◎董愛君 徐大舉

(山東交通學(xué)院，山東 濟(jì)南 250357)

柱殼法求解旋轉(zhuǎn)體體積

◎董愛君 徐大舉

(山東交通學(xué)院，山東 濟(jì)南 250357)

柱殼法在求解旋轉(zhuǎn)體體積中具有重要應(yīng)用，它不僅適用于旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸平行的直線的情形，對于旋轉(zhuǎn)軸為任意斜直線時(shí)，也同樣適用，本文對于后者進(jìn)行了討論.

柱殼法；旋轉(zhuǎn)體；軸型區(qū)域

柱殼法是一種重要的求解旋轉(zhuǎn)體體積的方法，下面，我們來研究旋轉(zhuǎn)軸為斜直線的情況，為了方便，給出如下定義.

定義1 軸型區(qū)域：如果一個(gè)平面區(qū)域D滿足以下兩個(gè)條件：(1)平行于旋轉(zhuǎn)軸的直線l穿過區(qū)域D時(shí)，直線l與區(qū)域D的邊界至多有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)區(qū)域D的其中一條邊界為垂直于旋轉(zhuǎn)軸的直線上的線段，則稱它為軸型區(qū)域.

ΔV=πd2h-πd′2h

舉例如下：

圖2

例1 求由直線L1：x+y=1，直線L2：x-y=1及直線L3：x+2y=2所圍成的區(qū)域(圖2陰影部分)繞直線L2：x-y=1旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積.

圖3

例2 求由直線L1：x+y=1，直線L2：x-y=1及圓弧L3：x2+y2=1所圍成的區(qū)域(圖3陰影部分)繞直線L2：x-y=1旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積.

可得A=1，B=-1，C=-1，D=1，且|Bx-Ay+D|=|-x-y+1|=x+y-1.從而，