江峰，武高衛(wèi)，盛文，豐驍，馮至

(空軍預警學院， 湖北 武漢 430019)

用改進的Chebyshev函數(shù)提高干涉圖切趾效果*

江峰，武高衛(wèi)，盛文，豐驍，馮至

(空軍預警學院， 湖北 武漢 430019)

針對Chebyshev切趾函數(shù)在低旁瓣衰減時功率泄漏率高以及旁瓣衰減的等波動性問題，提出了一種改進的Chebyshev切趾函數(shù)。首先通過仿真分析指出Chebyshev切趾函數(shù)在光譜復原中存在的缺陷；然后選取Blackman-Harris函數(shù)對其進行改進，并與改進前進行了對比分析；最后，用該函數(shù)對單色光干涉圖進行切趾處理并仿真驗證，仿真結果表明，改進后Chebyshev切趾函數(shù)能夠較好地克服功率泄露率高及旁瓣衰減等波動性的問題，其應用能力也更加靈活。

Chebyshev；切趾函數(shù)；Blackman-Harris；干涉圖；光譜復原；仿真分析

0 引言

在傅里葉變換光譜儀光譜復原的過程中，存在傅里葉變換需要無限的積分區(qū)間而實際光譜儀只能提供有限光程差的矛盾，這個矛盾會造成復原光譜存在旁瓣效應進而影響鄰近的、微弱信號的測定，此時就需要將光譜儀的干涉圖進行切趾處理，以消除或者減弱虛假的旁瓣，增強有用信號的被檢測率[1-2]。切趾的普遍做法是在信號處理中用切趾函數(shù)乘以干涉圖，迄今學界已經提出了眾多的切趾函數(shù)，包括三角函數(shù)、Hamming函數(shù)、Blackman函數(shù)、KaiserBessel函數(shù)以及各種函數(shù)族[3]。切趾函數(shù)的選取一般要考慮以下原則[4]：

(1) 切趾函數(shù)的形式盡量簡單，切趾計算過程方便，計算量?。?/p>

(2) 切趾處理后復原光譜主瓣盡量窄，以保證系統(tǒng)分辨率；

(3) 切趾處理后復原光譜旁瓣盡量低，旁瓣衰減率盡量高。

實際應用中，用形式簡單的切趾函數(shù)處理干涉圖容易丟失有用信號，在抑制旁瓣的同時，系統(tǒng)分辨率也會降低，因此，要綜合考慮切趾函數(shù)性質以及系統(tǒng)要求，選取合適的切趾函數(shù)。在給定旁瓣高度下，Chebyshev切趾函數(shù)的主瓣寬度最小，滿足切趾函數(shù)的最大震幅比準則[5]，同時其旁瓣衰減量可調節(jié)范圍寬，是一種性能優(yōu)異的切趾函數(shù)；但是當干涉圖信號功率較弱，需要小的旁瓣衰減情形時，其主瓣功率泄露嚴重，在頻域上表現(xiàn)為相位誤差增大，并且由于旁瓣衰減的等波動性，旁瓣衰減速率為零，不利于臨近強干擾信號的抑制。文獻[6]對基于傳統(tǒng)Chebyshev函數(shù)設計的濾波器相位特性較差的缺點進行了改進，犧牲幅度特性提升其相位特性；文獻[7]針對其旁瓣衰減的等波動性，提出離散傅立葉變換后對旁瓣進行相位旋轉，利用疊加校正的方法使旁瓣干擾降到最低，然而，這種方法在增加計算量、引入誤差的同時，計算精度得不到保證。因此，本文提出一種改進的Chebyshev切趾函數(shù)，在保留Chebyshev切趾函數(shù)原有優(yōu)點的基礎上，通過引入Blackman-harris函數(shù)改善其旁瓣衰減的等波動性、低旁瓣衰減時主瓣功率泄露嚴重的問題，同時，新切趾函數(shù)第一旁瓣衰減的可調節(jié)性也更加靈活。

1 Chebyshev切趾函數(shù)及其分析

Chebyshev切趾函數(shù)是由Chebyshev多項式在單位圓上作等間隔抽樣，再作DFT反變換得到的[8]。Chebyshev多項式定義為

(1)

式(1)可以通過迭代產生：Tk+1(x)=2xTk(x)-Tk-1(x),T0(x)=1,T1(x)=x，其中x∈Z,k∈R且k≥1，令函數(shù)長度N=2M+1，則Chebyshev切趾函數(shù)在時域的表達式為

wC(n,γ)=

-M≤n≤M,

(2)

(3)

式中：γ為用分數(shù)表示的旁瓣與主瓣幅度的比值[9-10]，則第一旁瓣相對于主瓣衰減值m=20lgγ(dB)，在實際應用中，僅需調整γ的值就可以獲得不同的主瓣寬度、旁瓣衰減等指標，Chebyshev切趾函數(shù)的性質如表1所示，與其他典型切趾函數(shù)的幅頻響應對比如圖1所示。

表1 Chebyshev切趾函數(shù)在不同旁瓣衰減時的性質(N=128)

圖1 Chebyshev切趾函數(shù)與兩種典型切趾函數(shù)在相同旁瓣衰減下的對比(N=128)Fig.1 Comparison of Chebyshev apodization function with two typical apodization functions at the same side-lobe attenuation(N=128)

圖1中，a)是Chebyshev切趾函數(shù)與Hamming函數(shù)(形式簡單、切趾性能不可調)的對比，b)是Chebyshev切趾函數(shù)與Gausswin函數(shù)(形式復雜、切趾性能可調)的對比。通過圖1可以發(fā)現(xiàn)，在相同第一旁瓣衰減情況下，Chebyshev切趾函數(shù)具有更窄的主瓣寬度，這使得干涉圖經過Chebyshev切趾后光譜分辨率更高；同時，Chebyshev切趾函數(shù)第一旁瓣衰減可調節(jié)范圍寬，具有更強的工程實用價值。然而通過表1可以發(fā)現(xiàn)，當旁瓣衰減較小時，Chebyshev切趾函數(shù)主瓣功率泄露嚴重，并且其旁瓣衰減率為零，不利于臨近強干擾信號的抑制。為了更好地利用Chebyshev切趾函數(shù)的優(yōu)點，對Chebyshev切趾函數(shù)的改進顯得十分有必要。

2 改進的Chebyshev切趾函數(shù)及其分析

通過第1節(jié)對Chebyshev切趾函數(shù)的分析，在眾多切趾函數(shù)中選取Blackman-Harris函數(shù)用于對Chebyshev切趾函數(shù)的改進。Blackman-Harris切趾函數(shù)是一種具有良好旁瓣性能的四項系數(shù)三階余弦函數(shù)，與其他切趾函數(shù)相比，它具有以下優(yōu)點：第1，作為一種余弦函數(shù)，其切趾運算簡單易行[11]；第2，在同步誤差較小時，旁瓣抑制能力強，通過在Matlab中調用Wvtool函數(shù)對其幅頻響應進行分析，發(fā)現(xiàn)其旁瓣電平相對于主瓣可降低-92 dB[12]，能較好的適應Chebyshev切趾函數(shù)旁瓣衰減調節(jié)范圍寬的特點；第3，Blackman-Harris函數(shù)有一定的旁瓣衰減率，對Chebyshev切趾函數(shù)旁瓣衰減率的提高具有改善作用。Blackman-Harris函數(shù)表達式可由余弦窗的一般表達式推導得出：

(4)

式(4)為余弦窗的一般表達式，其中0≤n≤N-1，k為項數(shù)。當k=0時，式(4)為矩形切趾函數(shù)，當k=1時，為漢寧切趾函數(shù)，當k=2時，為Blackman切趾函數(shù)，k=3時，為Blackman-Harris函數(shù)。長度為N的Blackman-Harris函數(shù)其時域表達式為[12-13]

(5)

式中：a0=0.358 75,a1=0.488 29,a2=0.141 28,a3=0.011 68。為此，在原有可調參數(shù)γ的基礎上，增加了可調參數(shù)L(0≤L≤N)，對Chebyshev切趾函數(shù)進行改進：

wC_B_H(n,γ,N,L)=

(6)

式(6)為改進后的Chebyshev切趾函數(shù)時域表達式，其波形如圖2所示(N=128,L=80)，改進的Chebyshev切趾函數(shù)同時擁有Chebyshev與Blackman-Harris函數(shù)的優(yōu)點，通過Matlab計算，其性質如表2所示。

圖2 改進的Chebyshev切趾函數(shù)Fig.2 Improved Chebyshev apodization function

表2 改進的Chebyshev切趾函數(shù)在不同旁瓣衰減時的性質

Table 2 Property of improved Chebyshev apodization function at different side-lobe attenuation

m/dBL實際第一旁瓣衰減/dB功率泄露系數(shù)(%)歸一化主瓣寬度旁瓣衰減率/(dB/otc)-2510-48．20．010．02930-6-2560-18．61．640．02340-12-25120-21．71．060．01563-10-5010-51．300．02930-6-5060-23．70．440．02340-12-50120-41．80．020．01953-10-802-80．800．02930-6-80126-77．300．02539-10

通過表1和表2的對比可以發(fā)現(xiàn)在實際旁瓣衰減較小時，改進后切趾函數(shù)功率泄露系數(shù)得到了明顯的改善，同時通過調節(jié)參數(shù)L，其仍可以保留Chebyshev切趾函數(shù)歸一化主瓣寬度較窄、第一旁瓣衰減調節(jié)范圍寬等優(yōu)點，并且旁瓣衰減率得到了增加。改進的切趾函數(shù)與原Chebyshev切趾函數(shù)的幅頻響應對比如圖3所示。

圖3中，a)為改進的切趾函數(shù)與Chebyshev切趾函數(shù)在第一旁瓣衰減43 dB時的比較，其中L=127，m=-46 dB,改進的切趾函數(shù)功率泄露系數(shù)為0.07%，原Chebyshev切趾函數(shù)為0.23%。b)為改進的切趾函數(shù)與原Chebyshev函數(shù)在第一旁瓣衰減25 dB時的比較，其中L=127，m=-27 dB，改進的切趾函數(shù)功率泄露系數(shù)為5.89%，原Chebyshev切趾函數(shù)為16.01%。c)為改進的切趾函數(shù)與原Chebyshev函數(shù)在第一旁瓣衰減25 dB時的比較，其中L=101，m=-38 dB, 改進的切趾函數(shù)功率泄露系數(shù)為0.4%，原Chebyshev切趾函數(shù)為16.01%，改進后函數(shù)旁瓣衰減率達到了12 dB/otc。

圖3 改進的切趾函數(shù)與原Chebyshev切趾函數(shù)在相同旁瓣衰減下的比較(N=128)Fig.3 Comparison between the improved apodization function and the original Chebyshev apodization function under the same side-lobe attenuation (N=128)

從圖3a)，b)，c)的結果可以看出，通過對參數(shù)γ及參數(shù)L的調節(jié)，新的切趾函數(shù)在功率泄露系數(shù)、旁瓣衰減率方面得到了很大的改善，從圖3b),c)可以看出，不同的γ及L值可以得到相同的第一旁瓣衰減，但功率泄露系數(shù)、旁瓣衰減率和主瓣寬度會有相應的增減，這使得改進的Chebyshev切趾函數(shù)可以適應不同的切趾要求，應用能力更加靈活。在一般情況下，其主瓣寬度較原Chebyshev函數(shù)有所增寬，但是當取L=N時(圖3d)，改進的切趾函數(shù)恢復原Chebyshev函數(shù)的效果，主瓣寬度最窄。

3 仿真與討論

為進一步驗證改進型切趾函數(shù)的性能，選取余弦波模擬單色光的干涉圖，首先在Matlab中生成余弦信號，對此信號采樣(采樣頻率100 Hz，采樣點數(shù)512點)，然后進行切趾、光譜還原處理。則系統(tǒng)理想干涉圖為

IR(x)=100 cos(2π·4x).

(7)

限制于干涉儀只能提供有限的光程差，實際截斷干涉圖為

(8)

式(8)經過反傅里葉變換，即可得到矩形函數(shù)切趾后的光譜圖[14]：

(9)

式中：σ為光譜波數(shù)；BR(σ)表示波數(shù)σ處的光譜強度。

然后用改進的切趾函數(shù)和4種典型切趾函數(shù)乘以式(8)，對實際干涉圖切趾后進行式(9)的變換，得復原光譜如圖4所示。

圖4 幾種典型切趾函數(shù)對單色光干涉圖切趾還原后光譜圖效果對比Fig.4 Contrast effect of restored spectrum of monochromatic light from several typical apodization functions

圖4中，a)為模擬原始干涉圖及其未經切趾處理的復原光譜，b)為矩形切趾及三角切趾后的復原光譜，實際應用中，限制于光譜儀只能提供有限的光程差，矩形切趾后的干涉圖即為一般意義上的原始干涉圖[15]，從圖b)可以看出，經矩形切趾后的復原光譜旁瓣衰減不足，經三角切趾后的復原光譜旁瓣雖然得到了一定的抑制，但是主瓣寬度增加較多，光譜分辨率下降明顯；c)為布萊克曼與漢明切趾后的復原光譜，旁瓣抑制能力進一步增強，但仍然存在主瓣寬度增加明顯的問題，切趾處理后光譜還原效果并不理想；d)中，2種切趾函數(shù)在相同的第一旁瓣衰減下(-25 dB)，改進的Chebyshev切趾函數(shù)旁瓣抑制能力較強，旁瓣衰減率得到了提高的同時，主瓣寬度增加并不明顯，因此，改進后的Chebyshev函數(shù)是一種性能優(yōu)異的切趾函數(shù)。

4 結束語

本文對傅里葉變換光譜儀干涉圖切趾函數(shù)進行了研究，提出了改進的Chebyshev切趾函數(shù)，利用Chebyshev切趾函數(shù)切趾處理后光譜圖主瓣寬度窄、旁瓣衰減可調節(jié)的優(yōu)點與Blackman-Harris切趾函數(shù)旁瓣衰減能力強，具有一定旁瓣衰減率的特點相結合，對Chebyshev切趾函數(shù)進行了改進。將改進后的切趾函數(shù)進行分析與仿真驗證，結果表明：①改進后的Chebyshev切趾函數(shù)較正了原切趾函數(shù)旁瓣衰減較低時，功率泄露嚴重的問題；②改進后的Chebyshev切趾函數(shù)較正了原切趾函數(shù)旁瓣等波動性，旁瓣衰減率為0的問題；③改進后的Chebyshev切趾函數(shù)相比于原切趾函數(shù)更加靈活，可以在相同第一旁瓣衰減量下得到不同的功率泄露效果、旁瓣衰減率和主瓣寬度。

[1] 肖青，柳欽火，李小文，等.高分辨率機載遙感數(shù)據(jù)的交叉輻射影響及其校正[J].遙感學報，2005(6): 3-11. XIAO Qing, LIU Qin-huo, LI Xiao-wen,et al. Analysis and Correction of Atmospheric Cross Radiation for High Geometric Resolution Airborne Remote Sensing Data[J].Journal of Remote Sensing, 2005(6): 3-11.

[2] 李蘇寧，朱日紅，李建欣，等.傅里葉干涉成像光譜技術中的重構方法[J].應用光學,2009,30(2):268-272. LI Su-ning, ZHU Ri-hong, LI Jian-xin,et al. Method of Reconstruction on Fourier Transform Spectroscopy[J].Journal of Applied Optics, 2009,30(2):268-272.

[3] 景娟娟，相里斌，呂群波，等.干涉光譜數(shù)據(jù)處理技術研究進展[J].光譜學與光譜分析,2011,31(4):865-870. JING Juan-juan, XIANG Li-bin, Lü Qun-bo,et al.Advance in Interferogram Data Processing Technique[J].Spectroscopy and Spectral Analysis,2011,31(4): 865-870.[4] 楊琨. 傅里葉變換紅外光譜儀若干核心技術研究及其應用[D]. 武漢：武漢大學，2010: 20-21. YANG Kun. Research and Application on a Certain Number of Core Technologies of Fourier Transform Infrared Spectrometer[D]. Wuhan: Wuhan University, 2010: 20-21.

[5] 《數(shù)學辭?！肪庉嬑瘑T會. 數(shù)學辭海(第三卷)[M].北京:中國科學技術出版社，2002:373. Mathematic Dictionary Editorial Board. Mathematic Dictionary(Volume III)[M]. Beijing: China Science and Technology Press,2002:373.

[6] 王曉凱，李鋒.Chebyshev 過渡型濾波器設計和分析[J].信息與電子工程，2009,7(2):115-118. WANG Xiao-kai, LI Feng. Design and Analysis of Chebyshev Transitional Filters[J]. Information and Electronic Engineering, 2009,7(2):115-118.

[7] 孫仲民，黃俊，楊鍵維，等. 基于切比雪夫窗的電力系統(tǒng)諧波/間諧波高精度分析方法[J]. 電力系統(tǒng)自動化，2015, 39(7)：117-122. SUN Zhong-min, HUANG Jun, YANG Jian-wei,et al. A High Accuracy Analysis Method for Harmonics and Inter-Harmonics in Power Systems Based on Dolph-Chebyshev Windows[J]. Automation of Electric Power Systems, 2015, 39(7)：117-122.

[8] 謝俊好，楊曦.天線陣角分辨率準則的比較研究[J].雷達科學與技術，2010,8(4):382-389. XIE Jun-hao, YANG Xi. Comparative Research on Angular Resolution Criteria for Antenna Array[J]. Rafar Science and Technology, 2010,8(4):382-389.

[9] OPPENHEIM A V，SCHAFER R W，BUCK J R. 離散時間信號處理[M]. 2版.劉樹棠，黃建國,譯. 西安：西安交通大學出版社,2001. OPPENHEIM A V,SCHAFER R W,BUCK J R.Discrete-Time Signal Processing[M].2nd ed.LIU Shu-tang,HUANG Jian-guo,translated.Xi’an Jiaotong Uni versity Press,2001.

[10] MITRA S K. 數(shù)字信號處理——基于計算機的方法[M].3版. 孫洪，譯. 北京: 電子工業(yè)出版社，2006:435-436. MITRA S K.Digital Signal Processing——A Computer-Based Aproach[M]. 3rd ed. SUN Hong，Translated，Beijing: Elecronic Industry Press,2006:435-436.

[11] 趙文春，馬偉明，胡安.電機測試中諧波分析的高精度FFT算法[J].中國電機工程學報，2001, 9(12) : 83-87. ZHAO Wen-chun, MA Wei-ming, HU An. FFT Algorithm with High Accuracy for Harmonic Analysis in the Electric Machine[J]. Proceedings of the CSEE, 2001, 9(12) : 83-87.

[12] 劉海升，付志紅，張淮清，等.基于Blackman-Harris相位差校正信號諧波分析方法[J].數(shù)據(jù)采集與處理，2011,26(4):468-472. LIU Hai-sheng, FU Zhi-hong, ZHANG Huai-qing,et al. Harmonic Analysis Based on Blackman-Harris Window and Phase Difference Correction[J]. Journal of Data Acquisition and Processing,2011, 26(4):468-472.

[13] ZHANG F, GENG Z, YUAN W. The Algorithm of Interpolation Windowed FFT for Harmonic Analysis of Electric Power System[J]. IEEE Transactions on Power System, 2001,16(2):160-164.

[14] 尚博. 高光譜干涉成像重構技術研究[D]. 南京：南京理工大學，2008:23-24. SHANG Bo. The Study of Hyperspectral Imaging Interferometer Reconstruction[D]. Nanjing: Nanjing University of Technology and Engeneering, 2008:23-24.

[15] 韓剛. 干涉光譜復原算法研究[D]. 西安:中國科學院研究生院，2012:9-12. HAN Gang. Research on the Algorithm of Inteferogram Spectrum Reconstruction[D]. Xi’an: Chinese Academy of Sciences of Master of Engineering, 2012:9-12.

Improved Chebyshev Function to Raise the Effect of Interferogram Apodization

JIANG Feng, WU Gao-wei, SHENG Wen, FENG Xiao, FENG Zhi

(Air Force Early Warning Academy, Hubei Wuhan 430019, China)

In order to rectify the shortcomings of high power leakage rate at low side-lobe attenuation and identical fluctuation of side-lobe attenuation of Chebyshev apodization function, an improved Chebyshev apodization function is put forward. Firstly, the defects of Chebyshev apodization function in spectrum restoration is analyzed by simulation; and then, the Blackman-Harris function is selected to improve it and compared with the previous one; at last, the function is used for monochromatic interferogram apodization process and simulation. The simulation results show that the new Chebyshev apodization function can solve the problems of high power leakage rate at low side-lobe attenuation and identical fluctuation of side-lobe attenuation, and its application ability is more flexible.

Chebyshev; apodization function; Blackman-Harris; interferogram; spectrum reconstruction; simulation analysis

2016-04-05；

2016-07-10 作者簡介：江峰(1992-)，男，四川眉山人。碩士生，主要研究方向為紅外光譜復原技術研究。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.02.025

TN911.1；TH744.1

A

1009-086X(2017)-02-0160-06

通信地址：430019 湖北省武漢市江岸區(qū)黃浦大街288號空軍預警學院研究生管理大隊21隊E-mail：969656256@qq.com