謝博超
一、以形助數(shù),著眼意義理解
分?jǐn)?shù)解決問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵是對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”和“一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義”的理解,學(xué)生只有對(duì)這兩個(gè)意義理解到位,才能將較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)解決問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為“一個(gè)數(shù)×幾分之幾=另一個(gè)數(shù)”這樣的數(shù)量關(guān)系去解決問題。而一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少其實(shí)是一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的延伸,也就是整數(shù)倍到分?jǐn)?shù)倍的延伸,雖然在之前學(xué)生已經(jīng)建構(gòu)了“一個(gè)數(shù)×倍數(shù)=這個(gè)數(shù)的幾倍”這一數(shù)學(xué)模型,但要讓學(xué)生從整數(shù)倍過渡到分?jǐn)?shù)倍,還是比較抽象。因此,借助圖形幫助學(xué)生理解是非常有必要的。
數(shù)形結(jié)合,其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形聯(lián)系起來,使抽象思維和形象思維結(jié)合起來,通過對(duì)圖形的處理,發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支撐作用,揭示數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)抽象概念和具體形象之間的轉(zhuǎn)化,發(fā)展學(xué)生的思維。根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,如何借助直觀的圖形展現(xiàn)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義呢?教師可以通過創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境解決,就如,給一面墻刷油漆,每小時(shí)刷這面墻的 ,那2小時(shí)刷了這面墻的幾分之幾? 小時(shí)呢? 小時(shí)呢?讓學(xué)生根據(jù)舊知先列出算式,然后利用長(zhǎng)方形表示這面墻,讓學(xué)生畫出長(zhǎng)方形中 ×2的部分并說出它的意義(圖1)。再讓學(xué)生在長(zhǎng)方形中畫出 × 和 × 的部分,并讓學(xué)生根據(jù)畫的過程說出它們的意義(圖2、圖3)。
圖形深化了學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn),也讓學(xué)生直觀感受一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義。以形助數(shù),學(xué)生不僅對(duì)分?jǐn)?shù)的意義有了進(jìn)一步的了解和認(rèn)識(shí),更對(duì)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義形成過程有了更深的感受和體驗(yàn),這能為接下來應(yīng)用分?jǐn)?shù)解決問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
二、轉(zhuǎn)數(shù)為形,簡(jiǎn)化問題類型
學(xué)生之所以會(huì)覺得分?jǐn)?shù)解決問題難,一方面因?yàn)閷?duì)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義理解不到位,另一方面是由于分?jǐn)?shù)乘除法的解決問題類型繁多,對(duì)此教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)解決問題的類型進(jìn)行整合分類,化繁為簡(jiǎn)??v觀所有的分?jǐn)?shù)解決問題,其實(shí)主要分為兩大類型:“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”和“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多(少)幾分之幾”,用字母表示就是“a是b的幾分之幾”和“a比b多(少)幾分之幾”。前者屬于部分與整體之間的關(guān)系,后者屬于不同數(shù)量間相比較的關(guān)系。如何幫助、引導(dǎo)學(xué)生清晰地區(qū)分兩種類型的數(shù)量關(guān)系呢?借助線段圖是非常直觀有效的方法。第一種類型:a是b的幾分之幾,是屬于部分與整體的關(guān)系,所以只需要用一副線段圖就能表示出a和b之間的關(guān)系(圖4)。第二種類型:a比b多(少)幾分之幾,是屬于兩個(gè)數(shù)量間相比較的關(guān)系,所以需要畫兩條線段圖體現(xiàn)a和b比較的關(guān)系(圖5、圖6)。
轉(zhuǎn)數(shù)為形,幫助學(xué)生把復(fù)雜多樣的分?jǐn)?shù)解決問題簡(jiǎn)化為兩大類型,并直觀地讓學(xué)生能清晰區(qū)分這兩種類型,為學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問題提供了明確的方向。
三、數(shù)形結(jié)合,提煉數(shù)量關(guān)系
運(yùn)用數(shù)形結(jié)合能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得比較直觀,它是解決問題的有效方法之一。在分析問題的過程中,把數(shù)和形結(jié)合起來考察,根據(jù)問題的具體情境,先把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的問題,再把圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題,使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,抽象問題具體化,化難為易。在教學(xué)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義時(shí),教師就可以鋪墊分?jǐn)?shù)乘法的數(shù)量關(guān)系:“單位‘1×分率=對(duì)應(yīng)具體量”。在之后的分?jǐn)?shù)解決問題教學(xué)中,基于一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義,教師讓學(xué)生畫出線段圖,再次強(qiáng)化數(shù)量關(guān)系。例如,第一種類型“a是b的幾分之幾”(圖4)。線段圖中的b是單位“1”, 是分率,a就是對(duì)應(yīng)的具體量。所以根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義,數(shù)量關(guān)系就是“b× =a”。在這個(gè)數(shù)量關(guān)系中,要求a也就是對(duì)應(yīng)具體量,直接用b× =a,也就是用“單位‘1×分率”;如果要求b也就是求單位“1”,就可以用方程解的方法,假設(shè)單位“1”為x,當(dāng)然用算術(shù)的方法也可以用a÷ =b;如果要求 也就是求分率,根據(jù)數(shù)量關(guān)系同樣可以用方程解的方法,設(shè)分率為x。也就是說根據(jù)線段圖提煉出來的數(shù)量關(guān)系,只要已知單位“1”,分率和對(duì)應(yīng)具體量這三個(gè)量中的任意兩個(gè),就可以求出第三個(gè)未知的量。又如“a比b多幾分之幾”(圖5)。學(xué)生觀察線段圖,b是比較的標(biāo)準(zhǔn)也就是單位“1”,a是與b比較的比較量。所以根據(jù)線段圖得到數(shù)量關(guān)系是“b+b× =a”,用文字描述也就是“單位‘1+單位‘1的幾分之幾=比較量”。根據(jù)線段圖提煉出的這個(gè)數(shù)量關(guān)系,亦能求出未知的量。圖形與代數(shù)式有著文字?jǐn)⑹鰺o可比擬的優(yōu)勢(shì),小學(xué)生在接受此類知識(shí)時(shí)可能有困難,但這個(gè)困難不是不可以克服的,一旦克服,提高便是飛躍性的。
總之,分?jǐn)?shù)解決問題的教學(xué)是個(gè)循序漸進(jìn)的過程,教師教學(xué)時(shí)應(yīng)以形助數(shù),著眼于意義的理解,化數(shù)為形,化繁為簡(jiǎn),為學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問題提供明確的方向和主線,最終提煉出解決問題的核心——數(shù)量關(guān)系,幫助學(xué)生走出解決分?jǐn)?shù)問題的困境。
(作者單位:福建省廈門市集美區(qū)新源小學(xué) 責(zé)任編輯:王彬 黃哲斌)