齊 榮，蔣 威

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

無限分布時(shí)滯型微分系統(tǒng)的可控性

齊 榮，蔣 威

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

利用拉普拉斯變換和基礎(chǔ)解的方法, 研究了帶有無限分布時(shí)滯型退化微分系統(tǒng)可控性的問題, 通過建立系統(tǒng)三個(gè)可控性的充分必要條件得出結(jié)論，最后由具體例子對(duì)結(jié)論進(jìn)行了論證。

無限分布時(shí)滯; 退化系統(tǒng); 拉普拉斯變換；可控性

0 引 言

近些年, 關(guān)于退化微分系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性的研究十分廣泛。系統(tǒng)可控性也越來越多的應(yīng)用在了生物、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)和科學(xué)等領(lǐng)域。文獻(xiàn)[1]介紹的是關(guān)于退化系統(tǒng)的可控性,文獻(xiàn)[2]介紹的是關(guān)于帶有控制時(shí)滯的退化系統(tǒng),文獻(xiàn)[3]介紹一系列非線性時(shí)滯系統(tǒng)的可控性。而關(guān)于帶有無限分布時(shí)滯型微分系統(tǒng)的控制性少有研究。

考慮如下帶有無限分布時(shí)滯型退化微分系統(tǒng)：

(1)

其中x(t)∈Rn狀態(tài)變量，u(t)∈Rm控制矩陣，A,B,E是n次常數(shù)矩陣且矩陣E≠0，φ(t)是一個(gè)連續(xù)的初始函數(shù)。

定義1 若|sE-A| 不等于0,則系統(tǒng)(1)是正則的。

引理1 存在兩個(gè)非退化的矩陣Q和P, 使得正則系統(tǒng)(1)等價(jià)于

(2)

(3)

可利用如下等價(jià)變換得到：

c1=∫-∞tφ1(r)dr,c2=∫-∞tφ2(r)dr,N∈Rn2×n2

是冪零矩陣，h是N的指數(shù)，系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(3)分別稱為快系統(tǒng)和慢系統(tǒng)。[4]

1 可控性

本節(jié)研究關(guān)于帶有無限分布時(shí)滯型退化系統(tǒng)的一些基本定義和引理，這部分主要參考文獻(xiàn)[5-8]。

定義2 對(duì)于每個(gè)連續(xù)的初始函數(shù)φ(t), 都存在控制變u(t)∈C[0,t],使得系統(tǒng)(1)的解滿足x(t1)=0,則系統(tǒng)(2)是可控的。

定義3[5]若X1(t)是系統(tǒng)(2)的基礎(chǔ)解,則X1(t)滿足:

(4)

引理2 系統(tǒng)(2)的解可表示為

(5)

證明 當(dāng)t>0時(shí)，我們有

因此x1(t)可表示為系統(tǒng)(2)的解。

F(λ)=∫0∞f(t)e-λtdt

那么函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換為：

L[f(t)]=F(λ)

引理 3[5]線性算子L[·] 有下列性質(zhì):

定理2 系統(tǒng)(3)的解可以表示為:

(6)

證明 對(duì)系統(tǒng)(3)左右兩邊同時(shí)進(jìn)行拉普拉斯變換,有:

由引理3:

有：

得出：

定理3 系統(tǒng)(2)在 [0,tf]上是可控的當(dāng)且僅當(dāng)矩陣

在tf∈(0,∞)是非退化的。

證明 充分性：

如果矩陣W[0,tf]是非退化的, 則W-1[0,tf]存在。將系統(tǒng)(2)中的控制變量u(t)寫成

由定理1,x1(tf)=0。因此系統(tǒng)(2)在[0,tf]是可控的。

必要性:

假定系統(tǒng)(2)是可控的,那么來證明矩W[0,tf]是非退化的。

如果W[0,tf]是退化的, 則存在非零元素z使得

(7)

那么有

(8)

對(duì)于所有s∈[0,tf],

z′X1(tf-s)B1=0

(9)

因?yàn)橄到y(tǒng)(2)是可控的,則存在控制輸出u1(t)和u2(t)

(10)

且

(11)

用(11)減去(10)有

(12)

在(12)的兩邊同時(shí)乘以z′,

(13)

(9)和(13)合并, 有z′z=0。則z=0, 但z是非零的數(shù), 則得出矛盾。

定理證明完畢。

定理 4 系統(tǒng)(3)在[0,tf]上是可控當(dāng)且僅當(dāng)rank(B2，NB2… ，Nh-1B2)=n2

證明 根據(jù)定理2，

定義ζ2為：

x2(t)減去ζ2則有：

(14)

因此對(duì)于ζ2(t)和φ2(t),存在控制變u(t)滿足系統(tǒng)(3)的充分必要條件是

rank[B2,NB2,···,Nh-1B2]=n2

定理證明完畢。

如果定義

=[B2,NB2,···,Nh-1B2],

[·] 代表取整, 可有如下結(jié)論。

定理 5 系統(tǒng)(1)是可控的當(dāng)且僅當(dāng) Rn= ⊕

證明 首先證明R(0,0)=⊕,其中R(0,0)代表在初始函數(shù)x(0)=0中的可達(dá)集。

由凱萊-哈密頓 定理, 存在ck(t)使得

因此

因此有R(0,0)?⊕

下面證明R(0,0)?⊕

(15)

根據(jù)定理 1, 存在z∈Rn1，

以及

因而有⊕?R(0,0),綜上R(0,0)=⊕。

如果系統(tǒng)(1)是可控的, 根據(jù)定義(2),對(duì)任意的

有Rn? ⊕。因此Rn= ⊕。

另一方面：

如果，Rn≤⊕。對(duì)于任意x∈Rn, 初始函數(shù)φ1(0),φ2(0)以及控制φ(0)，

那么:

定理證明完畢。

2 應(yīng)用舉例

例1 考慮系統(tǒng)

與系統(tǒng)(2)比較, 有

由定理3可得

則有矩陣W[0,1]是非退化的, 因此系統(tǒng) (2)是可控的。

例 2 考慮系統(tǒng)

(17)

與系統(tǒng)(3)進(jìn)行比較, 有

那么

根據(jù)定理(4), 系統(tǒng) (3)是可控的。

[1] Cobb D. Controllability, Observability, and Duality in Singular Systems[J]. IEEE Transactionson Automatic Control,1984, AC-29:1076- 1082.

[2] Jiang Wei. Song Wenzhong. Controllability of Singular Systems with Control Delay[J]. Automatica, 2001,37:1873- 1877.

[3] Alaviani S Sh. Controllability of a Class of Nonlinear Neutral Time- delay Systems[J]. Applied Mathematics and Computation,2014,232:1235- 1241.

[4] Dai L. Singular Control Systems[M]. Berlin, New York:Springer- Verlag,1989:36- 42.

[5] 蔣威. 退化、時(shí)滯微分系統(tǒng)[M]. 合肥：安徽大學(xué)出版社,1998：52- 55.

[6] 鄭祖庥. 泛函微分方程理論[M]. 合肥：安徽大學(xué)出版社,1994：60- 70.

[7] Ding Xiaoli. Controllability and Optimal of Linear Time- invariant Neutral Control Systems with Differential Fractional Orders[J]. Acta Mathematica Scientia,2015,35B(5):1003- 1013.

[責(zé)任編輯：張永軍]

Controllability of the Singular System with Infinite Distributed Delay

QI Rong, JIANG Wei

(School of Mathematical Sciences, Anhui University，Hefei 230601,China)

Using the method of Laplace transformation and fundamental solution,the controllability of the singular differential system with infinite distributed delay is considered. Three sufficient and necessary conditions for the controllability of system are established for the conclusion.At last particular examples are given to illustrate the ideal.

infinite distributed delay; singular systems; Laplace transformation; controllability

2016-12-04

2017-03-08

齊 榮(1992— )，女，安徽蚌埠人，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2014級(jí)碩士研究生；蔣 威(1959— )，男，安徽五河人，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，研究方向：泛函微分方程、控制理論和系統(tǒng)理論。

O175.21

A

2096-2371(2017)02-0005-07