薛雪華

習(xí)題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型.習(xí)題教學(xué)，不應(yīng)僅關(guān)注于數(shù)學(xué)知識本身，還應(yīng)該滲透數(shù)學(xué)思想方法.習(xí)題教學(xué)，要注重學(xué)生解題能力與創(chuàng)新能力的提高.如何提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力？

一、引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成審視習(xí)題條件的習(xí)慣

良好的開始等于成功的一半.那么，良好的開始從何而來？良好的開始往往與學(xué)生的習(xí)慣高度相關(guān).在習(xí)題教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成審視習(xí)題條件的習(xí)慣.習(xí)題由題干和設(shè)問兩個部分組成.有些學(xué)生之所以感覺數(shù)學(xué)難，是因為其在解決數(shù)學(xué)習(xí)題時，不能審視題干中給出的“條件”.很多時候，教師在習(xí)題教學(xué)中將出現(xiàn)這種情況的原因歸咎為學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識不扎實.其實，學(xué)生的審題習(xí)慣和閱讀理解能力很重要.

例如，給定正整數(shù)n（n≥3），集合Un={1，2，3，…，n}.如果存在集合A、B、C同時滿足如下的三個條件：條件1：Un=A∪B∪C，A∩B=B∩C=A∩C=φ；條件2：集合A中的元素都為奇數(shù)，集合B中的元素都為偶數(shù)，所有能被3整除的數(shù)都在集合C中（集合C中還可以包含其他數(shù)）；條件3：集合A、B、C中各元素之和分別為SA、SB、SC，有SA=SB=SC.則稱集合Un為可分集合.求：（1）已知Un為可分集合，寫出相應(yīng)的一組滿足條件的集合A、B、C；（2）證明：若n是3的倍數(shù)，則Un為可分集合；（3）若Un為可分集合且n為奇數(shù)，求n的最小值.對于這道題，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從如下幾個視角進行審題，審視題干中所給的條件.視角1：題目中給出了三個條件，其中的已知與未知的根本不同是什么？這里的邏輯關(guān)系是什么？三個條件，應(yīng)該先滿足哪一個或哪兩個？這樣認為的根據(jù)是什么？視角2：對于集合問題的處理，要弄清分析集合問題的幾個維度，如元素關(guān)系，數(shù)量關(guān)系等.視角3：對于一個陌生問題的處理，我們可以從特殊到一般開始思考，選擇一些特殊的集合來加深對新定義的認識和理解.通過上述思考，題干中所給的條件就清晰了.條件1和條件2屬于定義性的條件，條件3反映了集合之間的數(shù)理關(guān)系.可以先使所要判斷的集合滿足條件1和2，接著再驗證條件3是否滿足.這樣分析，學(xué)生的問題解答才能流暢.

二、通過變式演練來提高能力

學(xué)生的學(xué)習(xí)不可能一蹴而就，尤其是理科學(xué)科的學(xué)習(xí)，需要反復(fù)與變化，發(fā)散學(xué)生思維的同時內(nèi)化認知，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和方法的理解.

例如，為了引導(dǎo)學(xué)生理解“分段函數(shù)”概念，教師可以設(shè)置如下習(xí)題，通過細微的變化設(shè)置任務(wù)，讓學(xué)生感受和理解概念.變式任務(wù)1：已知函數(shù)y=x，y=1x，y=x2，請你以這三個函數(shù)為“原材料”構(gòu)造分段函數(shù).變式任務(wù)2：已知函數(shù)y=x，y=1x，y=-1x，y=x2，請你以這四個函數(shù)為“原材料”構(gòu)造出單調(diào)遞增的分段函數(shù).變式任務(wù)3：已知函數(shù)y=x，y=-x，y=1x，y=-1x，y=x2，y=-x2，請你以這六個函數(shù)為“原材料”構(gòu)造出具有奇偶性的分段函數(shù).

設(shè)計意圖：從變式任務(wù)1到任務(wù)3，原材料不斷增加，繼而不斷地豐富分段函數(shù)的類型.在完成任務(wù)的過程中，學(xué)生有獨立思考，也有與他人的合作交流，最終歸納出分段函數(shù)的各種性質(zhì)、特點.

變式演練可以圍繞一個數(shù)學(xué)概念展開，也可以在學(xué)生已經(jīng)有了一種解題的方法和思維時，進一步變式演練，將學(xué)生的思維引向更全面、更嚴謹.

例如，在習(xí)題教學(xué)中，筆者和學(xué)生一起分析并解決了“2016年浙江理19”題（題略）后，接著進一步變式，通過對原命題的合理轉(zhuǎn)化，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的掌握.變式1：以橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點F（-c，0）為圓心，c為半徑的圓與橢圓的左準線交于不同的兩點，求該橢圓離心率的取值范圍.變式2：設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點，若橢圓上一點P滿足PF2=F1F2，以原點O為圓心，b為半徑作圓與直線PF1之間存在公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

設(shè)計意圖：通過這兩個變式，學(xué)生可以進一步掌握與理解“不同位置下橢圓弦長的變化規(guī)律”，對于“求離心率問題的一般方法”有深刻理解.

三、師生互動糾錯因

習(xí)題教學(xué)，不僅有例題和習(xí)題的呈現(xiàn)，還有學(xué)生問題的解答過程.為了提高學(xué)生解決問題的正確率，教師必須搞清楚是什么原因?qū)е铝藢W(xué)生的解題錯誤.學(xué)生出錯的原因有很多.在習(xí)題教學(xué)中，教師與學(xué)生積極互動，能有效消除出錯的病因.

例如，若x，y，z均為正實數(shù)，求xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

錯解：設(shè)u=xy+2yzx2+y2+z2=xy+2zy（xy）2+1+（zy）2，xy=a，zy=b，則a>0，b>0，u=a+2ba2+1+b2≤a+2b2ab+1.當且僅當a=b時取等號，所以u≤a+2b2ab+1=3a2a2+1=32a+1a≤322a·1a=322=324，當且僅當2a=1a，即a=22時取等號.綜上，當a=b=22時取等號，此時x=y=22z，得xy+2yzx2+y2+z2的最大值為324.

學(xué)生為什么會出現(xiàn)這樣的錯誤？筆者與學(xué)生交流后發(fā)現(xiàn)，有相當多做錯的學(xué)生是想著“將3個變量盡可能減少為2個變量”.這樣的錯誤，其實還是學(xué)生在解決問題的方法上出現(xiàn)了問題.在習(xí)題教學(xué)中，如果直接灌輸正確的方法，學(xué)生的印象難以深刻，下次遇到還是會出錯.在教學(xué)過程中，筆者放手讓學(xué)生相互討論、交流，讓他們充分意識到問題所在.發(fā)現(xiàn)出錯的原因：如果按照上面的方法，這樣的操作有無數(shù)種，每一種都能保證等號成立.這樣解答出來的結(jié)果就有無數(shù)種，顯然是錯的.究其原因，雖然兩次使用基本不等式時的等號都能取到，但第一次使用基本不等式時的等號僅是保證該不等式中的等號成立，卻并非使用基本不等式的“最佳搭配”方式，因此無法求出u的最大值.生成新的問題：最佳的搭配方式如何呢？這實際上是認識錯誤后，解題思路的再續(xù)，可以仍然回到錯解.錯解先考慮u=a+2ba2+1+b2中的a、b，沒有考慮1，解題過程中分了兩次運用基本不等式，應(yīng)該將a、b、1三者同時變形，僅運用一次基本不等式完成問題的求解.

四、深挖教材中的習(xí)題資源

隨著高考數(shù)學(xué)權(quán)重的增加，數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)容易跳入題海，給學(xué)生“刷題”.教材是課程專家組集體智慧的結(jié)晶，提供給教師用之不竭的教學(xué)資源，而且教材是數(shù)學(xué)高考命題重要的素材資源.要想提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，教師就要吃透教材，挖掘教材，發(fā)揮教材中例、習(xí)題的示范性作用，并在此基礎(chǔ)上進行必要的拓展與延伸，挖掘題目中蘊涵的教學(xué)功能，并加以運用.

總之，在教學(xué)中研究習(xí)題，能夠培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的解題能力.