徐怡悅，吳在軍，王 洋，竇曉波，胡敏強(qiáng)

（東南大學(xué) 電氣工程學(xué)院，江蘇 南京 210096）

0 引言

隨著可再生能源需求的增長(zhǎng)，光伏發(fā)電發(fā)展迅猛［1］，在電力系統(tǒng)中所占比例越來(lái)越大，其對(duì)電力系統(tǒng)規(guī)劃、仿真、調(diào)度和控制的影響也引起極大關(guān)注［2］。由于易受天氣等因素影響［3］，光伏輸出功率具有隨機(jī)特性，其概率分布特性對(duì)分布式電源的規(guī)劃、運(yùn)行及可靠性分析具有重要的指導(dǎo)意義［4］。

目前，對(duì)于光伏電源輸出功率概率分布特性的分析主要分為兩大類，即參數(shù)分析方法和非參數(shù)分析方法。參數(shù)分析方法需先假定光伏電源輸出功率或影響光伏輸出功率的主要因素滿足某些已知分布，再通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)求取分布函數(shù)的參數(shù)信息。文獻(xiàn)［5］假定光伏電池板輸出功率服從正態(tài)分布，結(jié)合輻照度的Beta分布、溫度與光伏輸出功率之間的線性函數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)得到了同時(shí)考慮輻照度與溫度的概率模型。文獻(xiàn)［6］根據(jù)光伏輸出功率的歷史數(shù)據(jù)，分別基于 Normal、Weibull、Gamma分布進(jìn)行了概率建模，但未計(jì)算模型誤差，無(wú)法判斷模型的準(zhǔn)確度。文獻(xiàn)［7］運(yùn)用古典概率獲得輻射度、傾斜度、集電極輸出等預(yù)期值，將晴朗系數(shù)和散射系數(shù)作為隨機(jī)變量進(jìn)行分析和仿真。這種假設(shè)光伏電源輸出功率、輻照度或散射系數(shù)等服從某種參數(shù)分布的方法盡管較為簡(jiǎn)單，但缺乏靈活性，在參數(shù)的選取上帶有主觀性，存在模型的設(shè)定偏差。其次，現(xiàn)有研究表明單一的參數(shù)分布不具有普遍適用性，光伏輸出功率受諸多因素的影響［4］。

參數(shù)估計(jì)要求密度函數(shù)已經(jīng)具有某種特定的數(shù)學(xué)形式且只包含少量未知參數(shù)，而非參數(shù)分析方法無(wú)需對(duì)光伏電源輸出功率特性作任何先驗(yàn)假設(shè)，完全通過(guò)歷史數(shù)據(jù)挖掘數(shù)據(jù)的分布特征，從而避免了模型分布形式選擇不當(dāng)帶來(lái)的誤差［8］，具有更好的適用性和穩(wěn)健性。非參數(shù)估計(jì)中運(yùn)用較為廣泛的核密度估計(jì)模型，該模型的核心問(wèn)題在于最優(yōu)帶寬h的求取。文獻(xiàn)［9］采用窮舉法求得積分均方誤差最小時(shí)的h。文獻(xiàn)［10］將積分均方誤差作為目標(biāo)函數(shù)，在求目標(biāo)函數(shù)最小的基礎(chǔ)上加上擬合優(yōu)度檢驗(yàn)作為約束條件求得最優(yōu)帶寬?，F(xiàn)有的研究表明，核密度估計(jì)對(duì)于光伏輸出功率的估計(jì)有一定的正確性，但對(duì)模型進(jìn)行不同的誤差分析將得到不同的h，目前尚未有統(tǒng)一的計(jì)算帶寬值的方法，也無(wú)法保證計(jì)算方法的適用性。

本文提出了一種基于正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)的光伏輸出功率非參數(shù)估計(jì)方法，無(wú)需假定數(shù)學(xué)模型，完全根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析?；诜菂?shù)正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)理論建立光伏電源輸出功率的概率模型，其無(wú)需考慮帶寬值的選取，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單、速度快；同時(shí)，利用南昌和嘉興兩地區(qū)的歷史實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，依據(jù)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和誤差分析對(duì)模型進(jìn)行了評(píng)估，驗(yàn)證了模型的正確性和普適性。

1 光伏電源的正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)

1.1 正交級(jí)數(shù)理論

設(shè)x是屬于實(shí)數(shù)集R上的隨機(jī)變量，若其概率密度函數(shù) f（x）在區(qū)間［a，b］上滿足 f∈L2（a，b），即（L2是滿足左式的一個(gè)空間表達(dá)，除非另外說(shuō)明，否則假定 a=0、b=1）［11］，則 f（x）可以表示成正交級(jí)數(shù)的形式，為：

其中，φj（x）稱為 L2（a，b）的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。 對(duì)任意f∈L2（a，b），φj（x）滿足如下條件：

a.對(duì)于所有的 j，φj（x）滿足（即標(biāo)準(zhǔn)化）；

b. 對(duì)于 i≠j，有（即正交）；

c.在序列 φ1、φ2、… 中，與每個(gè) φj都正交的函數(shù)為零函數(shù)。

基的系數(shù)βj表示為：

通常的基函數(shù)有Hermite基、Laguerre基、余弦基?；倪x擇主要依賴于密度的支撐［12］。一般情況下，當(dāng) f（x）的支撐是（－∞，∞）或（0，∞）時(shí)，使用Hermite 基和 Laguerre 基；如果 f（x）具有緊支撐，可以選取余弦基。 本文中，f（x）具有緊支撐［Pmin，Pmax］（Pmax、Pmin分別為光伏輸出的最大、最小有功功率），故選擇余弦基作為標(biāo)準(zhǔn)正交基［12］。

1.2 基于正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)的光伏電源概率模型

設(shè)某光伏電源的輸出功率 P∈［Pmin，Pmax］為一定義在實(shí)數(shù)集上的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f（P），P1、P2、…、Pn是來(lái)自 P的獨(dú)立同分布 IID（Independent and Identically Distributed）樣本，其中n為樣本數(shù)。顯然 P 滿足 f∈L2（Pmin，Pmax）。 將 P 投影到區(qū)間［0，1］上可得隨機(jī)變量 p=（P-Pmin）／（Pmax-Pmin），其概率密度函數(shù) g（p）滿足 g∈L2（0，1），p1、p2、…、pn為來(lái)自 p 的IID樣本。則p的概率密度函數(shù)可以寫成如下形式：

對(duì)于 g∈L2（0，1）選擇余弦基做密度估計(jì)，即則因此 βj的無(wú)偏估計(jì)為：

根據(jù)式（1）—（4），定義 g（p）的正交級(jí)數(shù)估計(jì)如式（5）所示［11］。

其中，為收縮系數(shù)。本文采用截?cái)喙烙?jì)法選擇收縮系數(shù)，取為示性函數(shù) I（若 j≤J，則 I=1；否則 I=0），則可得到 g（p）的截?cái)喙烙?jì)為：

其中，J為取舍點(diǎn)。增加J將減小偏差但將增大方差，為了強(qiáng)調(diào)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)對(duì)于J的依賴，記風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)（J）如式（7）所示［11］。

其中，有（A）+=max（A，0）

選擇使（J）最小化時(shí)的J作為。最終，p的概率密度函數(shù)為：

2 正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)模型的檢驗(yàn)

2.1 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是用來(lái)檢驗(yàn)一類數(shù)據(jù)的分布是否與某種理論分布相一致。本文中利用其驗(yàn)證正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)模型是否能夠反映光伏電源輸出功率的隨機(jī)性、間歇性的特點(diǎn)。選取χ2檢驗(yàn)和K-S檢驗(yàn)這2種常見(jiàn)的檢驗(yàn)方法作為衡量指標(biāo)。

χ2檢驗(yàn)主要用于無(wú)序分類變量的統(tǒng)計(jì)推斷，判斷2個(gè)樣本率及構(gòu)成比之間的差別。設(shè)歸一化后的光伏電源輸出功率樣本數(shù)據(jù)為 p1、p2、…、pn，其概率分布為G0（p），將樣本數(shù)據(jù)劃分為k組沒(méi)有交集的數(shù)據(jù)，則 Pearson χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為［13］：

其中，vi為第 i個(gè)區(qū)間的觀察頻數(shù)；pi為 G0（p）在第 i個(gè)區(qū)間的理論概率值。

原假設(shè)H0：密度估計(jì)與光伏電源輸出功率分布沒(méi)有差別。計(jì)算得 χ2值，它表示觀測(cè)值與理論值的偏離程度。χ2的自由度為m-1，根據(jù)計(jì)算結(jié)果及自由度可以確定在H0成立的情況下當(dāng)前統(tǒng)計(jì)量的概率 P*。 給定置信水平 α 的條件下，當(dāng) χ2＜ χ2α，m-1時(shí)，P*＞ α，接受假設(shè) H0；反之，拒絕 H0，即觀測(cè)值與理論值存在較大誤差，正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)不適用。

χ2檢驗(yàn)的結(jié)果與分組情況有關(guān)，而分組方法帶有隨意性，會(huì)丟失一部分信息，特別對(duì)于在分組區(qū)間上有相同概率的不同分布，Pearson χ2檢驗(yàn)無(wú)法區(qū)分［13］。

為了解決上述問(wèn)題，本文引入一種典型的EDF（Empirical Distribution Function）檢驗(yàn)——K-S檢驗(yàn)，其通過(guò)描述G0和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Gn之間的差異充分反映樣本信息。通過(guò)K-S檢驗(yàn)的分布無(wú)關(guān)性，在一定程度上彌補(bǔ)了Pearsonχ2檢驗(yàn)的不足［14］。K-S檢驗(yàn)方法是將樣本數(shù)據(jù)的累計(jì)頻數(shù)分布與特定理論分布進(jìn)行比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本符合理論分布。將光伏輸出功率數(shù)據(jù)由小到大排序得p（1）≤p（2）≤…≤p（n），經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)如下：

理論分布與經(jīng)驗(yàn)累積分布之間的最大垂直差距Dn定義為：

Dn的值越小，代表2種分布之間的差異越小，即擬合程度越高。

在樣本容量及置信水平確定的情況下，查表或者根據(jù)公式可以得到相應(yīng)的值，稱為臨界值。用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值作比較，小于臨界值時(shí)表示通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，反之表示未通過(guò)。本文中，χ2檢驗(yàn)的臨界值通過(guò)查表得到，K-S檢驗(yàn)的臨界值根據(jù)公式（置信水平95%）計(jì)算得到。

2.2 誤差分析

擬合優(yōu)度用于檢驗(yàn)實(shí)際觀測(cè)值與理論值之間的差異，在確定密度估計(jì)函數(shù)后，需要對(duì)其進(jìn)行誤差分析以判斷準(zhǔn)確性。本文采用平均誤差百分?jǐn)?shù)MAPE（Mean Absolute Percentage Error）和均方根誤差 RMSE（Root Mean Squared Error）作為指標(biāo)。

其中分別為歸一化后的光伏電源輸出功率的正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)分布和直方圖在第r個(gè)區(qū)間的概率。

指標(biāo)值越小表示經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布之間的差異越小，說(shuō)明正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)模型與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)分布的差異越小。

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)說(shuō)明

利用江西南昌某地區(qū)典型季度的光伏出力實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)（采樣間隔為10 min）和浙江嘉興某地區(qū)半年的光伏電源實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)（采樣間隔為5 min）進(jìn)行仿真分析。經(jīng)緯度、日照時(shí)間和年均溫度都是影響光伏出力的因素，兩地的地理氣候信息如表1所示，可以通過(guò)其分析本文模型在不同光伏發(fā)電環(huán)境下對(duì)光伏電源輸出功率密度估計(jì)的適用性。

表1 南昌和嘉興兩地地理氣候信息Table 1 Geographic and climatic information of Nanchang and Jiaxing

3.2 與核密度估計(jì)方法的對(duì)比

（1）核密度估計(jì)帶寬選擇。

核密度估計(jì)主要是運(yùn)用一組觀測(cè)的且來(lái)自一個(gè)未知分布函數(shù)的隨機(jī)變量來(lái)估計(jì)其密度函數(shù)［15］。核密度估計(jì)法在光伏、風(fēng)力發(fā)電等領(lǐng)域已有廣泛使用。文獻(xiàn)［10］驗(yàn)證了核密度估計(jì)法的正確性，同時(shí)通過(guò)與Beta、Weibull等傳統(tǒng)模型的對(duì)比表明了該模型的擬合度更高，適用性更強(qiáng)。

核密度估計(jì)模型的關(guān)鍵問(wèn)題在于最優(yōu)帶寬h的選取。h值過(guò)大會(huì)造成密度曲線過(guò)于平滑，不能正確反映實(shí)際數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)；h值過(guò)小會(huì)導(dǎo)致密度曲線欠平滑、波動(dòng)大。帶寬h的選擇原理是使估計(jì)的模型與真實(shí)測(cè)量值最接近。然而帶寬的選擇不可能使核估計(jì)的偏差和方差同時(shí)減小，故需要在兩者之間做權(quán)衡［16］。

文獻(xiàn)［17］將漸進(jìn)積分均方差A(yù)MISE（Asymptotic Mean Integrated Squared Error）作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最小化的優(yōu)化運(yùn)算（簡(jiǎn)稱方法1），通過(guò)求導(dǎo)得到帶寬h的表達(dá)式為：h=0.9 min（樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本四分位距 ／1.34）n－1／5。

文獻(xiàn)［10］通過(guò)選取正態(tài)分布 N（0，1）和 N（0，4）2種不同的核函數(shù)（簡(jiǎn)稱方法2），使兩者均方積分誤差最小，加上 χ2檢驗(yàn)和K-S檢驗(yàn)作為約束條件求得帶寬值，再求兩者的平均值作為總體密度的核估計(jì)的 h，即：

其中，分別為核密度估計(jì)模型的 χ2、K-S 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量；分別為 χ2、K-S 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的門檻值。基于不同誤差分析將得到不同的h。

（2）擬合優(yōu)度檢驗(yàn)對(duì)比。

本文采用正交級(jí)數(shù)估計(jì)和以上2種核密度估計(jì)方法對(duì)模型進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。

選取南昌3月和嘉興半年的光伏實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，用3種方法得到的概率密度曲線分別如圖1、圖2所示。圖中，p為正則化后的光伏電源輸出功率（標(biāo)幺值）。

由圖1可以看出：在取一個(gè)月光伏數(shù)據(jù)的前提下，本文方法和方法2的密度曲線都可以做到兼顧模型的擬合優(yōu)度和曲線的平滑度，而方法1的曲線過(guò)于平滑，無(wú)法反映光伏輸出功率的多峰性；在前2個(gè)峰值處，本文方法的擬合程度最高，較之方法2更好地反映了峰值特性。

圖1 南昌3月份數(shù)據(jù)的概率密度曲線Fig．1 Probability density curve based on data of March of Nanchang

圖2 嘉興半年數(shù)據(jù)的概率密度曲線Fig．2 Probability density curve based on data of half year of Jiaxing

圖2中，選取嘉興地區(qū)半年的光伏實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)量增加時(shí)，方法2和本文方法的概率密度曲線基本重合，都能夠滿足擬合優(yōu)度的要求，體現(xiàn)多峰性。結(jié)合圖1、圖2可以看出，方法1的概率密度曲線總體形狀相似，適用于單峰值性的光伏數(shù)據(jù)擬合，本文方法和方法2的偏離程度小，與直方圖無(wú)顯著差異，對(duì)于具有多峰性的數(shù)據(jù)同樣適用。

從圖1、圖2中可以大致看出擬合效果，下文通過(guò) χ2和K-S檢驗(yàn)具體說(shuō)明模型給定的理論分布是否可以刻畫實(shí)際數(shù)據(jù)的分布情況。

3種密度估計(jì)方法的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果（α=0.05）如表2所示。由表可見(jiàn)：方法1的2項(xiàng)指標(biāo)均大于臨界值，該模型得出的分布不能正確反映實(shí)際分布；本文方法和方法2的檢驗(yàn)結(jié)果均滿足要求，驗(yàn)證了模型的正確性。在全年的4個(gè)典型月份中，本文模型得到的檢驗(yàn)結(jié)果都是最優(yōu)的，說(shuō)明模型在不同的時(shí)間段內(nèi)都具有一定的適應(yīng)度。以南昌3月的數(shù)據(jù)為例，方法1、方法2的 χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別是本文方法的548倍和55倍；K-S檢驗(yàn)結(jié)果分別是本文方法的8.33倍和3.37倍。嘉興數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)結(jié)果顯示，當(dāng)數(shù)據(jù)量增大時(shí)，3種模型的K-S檢驗(yàn)維持在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的值，本文方法和方法2的χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量增幅較小，方法1的 χ2值則有明顯增加。此時(shí)，核密度估計(jì)和正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)可以保持良好的穩(wěn)定性，同時(shí)不影響理論分布的準(zhǔn)確性，具有良好的模擬精度和模擬效果。

表2 3種密度估計(jì)方法的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果Table 2 Results of fitting goodness test for three density estimation methods

正交級(jí)數(shù)和核密度估計(jì)法都依賴于大量的歷史數(shù)據(jù)，無(wú)需對(duì)模型進(jìn)行任何假設(shè)，通過(guò)計(jì)算得出參數(shù)的值，但是正交級(jí)數(shù)模型無(wú)需考慮帶寬值的選取問(wèn)題。帶寬值作為核密度估計(jì)的核心，文獻(xiàn)［10］采用內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行計(jì)算。由式（14）可知，當(dāng)數(shù)據(jù)量增大時(shí)，所需的計(jì)算時(shí)間更多。本文仿真程序均在MATLAB R2014a環(huán)境下編寫，測(cè)試計(jì)算機(jī)硬件環(huán)境為英特爾四核i5－2310 CPU、8GB內(nèi)存，操作系統(tǒng)為Windows7 64 bit。正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)的計(jì)算時(shí)間總共為1～2 s，核密度估計(jì)在帶寬值給定的前提下所需時(shí)間也為1～2 s，但是計(jì)算帶寬值的時(shí)間在分鐘級(jí)，所以核密度估計(jì)的整體所用時(shí)間大于正交級(jí)數(shù)估計(jì)。

通過(guò)檢驗(yàn)結(jié)果和仿真驗(yàn)證了本文模型的普遍適用性和良好的穩(wěn)定性。正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)與核密度估計(jì)相比，最大的優(yōu)點(diǎn)在于不需要計(jì)算帶寬值，簡(jiǎn)化了計(jì)算量，同時(shí)避免了不同誤差分析帶來(lái)的不同結(jié)果，減少了估計(jì)值的不確定因素。

（3）誤差分析對(duì)比。

通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)確定了模型的可用性，實(shí)際應(yīng)用中還需要對(duì)其進(jìn)行誤差分析以判斷得到的擬合曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)分布之間的差異。以上文中提及的MAPE和RMSE作為指標(biāo)，對(duì)南昌和嘉興的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果如表3所示。

表3 3種密度估計(jì)方法的誤差分析Table 3 Results of error analysis for three density estimation methods

由表3可以看出，在單個(gè)月份的誤差分析中，本文所提的正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)模型在各項(xiàng)分析中的誤差均為最?。篗APE在1%以內(nèi)，RMSE在0.002以內(nèi)。隨著數(shù)據(jù)量的增大，該模型的RMSE減小，MAPE也在2%以內(nèi)，體現(xiàn)了其穩(wěn)定性。對(duì)照表2、表3可以看出，在嘉興數(shù)據(jù)的分析過(guò)程中，核密度法與正交級(jí)數(shù)法的結(jié)果極為接近，說(shuō)明兩者都能夠適應(yīng)大數(shù)據(jù)量的計(jì)算，而本文方法的計(jì)算速度更具優(yōu)勢(shì)。通過(guò)誤差分析，說(shuō)明本文模型與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的差異最小，再次驗(yàn)證了正交級(jí)數(shù)模型的準(zhǔn)確性和有效性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于正交級(jí)數(shù)密度估計(jì)理論建立光伏電源輸出功率的概率模型，避免了核密度估計(jì)模型中帶寬值的計(jì)算，并根據(jù)南昌和嘉興兩地的光伏實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了仿真分析。對(duì)比不同月份、不同地區(qū)和不同時(shí)間維度的仿真結(jié)果可知，本文所建模型能反映光伏電源的隨機(jī)特性，不受時(shí)間、空間環(huán)境的約束，且擬合精度高、穩(wěn)定性強(qiáng)、計(jì)算速度快、適用性廣。本文模型在光伏、風(fēng)力發(fā)電及負(fù)荷預(yù)測(cè)等方面都有研究?jī)r(jià)值。

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