陳筱
摘 要:介紹了數學建模與博弈論的基本定義,并給出一個數學建模中的實例,介紹了博弈論在數學建模中的應用,并給出了不完全信息靜態(tài)博弈的理論。
關鍵詞:數學建模;博弈論;靜態(tài)
一、數學建模與博弈論
(一)數學建模
按通俗意義講是通過生活中的實際問題建立相應的數學模型去解決各種問題,但數學建模并不是生活中所有解決問題方法的代名詞,它是運用適當的數學理論以及工具找尋問題原型中的內在規(guī)律,建立一個數學方程或模型去解決求解并得到最優(yōu)結果。數學建模理論中需要用到的基礎學科例如圖論、線性代數、概率與統計等等,這都是常見的數學學科。但在實際應用或比賽中,很多問題的綜合性與抽象性使得數學這門理論學科在應用方面顯得格外艱難,很多案例都不能具體直觀的建立模型,特別是對于非數學專業(yè)的學生來說,他們只學過高等數學、概率論等基礎理論,另外的運籌學與優(yōu)化問題、泛函分析等專業(yè)數學知識并未涉及。另一方面,數學專業(yè)的學生對其他應用專業(yè)的認知和涉及也是非常淺的,即便數學專業(yè)理論知識很扎實,也不能很好的與其他學科結合應用,這樣就造成了數學建模的短板,所以數學建模需要綜合許多應用學科和專業(yè)型人才結合應用。近年來,越來越多的前沿科學與數學建模交叉應用,比如神經網絡算法、小波分析、圖像處理、博弈理論等等,這樣數學建模才可以廣泛被應用于各類生活問題中。
(二)博弈論
博弈論是由游戲規(guī)則理論演變而來的,在我們日常生活中隨處可見的棋牌、彩票等各種不同類型的游戲中,當然我們也可以將博弈論看作是一個游戲的原型理論,但不管是哪種形式的游戲都有一個相似之處,也就是游戲中參與者選擇的策略方式,我們都知道在任何游戲中,計謀是最重要的,語氣說游戲是看概率的大小或運氣的好壞,還不如說是選擇計謀的好壞。在許多軍事策略和市場經濟中,所謂的競選和談判都和游戲相似,都是需要依賴提前選好優(yōu)化的策略和方式才可能有較好的結果。博弈論分為合作博弈與非合作博弈,在現代更多地方提到的是非合作博弈,并且合作博弈與非合作博弈是互斥的,二者只能存在其一,至于合作博弈與非合作博弈在本文中就不再詳細作介紹。在非合作博弈中又分為:完全信息靜態(tài)博弈、完全信息動態(tài)博弈、不完全信息靜態(tài)博弈、不完全信息動態(tài)博弈。在任何一個博弈活動中,除了具備滿足博弈過程的四個條件以外,還要具備能有利用數學建模等專業(yè)知識對其進行分析的先前條件。
二、博弈論在數學建模中的應用
在許多的數學建模問題中,雖然有不少設計博弈論的實際問題,但大部分都展示的不夠直觀,解題者不能從問題中清晰的了解其問題指向性,這就更加需要學生多學習數學建模與博弈論的相關理論。舉一個數學建模中的經典實例:
問題提出:某人帶狗、羊以及蔬菜渡河,一小船除需人劃外,每次只能載一物過河.而人不在場時,狗要吃羊,羊要吃菜,問此人應如何過河?此問題可化為狀態(tài)轉移問題,用四維向量來表示狀態(tài),當一物在此岸時相應分量取為1,而在彼岸時則取為0,第一分量代表人,第二分量代表狗,第三分量代表羊,第四分量代表菜。根據題意,井不是所有狀態(tài)都是可取的.通過窮舉法列出來,可取狀態(tài)是:
總共有十個可取狀態(tài).
模型求解:引入一個四維轉移向量,用它來反映擺渡情況.用1表示過河,0表示未過河. 此狀態(tài)只有四個允許轉移向量:(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)規(guī)定狀態(tài)向量與轉移向量之間的運算為0+0=1,1+0=1,0+1=1,1+1=0問題化為,由初始狀態(tài)(1,1,1,1)出發(fā),經過奇數次上述運算轉移為狀態(tài)(0,0,0,0)的轉移過程。
則可得兩種等優(yōu)方案
這是一個重復的博弈問題,通過重復的博弈來說明在數學建模的過程中可供選擇的方案是多樣的,重點就在于選擇最優(yōu)的策略方案解決具體問題,運用博弈理論的建模案例有很多,本文就不一一詳盡??傊?,數學建模需要用到的專業(yè)知識太多,我們應該不斷學習與進步。
參考文獻:
[1]姜啟源.數學模型[M].第三版.北京:高等教育出版社,2003.
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