江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)頭橋中學(xué)(225109)

黃 慧●

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軸對(duì)稱研究與解題中的應(yīng)用

江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)頭橋中學(xué)(225109)

黃 慧●

本文從提高讀者應(yīng)用軸對(duì)稱思想出發(fā)，首先研究軸對(duì)稱的基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)，軸對(duì)稱圖形特點(diǎn)，對(duì)稱軸，對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱圖形關(guān)于對(duì)稱軸的關(guān)系，本文又提供軸對(duì)稱必要掌握的基本技能，本文第三部分舉實(shí)例說明對(duì)稱思想在解題中的應(yīng)用.

對(duì)稱軸；對(duì)稱圖形；對(duì)稱點(diǎn)；最值問題

一、基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)

軸對(duì)稱圖形:將一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠重合，那么這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形.

兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱:平面上的兩個(gè)圖形，將其中一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.這條直線就是對(duì)稱軸.

對(duì)稱點(diǎn):兩個(gè)關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(即兩圖形重合時(shí)互相重合的點(diǎn))叫做關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn).

兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱的性質(zhì):如果兩個(gè)圖形關(guān)于某一條直線對(duì)稱，那么連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸重直平分.

如果連接兩個(gè)點(diǎn)的線段被一條直線垂直平分，那么這兩點(diǎn)關(guān)于這條直線對(duì)稱.

二、基本技能

例1 如圖1，已知△ABC和直線l，畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A′B′C′.

分析 要畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A′B′C′，只要分別畫出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′、C′.根據(jù)兩個(gè)圖形關(guān)于某一直線對(duì)稱的性質(zhì)(如果連接兩個(gè)點(diǎn)的線段被L直線垂直平分，那么這兩點(diǎn)關(guān)于這條直線對(duì)稱)，就可以畫出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)了.

(1)分別過點(diǎn)A、C畫直線l的垂線，垂足分別為M、N.再延長AM、CN到A′、C′，使得A′M=AM，C′N=CN.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)B在直線l上，所以點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′和B重合.

(3)順次連接A′B′、B′C′、A′C′，得△A′B′C′,就是所要畫的三角形.

說明 畫對(duì)稱圖形的實(shí)質(zhì)是畫對(duì)稱點(diǎn).畫一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，可從這點(diǎn)向直線畫垂線，得一條垂線段，再延長后取相等的線段即得到要畫的對(duì)稱點(diǎn).如果這點(diǎn)在直線上，那么它關(guān)于這條直線對(duì)稱的點(diǎn)就是它本身.

例2 如圖2，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為(-3，2)、(-1，-3)、(2，0)、(0，3)，畫出四邊形ABCD關(guān)于y軸對(duì)稱的四邊形A′B′C′D′，并寫出點(diǎn)A′、B′、C′、D′的坐標(biāo).

分析 畫四邊形ABCD關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形四邊形A′B′C′D′，只要畫出點(diǎn)A、B、C、D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′、C′、D′.

分別畫出點(diǎn)A、B、C、D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′、C′、D′，它們的坐標(biāo)分別為(3，2)、(1，-3)、(-2，0)、(0，3)；順次連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，則四邊形A′B′C′D′就是所畫的對(duì)稱圖形.

說明 一般地說，直角坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)P(x,y)，它關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為P1(x,-y);關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P2(-x,y).

三、對(duì)稱思想在應(yīng)用

近年來的中考試題中，最值問題成為設(shè)計(jì)壓軸題的一種常見設(shè)問，它主要與函數(shù)知識(shí)進(jìn)行綜合，如以拋物線為背景的最值問題在中考中就十分搶眼.解決此類問題時(shí)，主要通過作對(duì)稱的方法，作出取得最小值時(shí)的點(diǎn)，然后結(jié)合幾何、函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行最值求解.下面結(jié)合幾例考題，與大家研究.

例3 如圖3，已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)和點(diǎn)B(2，1).

(1)求此拋物線解析式；

(2)點(diǎn)C、D分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD周長的最小值；

解析 (1)易得拋物線的解析式為y=-2x2+4x+1.

評(píng)注 一般地，解決此類問題主要是利用“兩點(diǎn)之間線段最短”和“任意兩邊之和大于第三邊”，因此只要作出點(diǎn)A(或點(diǎn)B)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A(或B)，再連接BA1(或AB1)即可.

例4 設(shè)正三角形的邊長為2,M是AB邊上的中點(diǎn),P是邊BC上的任意一點(diǎn),PA+PM的最大值和最小值分別為記為s和t,則s2-t2=____.

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