謝博超

一、以形助數(shù)，著眼意義理解

分?jǐn)?shù)解決問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵是對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”和“一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義”的理解，學(xué)生只有對(duì)這兩個(gè)意義理解到位，才能將較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)解決問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為“一個(gè)數(shù)×幾分之幾=另一個(gè)數(shù)”這樣的數(shù)量關(guān)系去解決問題。而一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少其實(shí)是一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的延伸，也就是整數(shù)倍到分?jǐn)?shù)倍的延伸，雖然在之前學(xué)生已經(jīng)建構(gòu)了“一個(gè)數(shù)×倍數(shù)=這個(gè)數(shù)的幾倍”這一數(shù)學(xué)模型，但要讓學(xué)生從整數(shù)倍過渡到分?jǐn)?shù)倍，還是比較抽象。因此，借助圖形幫助學(xué)生理解是非常有必要的。

數(shù)形結(jié)合，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形聯(lián)系起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對(duì)圖形的處理，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支撐作用，揭示數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)抽象概念和具體形象之間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的思維。根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，如何借助直觀的圖形展現(xiàn)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義呢？教師可以通過創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境解決，就如，給一面墻刷油漆，每小時(shí)刷這面墻的 ，那2小時(shí)刷了這面墻的幾分之幾？ 小時(shí)呢？ 小時(shí)呢？讓學(xué)生根據(jù)舊知先列出算式，然后利用長(zhǎng)方形表示這面墻，讓學(xué)生畫出長(zhǎng)方形中 ×2的部分并說出它的意義（圖1）。再讓學(xué)生在長(zhǎng)方形中畫出 × 和 × 的部分，并讓學(xué)生根據(jù)畫的過程說出它們的意義（圖2、圖3）。

圖形深化了學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，也讓學(xué)生直觀感受一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義。以形助數(shù)，學(xué)生不僅對(duì)分?jǐn)?shù)的意義有了進(jìn)一步的了解和認(rèn)識(shí)，更對(duì)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義形成過程有了更深的感受和體驗(yàn)，這能為接下來應(yīng)用分?jǐn)?shù)解決問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、轉(zhuǎn)數(shù)為形，簡(jiǎn)化問題類型

學(xué)生之所以會(huì)覺得分?jǐn)?shù)解決問題難，一方面因?yàn)閷?duì)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義理解不到位，另一方面是由于分?jǐn)?shù)乘除法的解決問題類型繁多，對(duì)此教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)解決問題的類型進(jìn)行整合分類，化繁為簡(jiǎn)?？v觀所有的分?jǐn)?shù)解決問題，其實(shí)主要分為兩大類型：“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”和“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾”，用字母表示就是“a是b的幾分之幾”和“a比b多（少）幾分之幾”。前者屬于部分與整體之間的關(guān)系，后者屬于不同數(shù)量間相比較的關(guān)系。如何幫助、引導(dǎo)學(xué)生清晰地區(qū)分兩種類型的數(shù)量關(guān)系呢？借助線段圖是非常直觀有效的方法。第一種類型：a是b的幾分之幾，是屬于部分與整體的關(guān)系，所以只需要用一副線段圖就能表示出a和b之間的關(guān)系（圖4）。第二種類型：a比b多（少）幾分之幾，是屬于兩個(gè)數(shù)量間相比較的關(guān)系，所以需要畫兩條線段圖體現(xiàn)a和b比較的關(guān)系（圖5、圖6）。

轉(zhuǎn)數(shù)為形，幫助學(xué)生把復(fù)雜多樣的分?jǐn)?shù)解決問題簡(jiǎn)化為兩大類型，并直觀地讓學(xué)生能清晰區(qū)分這兩種類型，為學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問題提供了明確的方向。

三、數(shù)形結(jié)合，提煉數(shù)量關(guān)系

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得比較直觀，它是解決問題的有效方法之一。在分析問題的過程中，把數(shù)和形結(jié)合起來考察，根據(jù)問題的具體情境，先把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的問題，再把圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，化難為易。在教學(xué)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，教師就可以鋪墊分?jǐn)?shù)乘法的數(shù)量關(guān)系：“單位‘1×分率=對(duì)應(yīng)具體量”。在之后的分?jǐn)?shù)解決問題教學(xué)中，基于一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，教師讓學(xué)生畫出線段圖，再次強(qiáng)化數(shù)量關(guān)系。例如，第一種類型“a是b的幾分之幾”（圖4）。線段圖中的b是單位“1”， 是分率，a就是對(duì)應(yīng)的具體量。所以根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，數(shù)量關(guān)系就是“b× =a”。在這個(gè)數(shù)量關(guān)系中，要求a也就是對(duì)應(yīng)具體量，直接用b× =a，也就是用“單位‘1×分率”；如果要求b也就是求單位“1”，就可以用方程解的方法，假設(shè)單位“1”為x，當(dāng)然用算術(shù)的方法也可以用a÷ =b；如果要求 也就是求分率，根據(jù)數(shù)量關(guān)系同樣可以用方程解的方法，設(shè)分率為x。也就是說根據(jù)線段圖提煉出來的數(shù)量關(guān)系，只要已知單位“1”，分率和對(duì)應(yīng)具體量這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)未知的量。又如“a比b多幾分之幾”（圖5）。學(xué)生觀察線段圖，b是比較的標(biāo)準(zhǔn)也就是單位“1”，a是與b比較的比較量。所以根據(jù)線段圖得到數(shù)量關(guān)系是“b+b× =a”，用文字描述也就是“單位‘1+單位‘1的幾分之幾=比較量”。根據(jù)線段圖提煉出的這個(gè)數(shù)量關(guān)系，亦能求出未知的量。圖形與代數(shù)式有著文字?jǐn)⑹鰺o可比擬的優(yōu)勢(shì)，小學(xué)生在接受此類知識(shí)時(shí)可能有困難，但這個(gè)困難不是不可以克服的，一旦克服，提高便是飛躍性的。

總之，分?jǐn)?shù)解決問題的教學(xué)是個(gè)循序漸進(jìn)的過程，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)以形助數(shù)，著眼于意義的理解，化數(shù)為形，化繁為簡(jiǎn)，為學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問題提供明確的方向和主線，最終提煉出解決問題的核心——數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生走出解決分?jǐn)?shù)問題的困境。

（作者單位：福建省廈門市集美區(qū)新源小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬 黃哲斌）