【摘要】積分計(jì)算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，如何進(jìn)行積分計(jì)算，教學(xué)過(guò)程中對(duì)每一類(lèi)積分都給出了相應(yīng)的計(jì)算方法。然而有些積分的被積函數(shù)和積分區(qū)域比較復(fù)雜，計(jì)算起來(lái)比較困難，甚至有些積分采用常規(guī)的方法無(wú)法計(jì)算。對(duì)稱(chēng)性是積分計(jì)算中經(jīng)常采用的積分技巧，可以把問(wèn)題簡(jiǎn)單化，減少計(jì)算量。對(duì)具有一定特性的被積函數(shù)和積分區(qū)域，對(duì)稱(chēng)性可以展現(xiàn)出高效快捷的計(jì)算優(yōu)勢(shì)。

【關(guān)鍵詞】對(duì)稱(chēng)性 積分

【中圖分類(lèi)號(hào)】O172.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）09-0031-02

積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，內(nèi)容包括二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分[1，2]。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，對(duì)每一類(lèi)積分都羅列出很多種計(jì)算方法。每一類(lèi)積分計(jì)算都有很多的難點(diǎn)，想要真正的掌握并非易事，并且各種積分之間的相互轉(zhuǎn)化就更為復(fù)雜。然而在積分計(jì)算的過(guò)程中，有些積分的積分區(qū)域比較特殊（例如：積分區(qū)域具有對(duì)稱(chēng)性）或者被積函數(shù)具有奇偶性，這類(lèi)積分的計(jì)算運(yùn)用一定的技巧，可以省掉繁瑣的計(jì)算過(guò)程，從而達(dá)到簡(jiǎn)單、快捷、高效和準(zhǔn)確的目的。

一、定義

對(duì)稱(chēng)性主要是指積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性。二維平面上的區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)以及關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)。三維中是空間區(qū)域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)以及關(guān)于面y=x，z=x和y=z的對(duì)稱(chēng)。輪換對(duì)稱(chēng)性是對(duì)稱(chēng)性的一種特殊情況，二維上是關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，三維上是關(guān)于面y=x，z=x和y=z的對(duì)稱(chēng)。

定義1.1：坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)：

區(qū)域，對(duì)任意的（x，y）∈D，如果（x，-y）∈D，則區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；如果（-x，y）∈D，則區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。

定義1.2：坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)：

區(qū)域，對(duì)任意的（x，y，z）∈Ω，如果（x，y，-z）∈Ω，則區(qū)域Ω關(guān)于xoy面對(duì)稱(chēng)；如果（x，-y，z）∈Ω，則區(qū)域Ω關(guān)于xoz面對(duì)稱(chēng)；如果（-x，y，z）∈Ω，則區(qū)域Ω關(guān)于yoz面對(duì)稱(chēng)。

定義1.3：輪換對(duì)稱(chēng)性：

①區(qū)域，對(duì)任意的（x，y）∈D，如果（y，x）∈D，則區(qū)域D關(guān)于變量x，y具有輪換對(duì)稱(chēng)性。

②區(qū)域，對(duì)任意的（x，y，z）∈Ω，如果（z，x，y）∈Ω，（y，z，x）∈Ω，則區(qū)域Ω關(guān)于變量x，y，z具有輪換對(duì)稱(chēng)性[3]。

二、對(duì)稱(chēng)性在積分計(jì)算中的應(yīng)用

定理1：f（x，y）是有界閉區(qū)域D上的可積函數(shù)，如果閉區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則有

其中：。

定理3：f（x，y，z）是定義在閉區(qū)域Ω上的可積函數(shù)，如果區(qū)域Ω關(guān)于xoz面對(duì)稱(chēng)，則有

其中：。

例1.計(jì)算積分，其中

解：此題目中的被積函數(shù)比較復(fù)雜，如果采用常規(guī)的運(yùn)算方法，過(guò)程非常復(fù)雜，且難以得到正確的結(jié)果。如果注意到積分區(qū)域關(guān)于xoz面都對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)關(guān)于y是奇函數(shù)，根據(jù)定理3則有：原式=0。

定理4：f（x，y，z）是定義在曲面∑上的可積函數(shù)，如果曲面∑關(guān)于xoz面對(duì)稱(chēng)，則有

其中：。

例2.設(shè)有向曲面，方向取上側(cè)，計(jì)算曲面積分

① ② ③

解：積分區(qū)域關(guān)于xoz面和yoz面對(duì)稱(chēng)，然而這些都是第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算，但是可以通過(guò)兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算。曲面的法向量，方向余弦分別為，，，r=a，則有

①，②，

③，其中

三、輪換對(duì)稱(chēng)性在積分計(jì)算中的應(yīng)用

定理5：f（x，y）是有界閉區(qū)域D上的可積函數(shù)，如果區(qū)域D關(guān)于變量x，y具有輪換對(duì)稱(chēng)性，則有

①，

②，當(dāng)f（x，y）=-f（y，x），

，當(dāng)f（x，y）=f（y，x），其中D1是D位于直線y=x的下半部分。

例3.計(jì)算，其中D：0≤x≤a；0≤y≤a。

解：積分區(qū)域關(guān)于變量x，y具有輪換對(duì)稱(chēng)性，被積函數(shù)f（x，y）=f（y，x），令D1是D位于直線y=x的下半部分，采用極坐標(biāo)計(jì)算則有：原式

。

定理7：f（x，y，z）是定義在空間光滑（或分段光滑）的曲線L上、閉區(qū)域Ω上以及曲面∑上的可積函數(shù)，如果曲線L、閉區(qū)域Ω以及曲面∑關(guān)于變量x，y，z具有輪換對(duì)稱(chēng)性，則有

①，

②，

③。

例4.計(jì)算積分，其中L為球面x2+y2+z2=a2被平面x+y+z=0所截的圓周。

解：此積分計(jì)算，如果采用第一類(lèi)曲線積分的常用方法：統(tǒng)一變量、化為定積分、積分限從小到大，計(jì)算起來(lái)過(guò)程就比較繁瑣。如果注意到積分曲線是過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓，曲線關(guān)于變量x，y，z具有輪換對(duì)稱(chēng)性以及被積函數(shù)的特殊性，則有，于是：原式=。

四、結(jié)語(yǔ)

對(duì)稱(chēng)性在高等數(shù)學(xué)積分計(jì)算中確實(shí)起到了化繁為簡(jiǎn)、減少計(jì)算量的作用。但是在運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性的過(guò)程中一定注意積分區(qū)域的是如何對(duì)稱(chēng)的以及被積函數(shù)是關(guān)于哪一個(gè)變量具有奇偶性，積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性要配對(duì)，兩者同時(shí)滿足才能利用定理。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]張興永，楊宏晨，等.高等數(shù)學(xué)（第二版）[M].煤炭工業(yè)出版社，2014.

[3]秦勇.輪換對(duì)稱(chēng)性在積分中的應(yīng)用[J].常州工學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，28（3）：62-65.

作者簡(jiǎn)介：

劉記川 性別：男 出生年月：1982年9月 研究方向：偏微分方程反問(wèn)題數(shù)值解。