等[2-3]。隨著航天技術(shù)和微電子技術(shù)的飛速發(fā)展，將微納衛(wèi)星應(yīng)用于月球或小行星探測(cè)已逐漸成為可能[4]?！靶行请H探路者”（INSPIRE）是JPL（Jet Propulsion Laboratory，噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室）規(guī)劃的利用微納衛(wèi)星探測(cè)深空的首個(gè)任務(wù)，任務(wù)包括兩顆3U微納衛(wèi)星，均搭載磁強(qiáng)計(jì)和相機(jī)；其主要任務(wù)是飛離地球150萬 km，以驗(yàn)證微納衛(wèi)星在深空中的生存能力[5]。其他3項(xiàng)微納衛(wèi)星深空探測(cè)任務(wù)計(jì)劃搭載NASA的空間發(fā)射系統(tǒng)（Space Launch System，SLS）于2018年發(fā)射[6]。

本文以微納衛(wèi)星地月空間探測(cè)為背景，以地月空間探測(cè)的技術(shù)驗(yàn)證、未知環(huán)境探測(cè)等高風(fēng)險(xiǎn)任務(wù)為主要目標(biāo)，設(shè)計(jì)符合微納衛(wèi)星約束和任務(wù)目標(biāo)的地月轉(zhuǎn)移軌道。軌道設(shè)計(jì)中，借助三體動(dòng)力學(xué)和小推力軌道設(shè)計(jì)，以盡可能降低轉(zhuǎn)移能耗。

1 軌道設(shè)計(jì)方法

1.1 不變流形

本文基于圓形限制性三體模型：兩主天體分別為地球和月球，且共同繞地月質(zhì)心旋轉(zhuǎn)。圓形限制性三體模型的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

其中：X為航天器狀態(tài)量

兩主天體地球和月球的質(zhì)量分別為m1和m2，有

其中：在地月圓形限制性三體模型中，μ≈0.012。r1和r2分別為航天器至兩主天體的無量綱距離

圓形限制性三體模型中存在5個(gè)平動(dòng)點(diǎn)，且在平動(dòng)點(diǎn)周圍存在周期軌道?；谌AHalo軌道解析解和微分校正方法[7]，圖1給出了一條L1點(diǎn)附近的Halo軌道。

圖1 L1點(diǎn)附近的Halo軌道Fig.1 Halo orbit around L1

由Halo軌道衍生的不變流形可用于低能耗地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)。下面給出不變流形的計(jì)算方法。不變流形計(jì)算涉及到周期軌道的Monodromy矩陣。記Monodromy矩陣為M，則

其中：Φ為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；T為軌道周期。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可通過求解變分方程得到。

其中：A(X)=df(X)/dX。

記Monodromy矩陣的穩(wěn)定特征值和不穩(wěn)定特征值對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，將其單位化可得

從而穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形的初始狀態(tài)可以定義為

其中：Xperiod是周期軌道上的任意一點(diǎn)；d是沿穩(wěn)定特征向量或不穩(wěn)定特征向量方向一個(gè)小的擾動(dòng)。正負(fù)號(hào)則表示了擾動(dòng)可以沿兩個(gè)相反的方向。圖2給出了圖1所示Halo軌道的不變流形在O-XY平面的投影。

圖2 L1點(diǎn)Halo軌道的不變流形Fig.2 Invariant manifold of Halo orbit around L1

1.2 小推力軌道設(shè)計(jì)

基于圓形限制性三體模型，當(dāng)考慮小推力時(shí)，航天器動(dòng)力學(xué)方程可以寫為

其中：r和v分別為航天器的位置和速度狀態(tài)量；m是航天器質(zhì)量；Tmax是發(fā)動(dòng)機(jī)最大推力幅值；Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；g0是海平面重力加速度?？刂屏堪ü?jié)流系數(shù)u∈[0,1]和推力方向α。g(r)和h(v)分別為

初始狀態(tài)約束和終端狀態(tài)約束可表示為

小推力軌道設(shè)計(jì)通?？梢赞D(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題，即在動(dòng)力學(xué)方程和邊界條件的約束下，尋找最優(yōu)控制率使得目標(biāo)函數(shù)取極值。通常情況下，目標(biāo)函數(shù)取轉(zhuǎn)移時(shí)間、轉(zhuǎn)移能耗和轉(zhuǎn)移能量。本文中，目標(biāo)函數(shù)取轉(zhuǎn)移時(shí)間最優(yōu)，即

求解最優(yōu)控制問題式(9)～(12)的方法主要包括3類：直接法、間接法和混合法[8-13]。本文采用直接法求解。直接法的主要思想是將狀態(tài)量和控制量離散化，從而將動(dòng)力學(xué)方程約束借助插值算法轉(zhuǎn)化為等式約束，結(jié)合邊界約束條件，利用非線性優(yōu)化工具包求解得到最優(yōu)控制律和航天器狀態(tài)量。

本文采用3次插值多項(xiàng)式對(duì)動(dòng)力學(xué)方程離散化，借助matlab非線性優(yōu)化工具fmincon，利用序列二次規(guī)劃（Sequentral Quadratic Programming，SQP）非線性優(yōu)化算法求解得到小推力軌道[14]。

2 地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)

微納衛(wèi)星一般作為火箭的第二載荷發(fā)射入軌，其初始軌道由火箭主任務(wù)決定。因此微納衛(wèi)星入軌的初始速度和能量會(huì)隨著主任務(wù)的不同而有所不同。LEO、GTO、GEO或其他高能量軌道都可能成為微納衛(wèi)星的初始入軌軌道。

微納衛(wèi)星由于結(jié)構(gòu)大小的限制，只能配置具有高比沖的微小型等離子推進(jìn)系統(tǒng)，故微納衛(wèi)星在入軌后，只能依靠自身的連續(xù)小推力推進(jìn)系統(tǒng)完成各項(xiàng)任務(wù)。表1給出了用于微納衛(wèi)星軌道設(shè)計(jì)的各項(xiàng)參數(shù)[15]。

表1 微納衛(wèi)星參數(shù)Table 1 Parameters of nanosat

考慮微納衛(wèi)星搭載LEO或GEO軌道任務(wù)的運(yùn)載火箭，其入軌初始軌道可以為L(zhǎng)EO、GTO或GEO軌道。但微納衛(wèi)星若從LEO軌道出發(fā)飛至地球靜止軌道高度，轉(zhuǎn)移時(shí)間約為100 d左右，其主要壽命階段停留在近地空間。表2給出了微納衛(wèi)星的初始入軌狀態(tài)。

表2 微納衛(wèi)星初始入軌狀態(tài)（地球旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，無量綱）Table 2 Initial state of nanosat（rendezrous coordinate system, non-dimensional）

圖3給出了微納衛(wèi)星由GTO軌道出發(fā)的小推力軌道（O-XY平面投影）。從GTO軌道出發(fā)至地球靜止軌道高度，近地轉(zhuǎn)移時(shí)間約為40 d左右。

圖3 GTO軌道出發(fā)的小推力軌道Fig.3 Low thrust orbit from GTO

進(jìn)一步，考慮運(yùn)載火箭于GEO軌道將微納衛(wèi)星釋放，或者火箭上面級(jí)于GEO軌道繼續(xù)為其提供推力，從而為微納衛(wèi)星提供更大的初始速度。為了驗(yàn)證地月空間動(dòng)力學(xué)或盡可能降低對(duì)微納衛(wèi)星推進(jìn)系統(tǒng)的要求，借助不變流形進(jìn)行軌道設(shè)計(jì)是十分必要的。圖4給出了小推力軌道和L1點(diǎn)Halo軌道的穩(wěn)定流形。通過遍歷選取截面上穩(wěn)定流形的交點(diǎn)，并分別將交點(diǎn)狀態(tài)作為小推力軌道設(shè)計(jì)的終端約束條件，優(yōu)化得到從GEO出發(fā)飛至Halo軌道的低能耗轉(zhuǎn)移軌道。

圖4 小推力軌道和L1點(diǎn)Halo軌道穩(wěn)定流形Fig.4 Low thrust orbit and invarint manifold from Halo orbit around L1

圖5給出了從GEO出發(fā)飛至Halo軌道的低能耗轉(zhuǎn)移軌道。微納衛(wèi)星經(jīng)過一段時(shí)間的小推力飛行，進(jìn)入穩(wěn)定流形，進(jìn)而沿著穩(wěn)定流形進(jìn)入Halo軌道。整個(gè)飛行過程所需的速度增量為1.397 5 km/s，轉(zhuǎn)移時(shí)間為48.7 d。

圖5 GEO軌道出發(fā)飛向Halo軌道Fig.5 Set off from GEO to Halo orbit

圖6中，微納衛(wèi)星由火箭上面級(jí)釋放?；鸺厦婕?jí)可為微納衛(wèi)星提供約150 m/s的速度沖量。整個(gè)轉(zhuǎn)移過程類似圖5，所需速度沖量為1.033 km/s，轉(zhuǎn)移時(shí)間是40.02 d。

圖6 由火箭上面級(jí)釋放Fig.6 Released by upper stage of the rocket

3 結(jié) 論

本文提出了利用微納衛(wèi)星執(zhí)行地月空間環(huán)境監(jiān)測(cè)、未知環(huán)境探索及地月空間動(dòng)力學(xué)驗(yàn)證等高風(fēng)險(xiǎn)、高成本探測(cè)任務(wù)，從而為建立地月空間運(yùn)輸系統(tǒng)奠定良好基礎(chǔ)。

本文結(jié)合地月三體動(dòng)力學(xué)和小推力軌道設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)了微納衛(wèi)星從GEO飛向L1點(diǎn)Halo軌道的低能耗轉(zhuǎn)移軌道，并設(shè)定利用火箭上面級(jí)助推將微納衛(wèi)星送入低能耗轉(zhuǎn)移軌道。

[1]Folta D，Dichmann D，Clark P，et.Al.Lunar cube transfer trajectory options[C]//AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting：25th.[S.l.]：AIAA，2015.

[2]Kitts C，Hines J.Initial flight results from the pharmasat biological microsatellite mission[C]//AIAA，23rd Annual Conference on Small Satellites.[S.l.]：AIAA，2009.

[3]Kane V.Planetary cubesats begin to come of age[EB/OL].(2015-02-17)[2016-11-25].http://www.planetary.org/blogs/guest-blogs/van-kane/ 20150217-planetary-cubesats-begin-to-come-of-age.html.

[4]Klesh A，Baker J，Castillo-Rogez J，et.al.Inspire：interplanetary nanospacecraft pathfinder in relevant environment[C]//AIAA SPACE 2013 Conference and Exposition.[S.l.]：AIAA，2013.

[5]Wall M.Tiny Cubesats set to explore deep space[EB/OL].[2016-11-25].http://www.space.com/29306-cubesats-deep-space-exploration.html.

[6]劉林，侯錫云.深空探測(cè)軌道理論與應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2015.

[7]Zhang C，Zhao Y.Low-thrust minimum-fuel optimization in the circular restricted three-body problem[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2015，38(8)：1-9.

[8]Ozimek M T，Howell K C.Low-thrust transfers in the earth-moonsystem，including applications to libration point orbits[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2010，33(2)：533-549.

[9]Senent J，Ocampo C.Low-thrust variable-specific-impulse transfers and guidance to unstable periodic orbits[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，28(2)：280-290.

[10]Sukhanov AA，Prado A F B D A.Optimization of transfers under constraints on the thrust direction：Ⅰ[J].Cosmic Research，2008，45(1)：417-423.

[11]Mingotti G.Optimal low-thrust invariant manifold trajectories via attainable set[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2011，34(6)：1644-1656.

[12]Sukhanov A A，Prado A F B D A.Optimization of transfers under constraints on the thrust direction：Ⅱ[J].Cosmic Research，2007， 45(5)：417-423.

[13]袁建平，趙育善，唐歌實(shí).航天器深空飛行軌道設(shè)計(jì)[M].北京：中國(guó)宇航出版社，2014.

[14]Conversano R W，Wirz R E.CubeSat lunar mission using a miniature ion thruster[C]//47th AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference & Exihibit，[S.l.]：AIAA，2011.

高永飛（1989– ），男，博士研究生。主要研究方向：地月空間軌道動(dòng)力學(xué)。

通信地址：清華大學(xué)航天航空學(xué)院（100084）

電話：（010）62794316

E-mail：gaoyongfei_001@hotmail.com

Transfer Orbit Design for L1 Halo Orbit Based Nanosats

GAO Yongfei1，WANG Zhaokui2
（1.Institute of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China；2.School of Aerospace，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

Nanosats have been demonstrated the capability of deep space exploration with the availability of onboard control systems, such as propulsion, active attitude control, navigation as well as communication, thermal or other subsystems design required for deep space.Nanosats are usually launched as second ary payloads into different orbits.In this paper, aiming at lunar exploration with nanosats, the concepts that nanosats transfer to the moon from the deployments in geosynchronous transfer orbit(GTO) or released by the upper stage were put forward and the heteroclinic connection between L1 and L2 Lyapunov orbit was designed.In the orbit design, both the dynamical system approach and the low thrust model were used to realize low energy cost orbit transfer in order to satisfy the limited condition of propulsion subsystems.

nanosat；cis-lunar transfer；low cost

V412

：A

：2095-7777（2017）01-0072-05

10.15982/j.issn.2095-7777.2017.01.011

高永飛，王兆魁.微納衛(wèi)星L1點(diǎn)Halo軌道轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)[J].深空探測(cè)學(xué)報(bào)，2017，4（1）：72-76.

Reference format：Gao Y F，Wang Z K.Transfer orbit design for L1 Halo orbit based nanosats [J].Journal of Deep Space Exploration，2017，4（1）：72-76.

[責(zé)任編輯：高莎，英文審校：朱魯青]

2016-11-25

2016-12-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（1157020588）