魏 靜，葛世剛，倉(cāng)定幫

(華北科技學(xué)院 基礎(chǔ)部，北京 東燕郊 101601)

具有投資收益的多險(xiǎn)種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

魏 靜，葛世剛，倉(cāng)定幫

(華北科技學(xué)院 基礎(chǔ)部，北京 東燕郊 101601)

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上，考慮到投保集體的不同質(zhì)性，建立了保費(fèi)收取過(guò)程和理賠過(guò)程均為負(fù)二項(xiàng)過(guò)程、投資收益率為常數(shù)的多險(xiǎn)種隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型，通過(guò)分析盈利過(guò)程的性質(zhì)，得到終極破產(chǎn)概率的計(jì)算公式和破產(chǎn)概率上界的Lundberg不等式,特別地，給出了兩險(xiǎn)種時(shí)，保費(fèi)和理賠額服從指數(shù)分布下破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式。結(jié)果表明：在投資收益一定時(shí)，保險(xiǎn)公司增加用于投資的金額，可以降低破產(chǎn)概率，從而規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

多險(xiǎn)種；投資；負(fù)二項(xiàng)過(guò)程；指數(shù)分布；破產(chǎn)概率

0 引言

破產(chǎn)概率的研究一直是保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)研究的一大熱點(diǎn)，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型往往只考慮單一險(xiǎn)種的破產(chǎn)問(wèn)題，隨著保險(xiǎn)市場(chǎng)的多元化，保險(xiǎn)種類(lèi)的多樣化，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始對(duì)經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型從不同的角度進(jìn)行推廣，簡(jiǎn)而言之，近年的文獻(xiàn)主要從以下幾個(gè)方面對(duì)風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了推廣：(1)考慮兩種及以上的保險(xiǎn)種類(lèi)；(2)加入干擾項(xiàng)；(3)考慮利率的影響；(4)考慮退保的影響；(5)考慮投資收益。文獻(xiàn)[1-3]研究了兩險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率；文獻(xiàn)[4]對(duì)保費(fèi)收取服從不同的隨機(jī)過(guò)程的角度建立了多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了破產(chǎn)概率的計(jì)算公式；文獻(xiàn)[5]考慮了干擾條件下復(fù)合Poisson Geometric過(guò)程的多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率；文獻(xiàn)[6]將退保因素考慮進(jìn)來(lái)，建立了退保影響下的多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，通過(guò)分析盈余過(guò)程的性質(zhì)，得到了破產(chǎn)概率的表達(dá)式和破產(chǎn)上界；隨著保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)的多元化，保險(xiǎn)公司會(huì)考慮將一部分資金拿去做投資，投資就會(huì)有風(fēng)險(xiǎn)，考慮帶有投資收益的多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型則更為合乎實(shí)際，文獻(xiàn)[7-8]研究了帶投資收益的多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率。本文在以上的基礎(chǔ)上，考慮到在實(shí)際的風(fēng)險(xiǎn)中，保單的不同質(zhì)性，保費(fèi)收取的次數(shù)和理賠次數(shù)的期望和方差不一定相等，建立了保費(fèi)收取和賠付服從負(fù)二項(xiàng)過(guò)程、帶投資收益的多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，通過(guò)分析盈余過(guò)程的性質(zhì)，得到破產(chǎn)概率公式和破產(chǎn)上界的Lundberg不等式。

1 模型建立描述

在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，保費(fèi)收取和理賠次數(shù)的期望和方差不一定相等，考慮到保單的不同質(zhì)性，我們考慮投保次數(shù)和理賠次數(shù)均符合負(fù)二項(xiàng)過(guò)程，建立帶投資收益的多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型：

(1)

1)u:t=0時(shí)刻的盈余，即保險(xiǎn)公司的初始準(zhǔn)備金；

3)Xki：第k類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)第i次的保費(fèi)，i=1,2,…;k=1,2,…,n；

Mk(t):時(shí)刻t為止第k類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)收取的保費(fèi)次數(shù)，服從參數(shù)為(hk,pkX)的負(fù)二項(xiàng)分布；k=1,2,…,n

4)Yki：第k類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)第i次的理賠額，i=1,2,…;k=1,2,…,n；

Nk(t):第k類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)刻t為止的理賠次數(shù)，服從參數(shù)為(sk,pkY)的負(fù)二項(xiàng)分布；k=1,2,…,n；

5) {Mk(t):t≥0,k=1,2,…,n}，{Nk(t):t≥0,k=1,2,…,n}，

{Xki:k=1,2,…,n;i=1,2,…}，{Yki:k=1,2,…,n;i=1,2,…}相互獨(dú)立；

(2)

2 盈利特性分析

引理1：盈利過(guò)程{S(t),t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量。

證明：由負(fù)二項(xiàng)過(guò)程具有的平穩(wěn)獨(dú)立增量性及模型的獨(dú)立性假設(shè)即可得證[3]。

3 計(jì)算與論證

引理3：對(duì)于盈利過(guò)程{S(t),t≥0}，存在函數(shù)g(r)，使得E(e-rS(t))=etg(r)，并且方程g(r)=0在(0,r)上r≥0存在唯一正解R∈(0,r)，稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

則E(e-rS(t))=etg(r)得證。下證方程g(r)=0在(0,r)上r≥0存在唯一正解，由

定理：本文所建立的帶投資多險(xiǎn)種隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型

的最終破產(chǎn)概率為

證明：對(duì)于t>0和r>0，有

E[e-rU(t)]=e-ruE[e-rS(t)]，取r=R，則

E[e-RU(t)]=e-Ruetg(R)=e-Ru，故由條件期望公式有，

(3)

對(duì)于給定的T≤t，

U(t) =U(T)+U(t)-U(T)

下證(3)式右端第二項(xiàng)為0，令

(4)

由切比雪夫不等式，得

當(dāng)t→∞時(shí)，(4)式→0，故

特殊地，當(dāng)取n=2時(shí)，可以得到：

推論2：帶投資雙險(xiǎn)種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型中，若個(gè)體理賠額Y1i,Y2i(i=1,2,…)獨(dú)立同分布且分別服從參數(shù)為α1>0,α2>0的指數(shù)分布，收取的保費(fèi)X1i,X2i(i=1,2,…)獨(dú)立同分布且分別服從參數(shù)為β1>0,β2>0的指數(shù)分布，則最終破產(chǎn)概率為

其中R是方程

的唯一正解。

證明：設(shè)Z=Y1i+Y2i，其概率密度函數(shù)為fz(z)，由卷積公式可得

從而有

4 結(jié)論

本文考慮到保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)的多樣性，利用負(fù)二項(xiàng)分布期望和方差不相等的性質(zhì)，建立了帶投資的多險(xiǎn)種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型，對(duì)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了推廣：

1) 考慮了n個(gè)相互獨(dú)立的險(xiǎn)種，更具一般性；

2) 考慮到實(shí)際保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，保費(fèi)收取次數(shù)與理賠次數(shù)的期望和方差不一定相等，引入更加符合實(shí)際的負(fù)二項(xiàng)過(guò)程；

3) 為了提高經(jīng)營(yíng)的穩(wěn)健性，考慮了將資金進(jìn)行再投資，在投資收益率一定的情況下，增加投資金額，可以降低破產(chǎn)概率，這與實(shí)際相吻合。

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Ruin probability of multi-type compound negative binomial riskmodel with investment profit

WEI Jing, GE Shi-gang, CANG Ding-bang

(DepartmentofBasicCourses,NorthChinaInstituteofScienceandTechnology,Yanjiao,101601,China)

Based on classic risk model，considering the non homogeneity of the policyholders, a multiple stochastic risk model was established with negative binomial process for the premium collecting frequency and claim frequency and the rate of return on investment be constant. Through analyzing the properties of the profit process, it obtains the ultimate ruin probability and the Lundberg inequality formula of upper bound for ruin probability. In particularly, the exact expression of probability was obtained for two-type insurance with premiums and claims in exponential distribution. The results show that when the investment income is certain, the insurance company can reduce the ruin probability by increasing investment to avoid risks.

multi-type insurance; investment; negative binomial process; exponential distribution; ruin probability

2016-12-26

廊坊市科技局科學(xué)技術(shù)研究與發(fā)展計(jì)劃自籌經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目(2016011031, 2016011048,2016013113)

魏靜(1980-)，女，河北邢臺(tái)人，碩士，華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部講師，研究方向：風(fēng)險(xiǎn)分析。E-mail：weijing_jcb@ncist.edu.cn

O211.6

A

1672-7169(2017)01-0106-04