江蘇省海門中學(226100) 汪香麗●

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探究轉化與化歸的思想在高中數(shù)學中的應用

江蘇省海門中學(226100)
汪香麗●

在高中數(shù)學中，我們常遇到一些這樣的問題，若要直接去解決會較為困難，但若通過對問題進行轉化、歸類就會簡單很多，這種解決問題的方法是高中數(shù)學的四大思想之一——轉化與化歸的思想方法.

在高考中，對轉化與化歸思想的考查，總是結合對演繹證明，運算推理模式構建等理性思維能力的考查進行，可以說高考中的每一道題，都離不開考查化歸意識和轉化能力，下面著重從五個方面來闡述高中數(shù)學應用中主要涉及的基本類型.

一、特殊與一般的轉化

一般也成立，特殊也成立.由特殊得到一般性的規(guī)律與結論，這種數(shù)學思想在高中數(shù)學中較為常見，這也正是化歸思想的體現(xiàn).

分析 根據(jù)題意，面積大小為定值，與點P的位置無關，故可取任意一點解決問題.

評注 在高考的填空題中，經常會遇到定值問題的計算，我們可以取特殊點，特殊的幾何圖形，特殊的位置等，將一般問題特殊化，使問題變得直接簡單，達到了事半功倍的效果.另外，在解析幾何中，經常也會遇到求定值、定點問題，我們利用特殊的情況先找到定點，可以鎖定目標，再加以證明，可以簡化問題.

2.數(shù)與形的轉化

數(shù)與形的結合在解決函數(shù)與方程的問題中應用較為廣泛.它包含了“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，借助形的直觀性來闡述數(shù)之間的聯(lián)系或借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡述形的某些屬性.

分析 方程f(x)=0的根的個數(shù)問題可轉化為函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點個數(shù)問題；或者通過分離參數(shù)轉化為研究兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)問題.

評注 數(shù)形結合更能快速抓住問題的本質，從而得到結果.在高考的填空題中，很多抽象的問題需要借助圖形去解.比如“超越不等式”恒成立問題，轉化為兩個函數(shù)圖象的上下位置關系來研究等.不過運用數(shù)形結合一定要對有關的函數(shù)圖象較為熟悉，否則錯誤的圖形會導致錯誤的結果.

三 等與不等的轉化

等與不等式解決數(shù)學問題中矛盾的兩個方面，但它們在一定的條件下可以轉化，例如有些問題，表面上只有不等的關系，但只要我們善于挖掘其中隱含的等量關系，可以達到解決問題的目的；而有些問題表面只有相等的數(shù)量關系，根據(jù)相等關系又難以解決,但若我們若能通過建立不等式或不等式組去解決，可以達到簡捷求解的效果.

分析 含絕對值函數(shù)最值問題，一般要么去掉絕對值符號，或者研究絕對值里面的函數(shù)，對于這道題選擇這兩種方法都有一定的困難.題目本質是一個不等式組恒成立問題，通過對變量進行賦值，從而達到從“不等”向“等”的轉化.

評注 兩邊夾是解決由不等到等的一個重要方法.利用等與不等的辯證關系，往往使問題得到有效解決.

3.正與反的轉化

在處理某些問題時，按照習慣思維方式從正面思考會遇到困難，甚至不可能時，用逆向思維去解決，往往能達到突破性的效果.

例4 設g(x)=3-x2，正實數(shù)a,b,c滿足ag(b)=bg(c)=cg(a)>0，證明a=b=c.

分析 題目中所給的條件，如果直接從正面入手，解出a,b,c，形式較復雜，很難達到解決問題的目的，這時可從反面入手，即假設a,b,c中至少有兩個不等.

解 假設a,b,c中有兩個不等，不妨設a≠b，由ag(b)=bg(c)=cg(a)>0即a(3-b2)=b(3-c2)=c(3-a2)>0.由a≠b則a>b或者ab則3-b2<3-c2?b>c，又因為b(3-c2)=c(3-a2),結合b>c可得3-c2<3-a2?c>a.綜上可得a>b>c>a，此式不可能成立.

②若a

評注 正難則反，求補集的轉化思想在高中數(shù)學中也體現(xiàn)得非常明顯.

4.平面與空間的轉化

利用分割、補形、折疊、展開、作輔助線等方法處理空間圖形或平面問題，將立體問題轉化為平面問題來求解或類比相關的結論，是解決立體幾何的常用方法.

例5 已知正三棱錐S-ABC的側棱長為2，側面等腰三角形的頂角為30°，過底面頂角A作截面AMN分別交側棱SB,SC于點M,N，則△AMN周長的最小值為多少？

分析 平面內的兩點間的距離最短.在求三棱錐中兩點間的最短距離，利用展開圖的方法，也是把立體問題化歸為平面問題的重要依據(jù).

評注 展開圖就是將空間圖形展開攤平成一個平面圖形，能使空間圖形中一些不易觀察的幾何體元素之間的數(shù)量關系在平面圖形中顯而易見.另外，在計算幾何體體積時或點到平面的距離時，常常用到割補或等積轉化或轉移等手法，從而達到化歸的目的.

轉化與化歸的主要特點是它的靈活多樣，它的關鍵在于確定化歸的方向與目標，通過對問題進行變形，不斷改變問題形態(tài)的過程.通常在遇到一些陌生的問題時，要充分聯(lián)想自己已知的問題，是否有與這一問題類似的情形，就是從不熟悉中尋找熟悉的因素，從而找到解決問題的突破口.此外，我們在用轉化思想解決問題時，還要注意以下幾個方面：(1)選擇恰當化歸目標，保證化歸的有效性.明確的目標，且要選擇好方法是化歸思想能有效實施的重要保障.(2)注意問題轉化的等價性，要確保邏輯正確.在實施轉化過程中，要做到命題的等價轉換或代數(shù)式的同解變形，才能解決問題.(3)注意轉化的不唯一性，我們解題時常常一題多解，如何在有限時間內選擇最優(yōu)的方法去解決問題，需要長期的積累和總結.

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