丁國忠

【摘要】數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的培養(yǎng)，以及發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力的發(fā)展，需要在具體的教學過程中加以落實，前提是對教材編寫意圖的準確把握。“利用圓設計美麗的圖案”是修訂后的人教版小學數(shù)學教材中新增的內容，意在使學生通過深度參與數(shù)學探究活動，深入理解數(shù)學本質，提高數(shù)學學習興趣。在教學這一內容時，要準確理解教材編寫的這一意圖，精心設計教學過程，創(chuàng)設有意義的真實情境，喚起學生的探究欲望，層層分析，剝繭抽絲，完整地經歷問題解決的過程。在此過程中，使學生對“圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小”有更深刻的理解，并產生進一步探索數(shù)學世界的愿望，實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的真正提升。

【關鍵詞】理解 意圖 設計 過程 圓 圖案

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“數(shù)學教學活動，特別是課堂教學應激發(fā)學生興趣，調動學生的積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維……”“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是數(shù)學學習的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。”數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的培養(yǎng)，以及發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力的發(fā)展，只有在具體的教學過程中才能得以落實。修訂后的人教版小學數(shù)學教材非常重視通過相關的數(shù)學活動實現(xiàn)夯實“四基”、發(fā)展“四能”的教學目標。本文試以“利用圓設計美麗的圖案”這一數(shù)學活動為例，談一談如何在準確理解教材編寫意圖的基礎上，精心設計教學過程，使學生深度參與數(shù)學探究活動，深入理解數(shù)學本質，切實提高數(shù)學學習的興趣。

一、準確理解教材意圖

“利用圓設計美麗的圖案”是在學生認識了圓、了解了圓的特征之后新增的一個數(shù)學活動。

關于“圓的認識”的編排，在本次教材修訂時，我們進行了大膽的嘗試。首先，呈現(xiàn)生活中各種圓的實例。接下來，與實驗教材相似，修訂后的教材依然安排了畫圓的環(huán)節(jié)，所不同的是在這一環(huán)節(jié)中增加了用圓規(guī)畫圓的內容（在過去，用圓規(guī)畫圓一般是在認識圓的特征之后單獨學習）。這樣調整，一方面是由于大多數(shù)學生已經具備了用圓規(guī)畫圓的生活經驗，教材編排應充分考慮學生的認知起點；另一方面，通過用圓規(guī)畫圓來引出圓心、半徑、直徑等概念，更能反映圓“一中同長”的本質特點。關于圓的特征的認識，由于在前面的“軸對稱”單元中已經涉及圓的對稱性，因此在本單元不再重復描述；同時，考慮到圓心與半徑是體現(xiàn)圓的本質特征的兩個要素，因此增加了“圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小”這一特征，從圓的解析式（x-a）2+（y-b）2=r2可以看到，一旦一個圓的圓心和半徑確定了，這個圓也就唯一地確定了。

用圓可以設計許多漂亮的圖案，下面的圖形就是用圓規(guī)和直尺一步一步畫出來的。

請你試著用圓規(guī)和直尺畫一畫下面的圖形。

在此基礎上，教材新編了“利用圓設計美麗的圖案”的數(shù)學活動（如上圖）。教材按兩個層次進行編排：第一層次，方法示范。教材提供了一個相對簡單的花瓣圖案，并詳細展示了如何利用圓規(guī)和直尺一步一步畫出這個圖案的過程，使學生掌握利用圓繪制給定圖案的基本方法，并在此過程中深刻體會“圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小”這一特征。第二層次，自主嘗試。教材提供了兩個稍復雜的圖案，要求學生自己嘗試畫出來。為了降低學生的探索難度，教材特意給出了相關輔助線，給學生以簡單的提示和引導。

對于圓這一大自然中最“和諧”的幾何圖形，圓本身以及利用圓設計出來的各種圖案都能給人以很美的視覺感受，因此，利用圓設計圖案有利于學生進一步欣賞數(shù)學之美。此外，以“設計圖案”的真實需求代替生硬灌輸，通過參與數(shù)學活動，使學生更深刻地體會到“圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小”的特征，潤物細無聲。這樣的活動，對于幫助學生學會透過現(xiàn)象看本質，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的探究意識和能力，更是大有裨益。

二、精心設計教學過程

在準確理解了教材的編寫意圖后，在進行教學設計時，可以緊扣以下目標：

第一，關注數(shù)學本質。使學生在利用圓規(guī)和直尺繪制給定圖案的過程中，對“圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小”有更深刻的理解。

第二，經歷數(shù)學探究。在作圖過程中，使學生提高觀察、操作的能力，發(fā)展分析問題、解決問題的能力，豐富數(shù)學活動經驗。

第三，感受數(shù)學之美。使學生學會欣賞數(shù)學的美，提高利用圓進行圖案設計和創(chuàng)作的興趣和能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學學習情感。

在實施教學時，既可以遵照教材的編排順序，第一課時教學“圓的認識”，第二課時教學“利用圓設計圖案”，這樣設計，只是將設計圖案這一活動定位于第一課時知識的鞏固與應用。也可以采用更大膽的設計方案：直接從研究“如何設計一個花瓣圖案”這一大問題入手，對本小節(jié)內容進行整體性設計，第一課時解決“圖案外部的大圓”的問題，第二課時解決“圖案內部的四個半圓”的問題。在這樣的設計思路下，所有知識的學習都是在特定的任務驅動下展開，而不是“為學而學”，更能體現(xiàn)“問題解決”的教學思想。兩種設計方案各有特點，可視具體學情靈活采用，本文不重點展開討論。

如果只聚焦于“利用圓設計美麗的圖案”本身，在進行教學設計時可遵循由簡單到復雜層層推進、詳略有別、收放有度的原則。

1.簡單圖案的繪制

這一環(huán)節(jié)，以繪制比較簡單的花瓣圖案為載體，使學生大致掌握繪制給定圖案的基本方法。

教學時，可從教材上呈現(xiàn)的花瓣圖案直接導入。筆者也一直苦于沒有找到這一圖案的生活原型，直到某次出差，很偶然地在南寧濱湖路小學的校園里見到了與教材上一模一樣的圖案（如下圖）。若能以這樣一個自然、真實的情境導入，一定更能激發(fā)學生的探究興趣。

在呈現(xiàn)這樣的實際情境以后，可讓學生思考：這個圖案是怎樣畫出來的？先讓學生嘗試自行解決。也許，大部分學生在探究過程中會遇到困難，但真正的探究應該讓學生有機會遭遇這樣的障礙。有了障礙，才能產生問題，有了問題，才能產生思考，接下來的探究過程才會真正有效。

在學生遇到困難、產生探究欲望后，師生再以“問題串”的形式，共同探索解決這個問題的基本思路：在這個漂亮的花瓣圖案中，你看到了哪些幾何圖形？遇到的主要困難是什么？如果看不太清楚的話，把顏色去掉是不是更明顯一些？（根據(jù)學生回答，課件演示去掉顏色的過程，使學生發(fā)現(xiàn)圖案外面是一個大圓，里面的四個“花瓣”是由四個小的半圓組成的）大圓好畫嗎？（在紙上確定了圓心和半徑就可以畫出來）這四個半圓能任意畫嗎？要畫出它們，需要知道什么？它們的圓心和半徑該怎樣確定？（引導學生添加輔助線，依次連接四個半圓與大圓的四個交點，找到四個半圓的直徑；通過測量相關線段的長度，就可以找到圓心和半徑）假設已經畫出了大圓，在大圓上怎樣找到這四個點呢？（引導學生通過觀察、思考，發(fā)現(xiàn)這四個點形成的圖形是一個正方形，把這個正方形的對角線連起來，正好是大圓的一對互相垂直的直徑）

以上的分析過程可用下圖表示：

把圖案分解、還原的思路分析清楚后，再來思考如何繪制出這個圖案。繪制的過程恰好就是以上分析過程的逆向操作：先確定好圓心、半徑，畫出一個大圓。再畫出大圓的一組互相垂直的直徑，這兩條直徑和大圓有四個交點，把這四個交點依次連接起來，再以這四條線段分別為直徑畫出四個半圓。最后，把這些輔助的線段擦去，并涂上自己喜歡的顏色，就形成了一個漂亮的花瓣圖案。這一環(huán)節(jié)可以讓學生自主完成。

接下來，通過交流反饋，引導學生回顧整個探究過程，整理思路。（1）分析：先去掉顏色的干擾，找出組成圖案的基本圖形，并發(fā)現(xiàn)這些基本圖形之間的關系（圓心的位置、半徑的大?。?；再通過添加輔助線等手段找到畫出基本圖形的方法。（2）繪制：對分析的過程進行倒推，先一步一步畫出基本圖形，形成圖案的輪廓，再在相應部分涂上自己喜歡的顏色。

最后，可以引導學生把涂好顏色的作品進行交流、展示，讓學生看到，盡管大家繪制的圖案大小、顏色不同，但分析與繪制的方法是一致的，圖案中大、小圓之間的關系也是一致的。

2.稍復雜的圖案的繪制

與第一環(huán)節(jié)相比，這一環(huán)節(jié)可體現(xiàn)更大的開放性，放手讓學生自主探索?；镜姆治鲞^程如下圖：

3.欣賞與拓展

一堂好的數(shù)學課，下課鈴響不應是學習活動的結束，而應該是新的學習活動的開始。本活動中，只是繪制了相對簡單的圖案，而且是繪制給定的圖案。在學生掌握了基本的分析方法后，可引導學生將課內所學進行更多的拓展性應用。例如，課后可由教師提供，也可由學生自行上網(wǎng)找到更多與圓相關的美麗圖案（如下圖）進行欣賞，并嘗試著繪制一下。

除此之外，還可進一步發(fā)揮學生的創(chuàng)造性，激發(fā)學生自由創(chuàng)作的愿望，在創(chuàng)作中領略數(shù)學之美。即使是已經畫過的圖案，也可體現(xiàn)更大的開放性：涂色方法不同，效果也迥異。例如，教材上最后一個圖案，還可涂畫出更多類似于下圖的作品。

以下是一些學生自由創(chuàng)作的作品：

由此可見，只要給學生充分的自由探究的時間和空間，他們會還以更大的驚喜?；蛟S，某些學生會因為這一數(shù)學活動而愛上數(shù)學、愛上設計，而在數(shù)學和藝術的道路上走得很遠，這也是我們在修訂教材時新編這一活動的一個更高、更遠的期望。從這個意義上講，把這一數(shù)學活動做成一個“綜合與實踐”的生動案例，是完全有可能的。甚至，還可將本活動的實施作為一個契機，在班內、年級內開展一次圖案設計大賽，真正實現(xiàn)課程的融合。

在以上教學活動中，學生通過動腦、動口、動手，完成了一次將數(shù)學應用于藝術設計的探究之旅。在這一過程中，“四基”“四能”得以真正落地生根、發(fā)芽：學生不僅鞏固了“圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小”這一基礎知識，提高了測量、畫圓等基本技能，更為重要的是，進一步理解和掌握了抽象、推理、審美等數(shù)學思想，積累了更加豐富的數(shù)學活動經驗。

眼下，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)成為數(shù)學教育和教學的重要任務，相關的理論研究與討論非常熱烈。筆者認為，學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，不是一句空泛的口號，需要在每一個實實在在的教學活動中加以落實。正如馬云鵬老師所指出的：“數(shù)學核心內容是培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的載體?！薄皩W生的有效參與是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的重要途徑?！薄吧疃忍骄渴前l(fā)展核心素養(yǎng)的關鍵?！痹跀?shù)學教學中，只有創(chuàng)設真實而有意義的情境，才能使學生真正學會“用數(shù)學的眼光觀察世界”；只有讓學生深度參與數(shù)學探究的全過程，才能使學生真正學會“用數(shù)學的思維分析世界”；只有引領學生將數(shù)學應用于現(xiàn)實世界，才能使學生真正學會“用數(shù)學的語言表達世界”。

【參考文獻】

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