廣東省惠州市惠陽區(qū)崇雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校(516213) 李志平

廣東省惠州市惠陽區(qū)教育局教研室(516000) 鐘文輝(特級教師)

賞析初中數(shù)學(xué)教材一道習(xí)題的改編與探究

廣東省惠州市惠陽區(qū)崇雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校(516213) 李志平

廣東省惠州市惠陽區(qū)教育局教研室(516000) 鐘文輝(特級教師)

人教版《數(shù)學(xué)》教材八年級(上)P65有這樣的一道題:如圖,在等邊三角形ABC的三邊上,分別取點(diǎn)D,E,F,使AD=BE=CF.求證:△DEF是等邊三角形.

本題是復(fù)習(xí)題12的一道綜合運(yùn)用題,主要考查等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識.這道題對于初中生來說是屬于中等難度的題目,能較好地考查學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的思維能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的技能水平.本文筆者從題目的解答出發(fā),對本題做些改編,與廣大同仁交流.

1 解答

證明:在等邊三角形ABC中,AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60?.∵AD=BE=CF,∴AB?AD=BC?BE=AC?CF,即BD=CE=AF.∴△ADF～=△CFE～=△BED(SAS),∴EF=DF=DE,即△DEF是等邊三角形.

圖1

2 改編

本著“解一道題,會一類題”教學(xué)思想,教師應(yīng)引導(dǎo)以一道題目為起點(diǎn),運(yùn)用聯(lián)想,展開想象,發(fā)散思維,由一題而涉及一類題.這樣既能收到由例及類,觸類旁通的效果,而且有利于發(fā)展學(xué)生思維的靈活性,創(chuàng)造性,培養(yǎng)學(xué)生通過獨(dú)立探索,解決問題的能力.下面就試著對這道題作如下的改編.

圖2

改編1 如圖,在等邊三角形ABC的三邊上,分別取點(diǎn)D,E,F,使△DEF是等邊三角形,求證:AD=BE=CF.

證明:在等邊三角形ABC中,∠B=∠C=60?,在等邊三角形DEF中,EF=DE,∠DEF=60?.∴∠1+∠2= 180??∠DEF=120?,∠2+∠3=180??∠B=120?.即∠1+∠2=∠2+∠3,∴∠1=∠3,∴△BDE～=△CEF(AAS),同理可證:△BDE～=△AFD,∴△AFD～=△CEF～=△BDE,∴AD=BE=CF.

注:此題把原題的一部分題設(shè)與結(jié)論倒置,這是改編習(xí)題的常用方法.

改編2如圖,在等邊三角形ABC的三邊延長線上,分別取點(diǎn)D,E,F,使AD=BE=CF.求證:△DEF是等邊三角形.

證明:在等邊三角形ABC中,AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC= ∠ACB=60?.∵AD=BE=CF,∴AB+AD=BC+BE=AC+CF,即BD=CE=AF,∠DBE=∠ECF=∠FAD=120?.∴△DBE～=△ECF～=△FAD(SAS),∴DE=EF=DF,即△DEF是等邊三角形.

圖3

注:此題改變了原題的一部分題設(shè)(把原題三邊上的三點(diǎn)改為在三邊的延長線上),但結(jié)論不變.此題的解答思路與原題非常相似.

改編3如圖,若△ABC是等邊三角形,且 ∠1= ∠2=∠3.求證:△DEF是等邊三角形.

圖4

證明:在等邊三角形ABC中,∠ACB=60?.∵∠2=∠3,∴∠FED=∠2+∠ECB=∠3+∠ECB=∠ACB=60?.同理∠EFD=∠FDE=60?∴△DEF是等邊三角形.

注:此題與改編2一樣,都是改變了部分題設(shè)(變原題的線段相等為角相等),結(jié)論沒有發(fā)生改變.這是改編習(xí)題的常用方法.另外,本題也可以通過證△ABD～=△BCE～=△CAF(ASA)來說明△DEF是等邊三角形,但方法不如上述解法簡捷.

改編4如圖,等邊三角形ABC的邊長為1,取其三邊中點(diǎn)A1,B1,C1.得到等邊三角形A1B1C1,記其邊長為a1;同樣在等邊三角形A1B1C1中,取其三邊中點(diǎn)A2,B2,C2得到等邊三角形A2B2C2,記其邊長為a2......照這樣繼續(xù)下去,那么a5=____.

圖5

注: 本題把原題點(diǎn)的位置特殊化、規(guī)律化,通過按照原題有規(guī)律的不斷縮小等邊三角形,這是編規(guī)律題型的常用做法.此題與歷年中考中的規(guī)律性題型接軌,有效地考查了學(xué)生歸納猜想的數(shù)學(xué)思想方法.

改編5如圖,等邊三角形ABC的邊長為a,分別在其三邊上取三點(diǎn)A1,B1,C1.使AA1:A1B=BB1:B1C=CC1:C1A=m:n,得到等邊三角形A1B1C1,記其邊長為a1;同樣在等邊三角形A1B1C1中,分別在其三邊上取三點(diǎn)A2,B2,C2,使A1A2:A2B1=B1B2:B2C1=C1C2:C2A1=m:n,得到等邊三角形A2B2C2,記其邊長為a2……照這樣繼續(xù)下去,那么ak=___.(k為正整數(shù),用含a,m,n,k的式子表示)

圖6

注:本題是改編4的一般化結(jié)論.它涉及到三角形全等及相似的相關(guān)性質(zhì)、比例、面積法、乘方、開方等知識,是代數(shù)和幾何的綜合題.對于現(xiàn)階段初中學(xué)生來說,要正確答出這道題,難度很大.在實(shí)際應(yīng)用上,此題可作為競賽試題來考查學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的思維能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的技能水平.

另外,此題也可以用余弦定理來解答,但超出初中階段的知識范疇,在這里就不作表述.

3 小結(jié)

通過對課本習(xí)題的改編,學(xué)生的思維容量得到了擴(kuò)充,課堂教學(xué)效率也提高了;同時學(xué)生在問題的有序變化中發(fā)現(xiàn)了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,從而增強(qiáng)了舉一反三、觸類旁通的解題能力;另外教師通過對問題的多角度與多層次研究,也增強(qiáng)了自身的命題能力,從而有利于今后在教學(xué)中命制出更多更精更妙的好題目.

總之,在教學(xué)中,我們要立足于課本,因?yàn)檎n本是知識與方法的重要載體,離開課本的教學(xué)必然是無源之水,無本之木.因此,我們要多挖掘教材中的例題、習(xí)題的價值,使其發(fā)揮更大的教學(xué)功能,要善于“借題發(fā)揮”,使知識結(jié)構(gòu)化,發(fā)展培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。