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        最短路徑問題研究

        2017-05-26 07:35:02唐娟娟
        讀與寫·上旬刊 2017年5期
        關(guān)鍵詞:牧馬人營地軸對稱

        唐娟娟

        中圖分類號:G633.7文獻(xiàn)標(biāo)識碼:B文章編號:1672-1578(2017)05-0179-01

        最短路徑問題來源于現(xiàn)實生活,初中階段,主要以"兩點之間,線段最短""垂線段最短"為知識基礎(chǔ),有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進行研究。

        本節(jié)課以實際生活問題為載體開展對"最短路徑問題"的課題研究,讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,利用軸對稱再把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題,并運用"兩點之間線段最短"(或"三角形兩邊之和大于第三邊")解決問題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化的過程和轉(zhuǎn)化思想。

        基于以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)重點:利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題,也即"兩點之間,線段最短"問題。能運用軸對稱解決簡單的最短路徑問題,體會圖形的變化在解決最值問題中的作用。

        達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志是:學(xué)生能將實際問題中的"地點""燃?xì)夤艿?"河"等抽象為數(shù)學(xué)中的"點""線",并能理解實際問題的數(shù)學(xué)含義,把實際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題;能利用軸對稱將直線同側(cè)的點轉(zhuǎn)化到直線直線異側(cè),運用"兩點之間,線段最短"解決路徑最短問題;在探索最短路徑的過程中,體會軸對稱的"橋梁"作用,感悟轉(zhuǎn)化思想。

        解答"當(dāng)點A、B在直線l的同側(cè)時,如何在直線l上找到點C,使AC與CB的和最小",需要將其轉(zhuǎn)化為"在直線l異側(cè)兩點的線段和最小值問題",為什么需要這樣轉(zhuǎn)化、怎樣通過軸對稱實現(xiàn)轉(zhuǎn)化,一些學(xué)生在理解和操作上存在困難。

        活動1如圖,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個泵站,分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣,泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短?你的理由是什么?

        追問,為什么這樣做就能得到最短距離呢?你如何驗證CA+CB最短呢?

        設(shè)計意圖:學(xué)生根據(jù)"兩點之間,線段最短"解決兩點在直線異側(cè)的問題,為下面解決兩點在直線同側(cè)問題做鋪墊。

        活動2還是上面的問題,若此時A、B兩鎮(zhèn)位于輸氣管道的同側(cè)如圖所示,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個泵站,分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣,泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短?

        追問1,你能用所學(xué)的知識證明此時AC+BC是最小的嗎?

        追問2,對比下活動一,你能找到兩個問題的相同點與不同點嗎?你有什么啟示?

        設(shè)計意圖:學(xué)生比較兩種不同的最短路徑問題,總結(jié)解決兩種最短路徑問題的方法,體會轉(zhuǎn)化的思想。

        這兩個例題取材于我們的實際生活,體現(xiàn)數(shù)學(xué)運用于生活。此處我們遇到的一個難點是如何證明AC+BC最小,學(xué)生小組間討論得出在l上任取異于C點的點,再根據(jù)"三角形任意兩邊之和大于第三邊"來進行證明。

        感悟探究1、如圖,牧馬人從A地出發(fā),到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地。牧馬人到河邊的什么地方飲馬,可使所走的路徑最短?

        2、如圖所示,M、N是△ABC邊AB與AC上兩點,在BC邊上求作一點P,使△PMN的周長最小。

        3、如圖,已知牧馬營地在P處,每天牧馬人要從營地出發(fā)趕著馬群先到河邊飲水,再帶到草地吃草,然后回到營地,請你替牧馬人設(shè)計出最短的放牧路線。

        4、如圖,已知牧馬營地在P處,牧馬人從A地出發(fā)要趕著馬群先到河邊飲水,再帶到草地吃草,然后回到營地,請你替牧馬人設(shè)計出最短的放牧路線。

        本節(jié)課的講授,我們以輸氣管道問題為主線貫穿始終,做了兩類變形,即"兩點在直線異側(cè)"和"兩點在直線同側(cè)"的最短路徑問題,以前者為基礎(chǔ)和鋪墊解決了后者問題,并進一步解決了課本例題。在練習(xí)設(shè)置上,從鞏固到變式,從直接的最短路徑問題到需要用相同方法解決的問題,從單純的數(shù)學(xué)問題到實際生活的情景,從"兩點一線"問題進一步到"一點兩線"、"兩點兩線"問題,如此不斷的變化鞏固,不斷的拓展發(fā)散,使得學(xué)生的思維真正得到激發(fā)。

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