●莊俊輝 胡華葉(金華市第六中學(xué) 浙江金華 32100)

對一道高考解析幾何試題的再挖掘*

●莊俊輝 胡華葉
(金華市第六中學(xué) 浙江金華 32100)

在數(shù)學(xué)高考中，解析幾何問題因運(yùn)算量大、思路不明確，學(xué)生易畏難.文章通過研究高考試題，發(fā)現(xiàn)需要抓住典型，深入研究、引申、推廣，從而得到圓錐曲線的共同特點(diǎn)和相關(guān)結(jié)論，使高三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)教學(xué)更有效，更有利于不同層次的學(xué)生有各自的收獲.

一般化推廣；充要條件；類比推廣；變式拓展

解析幾何大題是學(xué)生比較害怕的題目，主要是思路不明確、運(yùn)算量大，造成成就感低，普遍有畏難情緒.最近，筆者在研究高考試題時(shí)發(fā)現(xiàn)解析幾何題的破解，還是需要抓住典型，深入研究一些引申和推廣,下面以2010年全國數(shù)學(xué)高考理科試題第21題為例進(jìn)行說明.

題目 已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)K(-1,0)的直線l與C相交于點(diǎn)A,B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D.證明：點(diǎn)F在直線BD上．

1 一般化推廣

將以上問題中的拋物線和點(diǎn)一般化，可得：

推廣1 已知拋物線y2=2px(其中p>0),在x軸上有一點(diǎn)P(t,0)(其中t>0),過點(diǎn)Q(-t,0)的直線l與拋物線相交于點(diǎn)A,B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D.證明：點(diǎn)P在直線BD上．

圖1

證明 如圖1，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由對稱性知D(x1,-y1).將直線l的方程x=my-t(其中m≠0)代入y2=2px,得

y2-2pmy+2pt=0,

y1+y2=2pm,y1y2=2pt,

從而直線BD的方程為

即

令y=0,得

從而點(diǎn)P(t,0)在直線BD上．

2 充要條件

交換部分條件和結(jié)論，便產(chǎn)生一道新題，即：

推廣2 已知拋物線y2=2px(其中p>0),過定點(diǎn)Q(-t,0)(其中t>0)的直線l與拋物線相交于點(diǎn)A,B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D.證明：若直線BD與x軸相交于點(diǎn)P，則P為定點(diǎn)(t,0)．

顯然，由推廣1的證明不難得出．

這種狀況當(dāng)然不適合有外人在場。但一切來得太快，也來得太突然，柳紅想避已經(jīng)避不開了，她像是被孫悟空定了身，傻傻地豎在蘇秋琴面前。蘇秋琴也如同從噩夢中驚醒，兩眼驚恐地盯著她弟媳婦柳紅。四目相對，猶如雷電相擊，震得倆人趕緊別頭，一個(gè)張東，一個(gè)望西。

綜合推廣1和推廣2，可得：

推廣3 已知拋物線y2=2px(其中p>0)，在x軸上有一點(diǎn)P,過點(diǎn)Q(-t,0)(其中t>0)的直線l與拋物線相交于點(diǎn)A,B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D.證明：點(diǎn)P在直線BD上的充要條件是P為定點(diǎn)(t,0)．

3 類比推廣

正如數(shù)學(xué)家波利亞感嘆：“類比是偉大的引路人.”[1]我們知道拋物線與橢圓、雙曲線具有部分統(tǒng)一性，橢圓、雙曲線上是否具有拋物線上述類似發(fā)現(xiàn)？

圖2

(a2+b2m2)t2y2+2mta2b2y+a2b2(a2-t2)=0,

(充分性)若P為定點(diǎn)(t,0)，則

(必要性)不妨設(shè)點(diǎn)P(x0,0),則

若點(diǎn)P在直線BD上，則kPB-kPD=0,即

對于橢圓有推廣4，對于雙曲線是否也有同樣的結(jié)論呢？答案是肯定的，證明方法與推廣4基本相同，只需將橢圓發(fā)現(xiàn)證明過程中的b2換成-b2，便可得如下結(jié)論：

4 變式拓展

一道好的試題通常是命題者研究成果的結(jié)晶，它們在一個(gè)新的背景下，變換了部分條件和結(jié)論，或者是給出某個(gè)問題的一個(gè)特例，便又生成了一道新題，不斷產(chǎn)生思維挑戰(zhàn)．筆者又作了如下探究：

推廣6 已知拋物線y2=2px(其中p>0),在x軸上有一點(diǎn)P(m,0)(其中m≠0),過點(diǎn)Q(n,0)(其中n≠0)的直線l與拋物線相交于點(diǎn)A,B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D.證明：點(diǎn)P在直線BD上的充要條件是m+n=0．

探究一道好題，如飲美酒回味無窮；掌握一種方法，如獲至寶愛不釋手；理解一種思想，如登泰山絕頂，一覽眾山小.在新高考文理同卷的背景下，數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)教學(xué)更應(yīng)該在有限的題目和時(shí)間里挖掘，以匹配不同層次的學(xué)生，讓他們有各自的收獲.

[1] 虞懿,曹斌.2015年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ理科第20題的探究歷程[J].數(shù)理化解題研究，2016(4)：18-19.

2017-02-28；

2017-03-30

莊俊輝(1983-)，男，浙江金華人，中學(xué)二級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)05-25-02