楊浩天，汪立新，沈強

(火箭軍工程大學，陜西 西安 710025)

一種改進的三子樣劃槳誤差補償算法*

楊浩天，汪立新，沈強

(火箭軍工程大學，陜西 西安 710025)

針對在捷聯(lián)慣導系統(tǒng)速度更新的過程中，采用增量解算需要對劃槳誤差進行補償。提出一種利用已解算前兩個周期的角增量和速度增量的改進三子樣算法。首先,對劃槳誤差的產(chǎn)生機理進行簡要分析。根據(jù)誤差最小原則，推導出一組優(yōu)化系數(shù)，優(yōu)化算法相較于傳統(tǒng)算法在算法誤差上有明顯減少。通過仿真實驗證明了該方法的有效性，在導航誤差中，解算精度有所提高。

劃槳效應(yīng)；三子樣；誤差最小原則；速度更新；導航精度；捷聯(lián)慣導系統(tǒng)

0 引言

在捷聯(lián)慣導系統(tǒng)(strapdown inertial navigation system，SINS)中，陀螺儀和加速度計采用增量輸出的形式來降低噪聲對導航精度的影響，即：加速度計輸出為速度增量，陀螺儀輸出角增量，然而，在導航解算過程中，求解差分方程會引入算法誤差[1-2]。比如，當運載體同時作同頻同相的線振動和角振動時，在另一軸上會產(chǎn)生速度的整流量，這就是劃槳運動。因此，在速度更新過程中需要對劃槳效應(yīng)產(chǎn)生的誤差進行補償。

文獻[3]利用前周期子樣對圓錐誤差算法進行優(yōu)化，在不增加計算機負擔的情況下，提高了解算精度；文獻[4]對圓錐效應(yīng)引起的速度誤差進行了研究，詳細地推導了新的二子樣更新補償算法;文獻[5-6]分別利用對偶性原理對劃槳誤差進行了補償;文獻[7]對傳統(tǒng)劃槳誤差補償提出了一種新的表達形式；文獻[8]提出了一種優(yōu)化的圓錐誤差和劃槳誤差補償算法；文獻[9]采用二次迭代補償算法進行速度更新，并通過仿真實驗證明了方法的優(yōu)越性。文獻[10]詳細介紹了比力轉(zhuǎn)換積分中存在的劃船效應(yīng)，采用一種有效的修正方法對其進行補償；文獻[11-12]重新設(shè)計一整套導航算法，推導出新的速度更新算法補償劃槳效應(yīng)誤差；林玉榮等[13-14]分析了劃槳效應(yīng)產(chǎn)生的原因,確定了速度增量的補償方案，并且進行了定量的計算和推導。

相較于姿態(tài)解算中的圓錐誤差補償，在速度解算中劃槳誤差補償算法研究較少，本文通過兩者之間的對偶關(guān)系，提出利用已解算前2個周期的角增量和速度增量對劃槳誤差進行補償，推導出優(yōu)化補償系數(shù)。優(yōu)化算法的有效性通過仿真得以驗證。改進算法在算法誤差和導航精度上都有所改善。

1 劃槳效應(yīng)分析

取地理坐標系為導航坐標系，速度方程可定義為[1]

(1)

設(shè)更新周期為T ,在[tm-1,tm]時間段內(nèi)，對式(1)進行積分,得tm時刻運載體在導航坐標系的速度：

(2)

vm-1+Cm-1Δvsfm+Δvg/corm

(3)

式中：Δvg/corm是由有害加速度引起的速度補償量；Δvsfm是由比力引起的速度補償量，對該項進行詳細分析：

(4)

(5)

由于

(6)

將式(6)代入(4)中，有

(7)

式(7)中的第3項稱為速度的劃槳效應(yīng)補償項。

(8)

即當存在同頻同相的角振動和線振動時，會產(chǎn)生劃槳誤差。

2 改進的劃槳效應(yīng)補償算法

傳統(tǒng)補償算法的形式可以概括為[1]

Δvm(i)Δθm(j)],

(9)

式中：N為角增量和速度增量的子樣數(shù)。

文獻[15]中針對旋轉(zhuǎn)矢量法進行系統(tǒng)姿態(tài)解算時存在的圓錐誤差，提出了一種利用前M個周期輸出的N子樣通用補償算法。因此，本文提出一種利用已解算前2個周期的角增量和速度增量與當前時刻的值對劃槳誤差進行補償，其一般形式為

Δvm(i)Δθm(j)]+p(θm-1vm+vm-1θm)+

q(θm-2vm+vm-2θm),

(10)

式中：m為當前補償周期；p,q為補償系數(shù)。

本文以三子樣為例詳細推導改進的補償算法公式。

假設(shè)運載體做劃槳運動，角速度和比力分別為

(11)

式中：i和j分別為沿載體坐標系相應(yīng)軸的單位向量；B，C為振動幅值；Ω為運動頻率。

設(shè)Δvm(k)和Δθm(k+l)是速度更新周期[tm-1,tm]內(nèi)第k個速度增量和第k+l個角增量，由于僅考慮直流分量時

Δvm(k)Δθm(k+l)=Δθm(k)Δvm(k+l)=

(12)

則由式(10)可得改進算法補償公式:

“發(fā)源于白山黑水，最終成功統(tǒng)治著滿、漢、蒙、回、藏等諸多民族，擁有海棠葉形巨大版圖，古老中華帝國的終極形態(tài)。大清，它的內(nèi)在邏輯到底是什么呢？”詹尋一邊導入數(shù)據(jù)，一邊喃喃自語。

k2[Δθ(1)Δv(3)+Δv(1)Δθ(3)+

Δθ(2)Δv(3)+Δv(2)Δθ(3)]+p[θm-1vm+vm-1θm]+

q[θm-2vm+vm-2θm],

(13)

sinΩ(tm-1-T))(cosΩ(tm-1+T)-cosΩtm-1)+

(14)

僅考慮直流分量時，可得

(15)

將式(12),(15)代入(13)得

(16)

而在經(jīng)典運動下，劃槳效應(yīng)補償?shù)木_計算值為

(17)

聯(lián)立式(16)，(17)可知，三子樣算法誤差為

(18)

根據(jù)誤差最小準則，利用高階泰勒公式展開：

(19)

由于一般情況下λ<1，使λ3,λ5,λ7,λ9的各項系數(shù)為0，得到方程組：

(20)

解得

(21)

(22)

與傳統(tǒng)優(yōu)化補償算法相比較，算法誤差明顯減小。如表1所示，列出了在不同振動頻率下傳統(tǒng)算法和優(yōu)化算法的算法誤差。其中B=0.5,C=0.2,采樣時間T=0.1s。

由表1分析可知：當線振動和角振動頻率不斷增加時，不論是傳統(tǒng)補償算法，還是優(yōu)化補償算法，算法誤差都會隨著頻率的增加而增加，在相同頻率下。優(yōu)化算法的算法漂移比傳統(tǒng)算法明顯要小，間接證明了算法的正確性。

3 仿真校驗

第1步：

仿真條件如下：線振動和角振動的頻率均為Ω=20π，B=0.5,C=0.2,采樣時間T=0.01 s，仿真時間為6 s，子樣數(shù)為3，如圖1,2所示。

圖1 傳統(tǒng)算法誤差補償值和算法誤差Fig.1 Error compensation value and algorithm error of traditional algorithm

由圖1，2分析易得，改進的算法補償值與理論值的曲線更接近，算法誤差比傳統(tǒng)算法更小。

第2步：

模擬載體的運行軌跡，運用2種補償算法進行仿真，檢驗算法的正確性和補償效果。

東經(jīng)108.9°，北緯34.2°，高度1 200 m，仿真時間為400 s，運行軌跡如圖3所示。

2種算法的姿態(tài)誤差仿真比較結(jié)果如圖4所示。

表1 不同振動頻率下算法誤差比較

圖2 改進算法誤差補償值和算法誤差Fig.2 Error compensation value and algorithm error of improved algorithm

圖3 載體的運行軌跡Fig.3 Flying trajectory of vehicle

圖4 2種算法的姿態(tài)誤差比較Fig.4 Attitude error comparison of two algorithms

4 結(jié)束語

根據(jù)圓錐效應(yīng)與劃槳效應(yīng)之間的對偶性關(guān)系，本文提出的利用前2個周期的速度增量和角增量對劃槳誤差進行補償，利用最小誤差原則，詳細推導補償優(yōu)化系數(shù)，首先，在典型劃槳效應(yīng)下，改進算法誤差值較傳統(tǒng)算法有明顯提高；進而將其應(yīng)用到捷聯(lián)慣導系統(tǒng)導航解算中，驗證了算法的可行性，在精度上略有提高。

[1] 秦永元.慣性導航[M].北京，科學出版社，2006. QIN Yong-yuan.Inertial Navigaion[M]. Beijing: Science Press, 2006.

[2] 陳哲.捷聯(lián)慣導系統(tǒng)原理[M].北京：宇航出版社，1986. CHEN Zhe.The Principle of Strapdown Inertial Navigation System[M]. Beijing, Astronautic Publishing House,1986.

[3] 丁楊斌,滿順強,申功勛.一種新的捷聯(lián)慣導系統(tǒng)圓錐誤差補償算法[J].北京航空航天大學學報,2007,33(11): 1261-1264. DING Yang-bin, MAN Shun-qiang,SHEN Gong-xun. New Coning Error Compensation Algorithm of Strapdown Inertial Navigation System[J]. Journal of Beijing University of Aenonautics and Astronautics, 2007, 33(11):1261-1264.

[4] 油金川，秦永元，梅春波.錐運動條件下新的速度誤差補償項研究[J].宇航學報,2013，34(3):347-354. YOU Jin-chuan, QIN Yong-yuan, MEI Chun-bo, et al.A Novel Error Compensation Term in Velocity Updating of SINS under Coning Angular Motion Conditions[J]. Jourmal of Astronautics, 2013,34(3):347-354.

[5] 張澤，段廣仁.新的捷聯(lián)慣性導航換槳效應(yīng)誤差補償算法[J].吉林大學學報:工學版,2010,40(5):1406-1464. ZHANG Ze, DUAN Guang-ren. New Sculling Error Compensation Algorithms SINS[J].Journal of Jilin University :Engineering and Technology ed,2010,40 (5)：1406-1464.

[6] 余楊，張洪鉞，基于對偶原理的二子樣劃船補償算法[J].北京航空航天大學學報，2009, 35(3): 326-329. YU Yang, ZHANG Hong-yue. Two Interval Sculling Compensation Algorithm Based on Duality Principle[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2009,35(3): 326-329.

[7] ZHANG L ,WANG B. A New Expression for Sculling Motion Compensation Algorithms [C]∥The 7th World Congress on Intelligent Control and Automation,Chongqing,China,June 25-27,2008.

[8] GNAGNI M B. Optimal Sculling and Coning Algorithms for Analogsensor Systems [J].Jourval of Guidance, Control, and Dynamics, 2012, 35(3): 851-860.

[9] ZHANG T, CHEN K, FU W X, et al. Optimal Two-iteration Sculling Compensation Mathematical Framework for SINS Velocity Updating[J]. Journal of Systems Engineering and Electronics, 2014,25(6)：1065-1071.

[10] 陳小剛，趙琳，高偉.捷聯(lián)慣導的劃船效應(yīng)及其補償算法[J].中國慣性技術(shù)學報,2002, 10(2)：12-17. CHEN Xiao-gang, ZHAO Lin, GAO Wei. Sculling Motion in Strapdown Systems and Its Correction [J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2002,10(2)：12-17.

[11] 王偉鵬，楊博，李方.基于角速率和速度增量的捷聯(lián)慣性導航算法研究[J].航天控制, 2012,30(3):3-6. WANG Wei-peng,YANG Bo,LI Fang.The New Algorithm for Strap-down Inertial Navigation System[J]. Aerospace Control, 2012，30(3):3-6.

[12] 張朝飛，楊孟興，吳明強.一種改進的捷聯(lián)慣 導系統(tǒng)優(yōu)化算法[J].現(xiàn)代防御技術(shù),2012,4(5):80-85. ZHANG Zhao-fei, YANG Meng-xing, WU Ming-qiang. Improved Optimization Algorithm for Strapdown Inertial Navigation System [J].Modern Defence Technology, 2012,4(5):80-85.

[13] 林玉榮，陳亮，付振憲.捷聯(lián)慣導系統(tǒng)兩種速更新算法的比較研究[J].兵工學報,2012, 33(10):1186-1193. LIN Yu-rong, CHEN Liang, FU Zhen-xian. Comparative Study of Two Velocity Algorithms for SINS[J]. Acta Armamentarii,2012,33(10):1186-1193.

[14] 林玉榮，沈毅.基于分離積分的捷聯(lián)慣導系統(tǒng)改進算法[J].兵工學報,2013,34(10)：1279-1285. LIN Yu-rong, SHEN Yi. Improved Navigation Algorithms Based on Split Intergration for Strapdown Inertial Navigation System[J]. Acta Armamentarii,2013, 34(10)：1279-1285.

[15] 張朝飛，楊孟興，吳明強.一種改進的捷聯(lián)慣導系統(tǒng)優(yōu)化算法[J].現(xiàn)代防御技術(shù)，2012,40(5):80-85. ZHANG Zhao-fei, YANG Meng-xing, WU Ming-qiang.Improved Optimization Algorithm for Strapdown Inertial Navigation System[J]. Modern Defence Technology, 2012,40(5):80-85.

An Improved Three-Sample Sculling Error Compensation Algorithm

YANG Hao-tian, WANG Li-xin, SHEN Qiang

(Rocket Force University of Engineering, Shaanxi Xi’an 710025, China)

For velocity updating process in strapdown inertial navigation system(SINS), there is a need for sculling error compensation when incremental resovling is adopted. A modified three-sample algorithm is proposed by using the first two cycle calculated velocity increment and angular increment. First, the mechanism of sculling error is analyzed briefly. Then, according to the principle of minimum error, a set of optimization coefficient is derived. and therefore the optimization algorithm is obtained, which has less error than traditional algorithm.The simulation results prove the effectiveness of the method, and the improved calculation accuracy in the navigation error.

sculling effect; three-sample; minimum error priciple; velocity updating; navigation accuracy; strapdown inertial navigation system (SINS)

2016-04-06；

2016-08-20 基金項目：國家自然科學基金(61174030) 作者簡介：楊浩天(1991-)，男，陜西西安人。碩士生，主要從事半球諧振陀螺IMU導航算法與誤差分析。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.02.015

V249.32+2；TP301.6；TP391.9

A

1009-086X(2017)-02-0101-06

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