廣東省鶴山市桃源中學(529725)

鄧小軍●

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山重水復疑無路 柳暗花明又一村
——“等角對等邊”的又一證法

廣東省鶴山市桃源中學(529725)

鄧小軍●

等角對等邊的一般證明方法是作頂角的角平分線或底邊上的高，通過證明三角形全等而得出結論.由于等腰三角形有三線合一的性質，作底邊上的中線卻不能通過證明三角形全等而得出結論，但是可以運用余弦定理、巧用放縮法來證明.

等角對等邊；余弦定理；放縮法

一、題目呈現

人教版數學八年級上冊有這么一道題：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱“等角對等邊”).

已知：如圖，△ABC中，∠B=∠C.求證：AB=AC.

二、誤入歧途

“等角對等邊”是“等邊對等角”的逆定理.聯想證明“等邊對等角”時，通過作∠BAC的平分線AD；或作BC邊上的高AD；或作BC邊上的中線AD均可證三角形ABD和三角形ACD全等，從而推出結論.所以，感覺證明逆定理時反其道而行之，應該可以證明.

作∠BAC的平分線AD或作BC邊上的高AD通過證明三角形全等，從而推出AB=AC.這兩種方法是可行的證法，但作BC邊上的中線AD則不能證明三角形全等.此時雖然有兩邊和其中一邊的對角對應相等，但是有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，此路不通.

參考盧正才老師的幾種證法，也沒有作BC邊上的中線AD的證法.總感到有些美中不足.數學的統一和諧美怎么體現？既然等腰三角形有三線合一的性質，作∠BAC的平分線AD或作BC邊上的高AD均可證三角形全等，從而推出結論，那么作BC邊上的中線AD又為什么不能證明三角形全等呢？一定有辦法的.

三、另辟蹊徑

既然作BC邊上的中線AD證三角形全等的方法行不通，是不是有其它的方法呢？經研究發(fā)現，作BC邊上的中線AD時，可運用余弦定理、巧用放縮法來證明.證法如下：

在△ABD中，AD2=BD2+AB2-2AB·BDcosB，

在△ACD中，AD2=CD2+AC2-2AC·CDcosC，

所以BD2+AB2-2AB·BDcosB=CD2+AC2-2AC·CDcosC.因為AD為中線,所以BD=CD,BC=2BD.

又因為∠B=∠C,

所以AB2-2AB·BDcosB=AC2-2AC·BDcosB,

AB2-2AB·BDcosB-AC2+2AC·BDcosB=0,

(AB-AC)(AB+AC)-2BDcosB(AB-AC)=0,

(AB-AC)(AB+AC-2BDcosB)=0.

而AB+AC-2BDcosB=AB+AC-BCcosB,

由于在△ABC中恒有AB+AC>BC,

又因為∠B=∠C,所以0°<∠B< 90°,所以0

從而AB+AC>BCcosB，即AB+AC-BCcosB>0,

所以AB+AC-2BDcosB>0,

所以AB-AC=0,即AB=AC,證畢.

完美！ 此時，深深體會到數學的美——統一和諧美.

[1]義務教育教科書·數學(八年級上冊)[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]盧正才. “等角對等邊”的幾種證法[J].鎮(zhèn)江高專學報,1997(1):94.

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