賈強(qiáng) 孫梅

摘 要：以非線性動(dòng)力學(xué)中典型的洛侖茲系統(tǒng)與埃農(nóng)映射為例，通過(guò)引入各類不同的非線性，構(gòu)造出更多有趣的混沌系統(tǒng)。利用基于MATLAB的數(shù)值仿真，進(jìn)一步驗(yàn)證了本方法的有效性。該方法寓教于樂(lè)，有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的興趣，同時(shí)為混沌應(yīng)用提供更多的混沌模型。

關(guān)鍵詞：混沌；MATLAB；洛侖茲系統(tǒng)；埃農(nóng)映射；仿真

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2017）23-0015-03

Abstract： Taking two chaotic prototypes in nonlinear dynamics， the Lorenz system and Hénon map， as examples， this work constructs diverse interesting chaotic models by introducing different nonlinearity functions. The numerical simulations based on MATLAB software further demonstrate the validity of our proposed techniques. It is conducive to the enhancement of the students' interest and presents more chaotic models for the application of chaos as well.

Keywords： Chaos； MATLAB； Lorenz system； Henon map； simulation

非線性動(dòng)力學(xué)是一門(mén)面向高年級(jí)本科生和研究生的重要課程，在數(shù)學(xué)、物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程等多個(gè)學(xué)科的建模與分析中具有重要應(yīng)用。大多數(shù)非線性動(dòng)力學(xué)教材中，混沌的數(shù)學(xué)概念抽象而復(fù)雜，大多工科專業(yè)的學(xué)生難以理解。即便是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，要理解混沌的真正定義也并非易事。因而，在實(shí)際應(yīng)用中用數(shù)學(xué)方法判斷是否存在混沌現(xiàn)象非常困難。

隨著數(shù)值算法的發(fā)展，基于軟件的數(shù)值仿真為判斷混沌提供了有力工具，同時(shí)為研究非線性模型并探究混沌現(xiàn)象提供了極大方便[1]。本文將枯燥的數(shù)學(xué)課程與計(jì)算機(jī)仿真相結(jié)合，寓教于樂(lè)，使學(xué)生真正參與課堂教學(xué)。著名非線性科學(xué)學(xué)者陳關(guān)榮教授曾撰文指出，若一個(gè)非線性系統(tǒng)的解有界，但不收斂也不發(fā)散，則該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)[2]。這意味著混沌系統(tǒng)一定具有混沌吸引子，其解為相空間中既不收斂到某點(diǎn)也不趨于無(wú)窮的雜亂曲線。依據(jù)這一特點(diǎn)，本文從非線性動(dòng)力學(xué)常見(jiàn)的混沌模型出發(fā)，通過(guò)對(duì)不同非線性因素進(jìn)行建模，引入非線性函數(shù)，構(gòu)建新的混沌系統(tǒng)；同時(shí)利用軟件MATLAB對(duì)新系統(tǒng)進(jìn)行仿真，驗(yàn)證其混沌行為。通過(guò)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，提升學(xué)生動(dòng)手能力，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與分析問(wèn)題的能力；同時(shí)還提出更多新穎的混沌系統(tǒng)，為研究混沌理論及混沌應(yīng)用提供更多的數(shù)學(xué)模型。

盡管已有不少關(guān)于混沌系統(tǒng)仿真的論文[3]，但通常只考慮經(jīng)典的連續(xù)混沌系統(tǒng)，如洛侖茲系統(tǒng)[2]等，這些系統(tǒng)多為多項(xiàng)式函數(shù)，仿真也較簡(jiǎn)單。但很多實(shí)際工程問(wèn)題可能包含更復(fù)雜的非線性，如時(shí)變參數(shù)、狀態(tài)延遲或分段線性等。這些常見(jiàn)混沌系統(tǒng)卻不能刻畫(huà)這些復(fù)雜情形。一個(gè)有意義的問(wèn)題是，這些非線性因素會(huì)對(duì)已有模型的動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生何種影響，而現(xiàn)有研究對(duì)該問(wèn)題的關(guān)注卻非常少。

本文將對(duì)該問(wèn)題展開(kāi)分析，對(duì)實(shí)際問(wèn)題中不同的非線性因素進(jìn)行建模，并將這些非線性引入常見(jiàn)混沌系統(tǒng)，利用MATLAB軟件對(duì)所得新系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真。研究表明，所得新系統(tǒng)仍可能具有混沌行為。因此本文所提出的思想與新模型都值得關(guān)注。

一、實(shí)例（一）時(shí)變洛侖茲系統(tǒng)

洛侖茲系統(tǒng)是美國(guó)氣象學(xué)家洛侖茲教授于十九世紀(jì)六十年代建立的大氣對(duì)流模型，可用如下微分方程組表示

其中a，b，c，d為參數(shù)。給定某些參數(shù)，如a=10，c=28，b=■，d=1，該系統(tǒng)具有混沌解，意指其數(shù)值解在相空間為一個(gè)蝴蝶形狀的吸引子，如文獻(xiàn)[3]所研究的情況。但在很多實(shí)際問(wèn)題中，由于外界的干擾，系統(tǒng)的參數(shù)并非恒定不變的。時(shí)變參數(shù)更能刻畫(huà)系統(tǒng)的真實(shí)動(dòng)力學(xué)。若假定原系統(tǒng)的參數(shù)d隨時(shí)間變化，令參數(shù)d為時(shí)變函數(shù)d（t）=1+3sin2（t），可得到一個(gè)新混沌系統(tǒng)。利用MATLAB中的ode45命令求解所得時(shí)變微分方程，得到系統(tǒng)具有圖1所示混沌吸引子。與原系統(tǒng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，新系統(tǒng)的解軌道更加復(fù)雜。事實(shí)上，引入時(shí)變參數(shù)可使得系統(tǒng)的維數(shù)由三變?yōu)椋瑘D1中的三維圖形為時(shí)變洛侖茲系統(tǒng)的吸引子在三維空間的投影，因而更加復(fù)雜。

二、實(shí)例（二）含分段線性的時(shí)變洛侖茲系統(tǒng)

關(guān)于混沌的最新研究發(fā)現(xiàn)，混沌系統(tǒng)中的某些非線性項(xiàng)可利用分段線性函數(shù)進(jìn)行替換，而由此得到的新系統(tǒng)仍具有原系統(tǒng)的混沌特性。文獻(xiàn)[4]表明，用分段線性函數(shù)替換一個(gè)四維超混沌系統(tǒng)中的某些交叉乘積項(xiàng)，所得的新系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單，但其動(dòng)力學(xué)依舊具有混沌行為。該方案對(duì)于簡(jiǎn)化混沌電路的設(shè)計(jì)以及分析非線性系統(tǒng)的性質(zhì)等問(wèn)題具有重要價(jià)值。

下面將該方法應(yīng)用于實(shí)例（一）中的時(shí)變洛侖茲系統(tǒng)中，用簡(jiǎn)單的符號(hào)函數(shù)替換第三個(gè)方程中乘積項(xiàng)的變量y，得到如下含有分段線性函數(shù)的系統(tǒng)。

由于該系統(tǒng)的符號(hào)函數(shù)sgn（y）只取正號(hào)或負(fù)號(hào)，原時(shí)變洛侖茲系統(tǒng)第三個(gè)方程中的狀態(tài)乘積項(xiàng)簡(jiǎn)化為線性項(xiàng) +x或-x，而所得新系統(tǒng)仍處于混沌狀態(tài)。利用MATLAB進(jìn)行仿真，用函數(shù)sign（y） 即可實(shí)現(xiàn)該分段線性函數(shù)，系統(tǒng)的混沌吸引子如圖2所示。由此可見(jiàn)，新系統(tǒng)仍具有混沌動(dòng)力學(xué)。

三、實(shí)例（三）延遲洛侖茲系統(tǒng)

延遲現(xiàn)象廣泛存在于各類工程問(wèn)題，在系統(tǒng)建模中不可忽略。本文考慮如下具有延遲效應(yīng)的洛侖茲系統(tǒng)

現(xiàn)有研究已表明，當(dāng)c=20，d=1，？子=0時(shí)，洛侖茲系統(tǒng)具有穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。在實(shí)際問(wèn)題中，由于復(fù)雜環(huán)境的干擾或特意設(shè)計(jì)，系統(tǒng)中可能出現(xiàn)某個(gè)狀態(tài)的延遲。為了刻畫(huà)這一問(wèn)題，建立上述含有延遲項(xiàng)的方程組，即第三個(gè)方程右邊的狀態(tài)x具有延遲，由此得到一個(gè)新的延遲系統(tǒng)。事實(shí)上，若系統(tǒng)沒(méi)有延遲，在前述參數(shù)下，系統(tǒng)具有穩(wěn)定解，即從任意的初始條件出發(fā)，系統(tǒng)的解將收斂到某個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。新系統(tǒng)中由于存在狀態(tài)延遲，其解不再收斂到平衡點(diǎn)，而是表現(xiàn)為混沌吸引子。數(shù)值仿真表明存在很多延遲值，確保系統(tǒng)出現(xiàn)混沌行為。利用MATLAB中的dde23命令，求解上述具有常數(shù)延遲的微分方程組。上述延遲洛侖茲系統(tǒng)當(dāng)？子=0.05時(shí)的混沌吸引子如圖3所示。根據(jù)泛函微分方程理論可知，該延遲系統(tǒng)為含時(shí)滯的泛函微分方程，實(shí)為一個(gè)無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)比原系統(tǒng)更加復(fù)雜。該例說(shuō)明，在很多實(shí)際問(wèn)題中，延遲現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響不可忽略，需要具體問(wèn)題具體分析。

四、實(shí)例（四）含雙曲函數(shù)的洛侖茲系統(tǒng)

值得說(shuō)明的是，除了符號(hào)函數(shù)外，其他很多復(fù)雜的函數(shù)如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等都可用于構(gòu)造混沌系統(tǒng)，而且這些函數(shù)都可用電子電路進(jìn)行硬件實(shí)現(xiàn)。本例將雙曲正弦函數(shù)應(yīng)用于洛侖茲系統(tǒng)，得到如下的新混沌系統(tǒng)。

由圖4可知，該系統(tǒng)的吸引子與以上各系統(tǒng)的吸引子具有不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，但仍為混沌吸引子。

通過(guò)以上多個(gè)實(shí)例我們知道，洛侖茲系統(tǒng)在引入不同的非線性因素后，仍可能具有混沌現(xiàn)象。這表明對(duì)實(shí)際問(wèn)題中的非線性因素進(jìn)行建模，可能得出不同的混沌系統(tǒng)。雖然這些新系統(tǒng)與原系統(tǒng)在數(shù)學(xué)形式上有所不同，但都具備相同的混沌特性。

以上針對(duì)洛侖茲系統(tǒng)的討論與推廣有助于學(xué)生理解混沌系統(tǒng)的概念與性質(zhì)，同時(shí)也引發(fā)他們對(duì)本門(mén)課程的強(qiáng)烈興趣。進(jìn)一步研究表明，其他常見(jiàn)混沌系統(tǒng)也可進(jìn)行類似的推廣，得到有趣的混沌模型。下面將對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)中的另一著名混沌系統(tǒng)——埃農(nóng)映射進(jìn)行討論。

五、實(shí)例（五）時(shí)變埃農(nóng)映射

前面幾個(gè)實(shí)例考慮了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其解為相空間的連續(xù)雜亂曲線。本例考慮著名的二維離散混沌系統(tǒng)——埃農(nóng)映射，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中a，b為參數(shù)。當(dāng)a=1.4，b=0.3時(shí)，該映射具有月牙形的混沌吸引子。這里考慮用時(shí)變參數(shù)an=1.1+0.1sin（n）代換原參數(shù)a，得到一個(gè)新的埃農(nóng)映射，其每步迭代中參數(shù)值與迭代次數(shù)有關(guān)。利用MATLAB中的for循環(huán)，易得該時(shí)變映射的混沌吸引子如圖5所示?？梢?jiàn)新系統(tǒng)的吸引子與原系統(tǒng)的吸引子形狀類似，但其邊界更加模糊，表明由于時(shí)變參數(shù)的存在，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜。

六、實(shí)例（六）分段線性的埃農(nóng)映射

類似于例（二）的方法，我們考慮在埃農(nóng)映射中引入不同的分段線性函數(shù)，如絕對(duì)值函數(shù)，進(jìn)而得到如下的分段線性模型

該分段線性映射中不含高次項(xiàng)，形式更簡(jiǎn)單。用MATLAB進(jìn)行仿真，可得新映射系統(tǒng)在同樣參數(shù)下仍具有混沌吸引子。該吸引子與原系統(tǒng)的吸引子相比，在相空間占有較小的區(qū)域，卻沒(méi)有任何周期現(xiàn)象，如圖6所示。

本文的討論與推廣混沌系統(tǒng)的方法為非線性動(dòng)力學(xué)課程的教學(xué)與研究提供了新思路，方便在課堂教學(xué)中加以利用，用于鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手建模，并利用數(shù)學(xué)軟件對(duì)混沌系統(tǒng)的性質(zhì)進(jìn)行分析。這無(wú)疑有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)非線性動(dòng)力學(xué)課程的興趣，并培養(yǎng)他們分析非線性系統(tǒng)的能力；同時(shí)本文也給出多個(gè)新的混沌系統(tǒng)，為混沌的理論與應(yīng)用提供了借鑒。

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