缐戰(zhàn)勝

摘要：數(shù)學(xué)從本質(zhì)上而言是玩概念的，通過(guò)刻板教條的課堂教學(xué)使學(xué)生認(rèn)為：數(shù)學(xué)只是數(shù)學(xué)家做的一些規(guī)定，“它只是從定義和公理出發(fā)推導(dǎo)出來(lái)的一系列結(jié)論，而這些公理除了必須相互一致外，完全出自數(shù)學(xué)家心靈的自由創(chuàng)造.它將是定義、法則和三段論的游戲，既無(wú)動(dòng)力也無(wú)目的.”在學(xué)生這種認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上強(qiáng)加的概念課的教學(xué)，使他們處處被動(dòng)，沒(méi)有激起學(xué)生思維的積極性，學(xué)習(xí)的良好興趣，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，這樣的課堂有效性就很低.學(xué)生的學(xué)習(xí)不應(yīng)看成對(duì)于教師所授予的知識(shí)的被動(dòng)接受，而是一個(gè)以學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的建構(gòu)過(guò)程，所有的知識(shí)應(yīng)該都是他們自己的認(rèn)識(shí)活動(dòng)的結(jié)果。

關(guān)鍵字：三角函數(shù)；情景；周期

一、案例背景

數(shù)學(xué)從本質(zhì)上而言是玩概念的，高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)就顯得尤為重要了。就三角函數(shù)而言，三角函數(shù)是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，任意角三角函數(shù)這個(gè)概念又是全章的一個(gè)核心內(nèi)容。從數(shù)學(xué)史的發(fā)展看，為解直角三角形而引入銳角三角函數(shù)；為解任意三角形而推廣到鈍角三角函數(shù)；為了刻畫一些簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)而再次推廣到任意角的三角函數(shù)，它是一個(gè)最基本的、最有表現(xiàn)力的周期函數(shù)，是描述一般周期函數(shù)的基石。在一般的教學(xué)中，大都從復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)出發(fā)，直接推廣到任意角三角函數(shù)，直接給出定義，雖然有利于學(xué)生從自己已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)。但容易讓學(xué)生認(rèn)為：數(shù)學(xué)只是數(shù)學(xué)家做的一些規(guī)定，“它只是從定義和公理出發(fā)推導(dǎo)出來(lái)的一系列結(jié)論，而這些公理除了必須相互一致外，完全出自數(shù)學(xué)家心靈的自由創(chuàng)造?！痹趯W(xué)生認(rèn)知上這樣強(qiáng)加的概念課的教學(xué)，使他們處處被動(dòng)，沒(méi)有激起學(xué)生思維的積極性，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，這樣的課堂有效性就很低。如何讓概念課的教學(xué)更有效呢？

二、案例描述

本人有幸聽到任意角的三角函數(shù)的這樣一節(jié)課，上課時(shí)教師讓學(xué)生集體朗讀：東升西落照蒼穹， 影短影長(zhǎng)角不同。 晝夜循環(huán)潮起伏， 冬春更替草枯榮。 然后教師引入本節(jié)課的問(wèn)題：日出日落，寒來(lái)暑往，自然界中存在許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，稱之為“周期現(xiàn)象”。我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過(guò)用“指數(shù)函數(shù)”模型刻畫人口增長(zhǎng)問(wèn)題，那么用怎樣的數(shù)學(xué)的模型來(lái)刻畫周期現(xiàn)象呢？ 周期現(xiàn)象一般與運(yùn)動(dòng)有關(guān)，一個(gè)簡(jiǎn)單而基本的例子便是“圓周上一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)”。請(qǐng)看下面的實(shí)例。

問(wèn)題：摩天輪的中心離地面的高度為h0，它的直徑為2r，逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置點(diǎn)A出發(fā)，求相對(duì)于地面的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。教師：高度h是怎樣變化的？開始高度h先漸漸增高，再漸漸降低，然后再漸漸增高，最后回到初始位置；第二周、第三周？周而復(fù)此，呈“周期現(xiàn)象”。

教師：應(yīng)該用怎樣一個(gè)函數(shù)模型來(lái)刻畫？ 讓我們不妨先從一個(gè)簡(jiǎn)單具體情形入手。例如過(guò)了20秒后，過(guò)了50秒后，你離地面的高度為多少？

學(xué)生： h=h0+rsin20°，h=h0+rsin50°。一般的，過(guò)了t秒呢？h（t）=h0+rsint°

教師：這樣想合情，但合理嗎？有什么問(wèn)題？

師生：隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，角度也不知不覺(jué)地推廣了任意角。對(duì)任意角α，sinα該如何定義？

教師：對(duì)前面這個(gè)問(wèn)題往下具體分析，雖然可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)計(jì)算各種情況，但表述上太繁瑣，于是與h=h0±MP比較，要想兩者和諧統(tǒng)一，必須有：

教師：不過(guò)就這樣表述，在說(shuō)明+MP時(shí)，還是不夠簡(jiǎn)潔明了。 MP何時(shí)取正負(fù)值？用怎樣的一個(gè)量來(lái)代替+MP，可以使上面的表述更簡(jiǎn)潔？它的絕對(duì)值與MP長(zhǎng)度相等，符號(hào)在一、二區(qū)域能是正的，在三、四區(qū)域能是負(fù)的。

師生：引入直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y來(lái)替代MP或-MP。至此三角函數(shù)的定義就水到渠成了。

三、案例分析

開始學(xué)生集體朗讀，引出周期現(xiàn)象，提出用怎樣的數(shù)學(xué)的模型來(lái)刻畫周期現(xiàn)象。讓學(xué)生初步了解本節(jié)課學(xué)習(xí)的任務(wù)。緊接著創(chuàng)設(shè)實(shí)際問(wèn)題情境，以摩天輪的中心離地面的高度展開，先特殊后一般。問(wèn)題層層深入，步步相扣。人距離地面的高度h=h0+MP。MP表示點(diǎn)P到水平位置OA的距離，是變量，可以通過(guò)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)∠POA的大小來(lái)表示，h（t）=h0+rsint° 先猜想再探究，是一種合情推理，使教學(xué)環(huán)節(jié)顯得生動(dòng)，同時(shí)感受到接下來(lái)新知識(shí)學(xué)習(xí)的必要性。以實(shí)際問(wèn)題解決為背景，引入任意角三角函數(shù)概念，是想讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)是自然的”、“數(shù)學(xué)是貼近生活的”。從整個(gè)課堂上學(xué)生積極的發(fā)言，高漲的參與熱情可以看出：教學(xué)的有效性得到了很好的體現(xiàn)。當(dāng)然，情境的創(chuàng)設(shè)，通過(guò)本案例可以看到一定要遵循下列原則：

1、適度性原則：所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境首先難度要適宜，問(wèn)題的設(shè)計(jì)要符合學(xué)生的一般認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計(jì)的問(wèn)題有一定難度但要趨向于學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”。

2、科學(xué)性原則：所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境首先內(nèi)容要科學(xué)，有針對(duì)性和目的性，以教學(xué)目標(biāo)為依據(jù)，以相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)為依托，不可隨意編造；其次表述要科學(xué)，應(yīng)簡(jiǎn)潔明確；結(jié)構(gòu)要科學(xué)，應(yīng)由易到難，循序漸進(jìn)。

3、探究性原則：所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境首先要有啟發(fā)性，置學(xué)生于“憤”與“徘”的狀態(tài)，啟迪學(xué)生思維，引發(fā)學(xué)生廣泛的類比、聯(lián)想與猜想；其次要有開放性，或提問(wèn)開放，或條件不完備，或結(jié)論不確定，或解題策略不唯一，引發(fā)學(xué)生多方位思考問(wèn)題。

4、有效性原則：所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境要有效果，教學(xué)活動(dòng)結(jié)果與預(yù)期教學(xué)目標(biāo)相吻合，教學(xué)效果和教學(xué)投入要有較高的比值；要有效益，教學(xué)目標(biāo)與特定的社會(huì)和個(gè)人的教學(xué)需求要相吻合。

總之教無(wú)定法，學(xué)無(wú)止盡，只有我們?cè)趯W(xué)習(xí)中不斷總結(jié)，在實(shí)踐中不斷摸索，在反思中不斷領(lǐng)悟，教學(xué)理念不斷改進(jìn)，我們也就能創(chuàng)設(shè)出好的情境，我們的概念課的教學(xué)也一定會(huì)更有效。

參考文獻(xiàn)

[1] 高中數(shù)學(xué)人教A版.