毛北行 ， 李巧利

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院 河南 鄭州 450015；2.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 河南 鄭州 450001)

分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)混沌同步?

毛北行1， 李巧利2

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院 河南 鄭州 450015；2.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 河南 鄭州 450001)

利用滑?？刂品椒ㄑ芯苛艘活惙?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步控制問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論，給出分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定系統(tǒng)取得滑模同步的充分性條件，并給出了嚴(yán)格的證明，研究表明，一定條件下分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)是滑模混沌同步的，仿真結(jié)果表明了方法的可行性。

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)；混沌同步；自適應(yīng)

混沌同步已逐漸成為研究的熱點，并取得了豐碩的研究成果[1-5]，而分?jǐn)?shù)階微積分已有300多年的歷史，近年來對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌同步方面的研究正逐步升溫[6-7]，另一方面，滑模控制是消除系統(tǒng)的不確定性和處理非線性的一種有效手段，是控制非線性科學(xué)的強大工具，文獻[8] 基于自適應(yīng)滑?？刂蒲芯糠椒?，研究了一類分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌同步問題，設(shè)計的控制器魯棒性能良好，文獻[9]基于TS模糊控制方法研究了一類分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的滑模同步問題，文獻[10]研究了分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)的自適應(yīng)同步問題，文獻[11]研究了分?jǐn)?shù)階Rayleigh-Duffling-like系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤廣義投影同步問題。文獻[12]研究了分?jǐn)?shù)階渦卷Jerk系統(tǒng)的滑模同步控制及其電路實現(xiàn)，而關(guān)于分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)混沌同步問題，相關(guān)方面的報道還十分少見，基于此筆者研究了一類分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步控制問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論，給出了系統(tǒng)取得同步的充分性條件，仿真結(jié)果表明了方法的可行性。

1 自適應(yīng)滑?？刂苹煦缤?/h2>

定義1[13]：Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為:

考慮如下形式的2個分?jǐn)?shù)階異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)：

(1)

(2)

定義系統(tǒng)誤差e(t)=y(t)-x(t)， 得到誤差系統(tǒng)方程為：

(3)

(4)

(5)

(6)

考慮如下形式的2個分?jǐn)?shù)階異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)：

(7)

(8)

定義系統(tǒng)誤差e(t)=y(t)-x(t)， 得到誤差系統(tǒng)方程為：

(9)

其滑模面的可達性仿定理1的證明，略。

2 數(shù)值仿真：

定理1驅(qū)動系統(tǒng)選取為Lorenz系統(tǒng)：

初始狀態(tài)分別取x1(0)=1,x2(0)=2,x3(0)=1,y1(0)=2,y2(0)=3,y3(0)=1,

定理2驅(qū)動系統(tǒng)選取為Lorenz系統(tǒng)：

圖1 定理1系統(tǒng)的誤差曲線Fig1 The systems errors curves of theorem1

圖2 定理2 系統(tǒng)的誤差曲線Fig2 The systems errors curves of theorem 2

3 結(jié)語

研究了一類分?jǐn)?shù)階異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的同步控制問題，給出了控制器的設(shè)計，和自適應(yīng)控制律的設(shè)計，結(jié)論表明，一定條件下分?jǐn)?shù)階異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)是混沌同步的，分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的同步控制是進一步需要研究的問題。

[1] 毛北行, 王東曉. 一類分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時間同步控制[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報(理工版), 2016,33(1)： 96-101.MAOBeixing,WANGDongxiao.Finite-timesynchronizationcontrolofaclassoffractional-ordercomplexnetworksystems[J].JournalofShenzhenUiversityScienceandEnggineering. 2016,33(1)： 96-101.

[3] 毛北行， 李巧利. 一類分?jǐn)?shù)階Duffling-vanderpol系統(tǒng)的混沌同步[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)， 2016,54(2)： 369-373.MAOBeixing,LIQiaoli.ChaossynchronizationofaclassoffractionalorderDuffling-Vanderpolsystems[J].JournalofJilingUniversity(ScienceEdition)， 2016,54(2)： 369-373.

[4]JunMei,MinghuiJiang,JunWang.Finite-timestructureidentificationandsynchronizationofdrive-responsesystemswithuncertainparameter[J].CommunNonlinearSciNumerSimulat,2013(18):999-1015.

[5] 張昭晗， 高金峰. 參數(shù)不確定異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步控制[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版)， 2011,32(6)： 117-120.ZHANGZhaohan,GAOJinfeng.Self-adaptivesynchronizationforchaossystemswithuncertaindifferentstructure[J].JournalofZhengzhouUniversity(EngineeringEdition) 2011,32(6)： 117-120.

[6] 徐爭輝， 劉友金， 譚文,等. 一個對稱分?jǐn)?shù)階經(jīng)濟系統(tǒng)混沌特性分析[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐， 2014,34(5)： 1237-1242.XUZengyou,LIUYoujin,TANWen,etc.ChaoticdynamicsinacommensuratefractionalOrdernonlineareconomicsystem[J].SystemsEngineeringandTheorypractice, 2014， 34(5):1237-1242.

[7] 郝建紅， 賓虹， 姜蘇娜， 等. 分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)穩(wěn)定理論在混沌同步中的簡單應(yīng)用[J]. 河北師范大學(xué)學(xué)報自然版， 2014,38(5)： 469-475.HAOJianhong,BINHong,JIANGSuna,etc.Stabilitytheoremforfractionallinearsystemsanditsapplicationinchaossynchronization[J].JournalofHebeinormaluniversity(NaturalScienceEdition),2014,38(5):469-475.

[8] 潘光， 魏靜. 一種分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步的只適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計[J]. 物理學(xué)報， 2015,64(4)： 5051-5057.PANGuang,WEIJing.Designofanadaptiveslidingmodecontrollerforsynchronizat-ionoffractional-orderchaoticsystems[J].ActaPhys,Sin. 2015,64(4)： 5051-5057.

[9] 仲啟龍， 邵永輝， 鄭永愛. 基于TS模型的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)混沌同步[J]. 揚州大學(xué)學(xué)報， 2012,17(2):46-49.ZHONGQilong,SHAOYonghui,ZHENGYongai.SynchronizationofthefractionalorderchaoticsystemsbasedonTSmodels[J].JournalofYangzhouUniversity(NaturalScienceEdition),2012,17(2):46-49.

[10] 張友安， 余名哲， 耿寶亮. 基于投影法的不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)自適應(yīng)同步[J]. 電子與信息學(xué)報， 2015,37(2)： 455-460.ZHANGYouan,YUMingzhe,GENGBaoliang.Adaptivesynchronizationofuncertainfractional-orderchaoticsystemsbasedonprojectivemethod[J].JournalofElectronicsandInformationTechnology, 2015,37(2)： 455-460.

[11] 張燕蘭. 分?jǐn)?shù)階Rayleigh-Duffling-like系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤廣義投影同步[J]. 動力學(xué)與控制學(xué)報， 2014,12(4)： 348-352.ZHANGYanlan.AdaptivetrackinggeneralizedprojectivesynchronizationoffractionalRayleigh-Duffling-likesystem[J].JournalofDynamicsandControl, 2014,12(4):348-352.

[12] 王震， 吳云天， 鄒永杰. 多渦卷Jerk電路混沌系統(tǒng)的分析與滑模控制[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報， 2009,27(6)： 765-768.WangZhen,WuYun-tian,ZouYong-jie.Analysisandslidingcontrolofmulti-scrolljerkcircuitchaoticsystem[J].JournalofXi’anUniversityofScienceandTechnology,2009,27(6):765-768.

[13]Podlubny.Fractionaldifferentialequation[M].SanDiego,CA，AcademicPress:USA,1999.

[14] 梅生偉， 申鐵龍， 劉志康. 現(xiàn)代魯棒控制理論與應(yīng)用[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社, 2003.MeiShengWei,ShenTieLong,LiuZhiKang.Modernrobustcontroltheoryandapplica-tion[M].Beijing：QinghuaUniversityPublition, 2003.

責(zé)任編輯 陳呈超

Chaos Synchronization Between Different FractionalOrder Systems with Uncertain Parameters

MAO Bei-Xing1，LI Qiao-Li2

(1. College of Science ,Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou 450015,China; 2.College of Science, Henan University of Technology,Zhengzhou 450001， China)

The paper studied the self-adaptive synchronization between diffrent fractional order chaos systems with uncertain parameters using sliding mode approach based on fractional order systems theory. We gave the sufficient conditions for fractional order uncertain systems realizing sliding mode chaos synchronization. And we gave the strict proof, the study illustrated that ,The fractional-order uncertain sytsems is sliding mode chaos synchronization under certain conditions.Numerical simulations example of chaotic system verify the correctness of the proposed method.

fractional order systems; chaos synchronization ; self-adaptive

國家自然科學(xué)青年基金項目(NSFC11501525)；河南省科技廳軟科學(xué)項目(142400411192)資助 Supported by National Nature Science Project of Young(11501525)；Project of Science and Technology Soft Science of Henan Proveince(142400411192)

2015-09-21；

2016-03-21

毛北行 (1976-)，男，副教授，碩士，研究方向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與混沌同步。E-mail：bxmao329@163.com

O482.4

A

1672-5174(2017)07-149-04

10.16441/j.cnki.hdxb.20150399

毛北行， 李巧利. 分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)混沌同步[J].中國海洋大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2017, 47(7):149-152.

MAO Bei-Xing，LI Qao-Li.Chaos synchronization between different fractional order systems with uncertain parameters[J].Periodical of Ocean University of China, 2017, 47(7):149-152.