●洪昌強(qiáng)(臺(tái)州市第一中學(xué) 浙江臺(tái)州 318000)

別錯(cuò)失培養(yǎng)創(chuàng)新意識的機(jī)遇*
——以等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式教學(xué)為例

●洪昌強(qiáng)
(臺(tái)州市第一中學(xué) 浙江臺(tái)州 318000)

一個(gè)具有創(chuàng)新型的人，一定具有較強(qiáng)的創(chuàng)新意識.在平時(shí)教學(xué)中，由于缺乏相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致創(chuàng)新意識的培養(yǎng)機(jī)遇錯(cuò)失現(xiàn)象十分普遍，學(xué)生的創(chuàng)新意識沉淪不起，創(chuàng)新思維能力得不到發(fā)展.文章通過案例指出創(chuàng)新意識的培養(yǎng)機(jī)遇不可錯(cuò)失.

創(chuàng)新意識;高斯算法;等差數(shù)列求和

1 問題提出

錢學(xué)森之問“為什么我們的學(xué)校總是培養(yǎng)不出杰出人才？”雖然這是一個(gè)既龐大又復(fù)雜的教育工程，但“教師能做什么，數(shù)學(xué)課堂又能做什么”，這是值得每位教師思考的問題，也是教育工作者的職責(zé).筆者以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”教學(xué)為例，談?wù)剛€(gè)人的一些教學(xué)實(shí)踐和感悟.

2 過去教學(xué)

按教科書編排順序，先介紹高斯的算法，再由此啟發(fā)學(xué)生如何求一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)和，然后講解求和公式的應(yīng)用.課堂中教師的教學(xué)比較順暢，學(xué)生的課本作業(yè)也能完成.課后反思：為什么要先介紹高斯的算法？怎么不問學(xué)生是怎么想？學(xué)生有什么獲得感？這樣的教學(xué)能培養(yǎng)出高斯這樣大師級的人才嗎？

3 教學(xué)改進(jìn)

機(jī)遇1 體會(huì)簡捷算法——好奇

數(shù)列求和是一種加減運(yùn)算，過程是一個(gè)化簡過程，也是合并過程，但不同的算法所帶來的效果不一樣.

問題1 如何計(jì)算以下數(shù)列的各項(xiàng)和？

1) 13，13，13，13，13，13，13；

2) 11，-7，2，-1，5，-4，8.

圖1

問題2 如何計(jì)算圖1中的鋼管數(shù)？對問題1中的2個(gè)問題你有何感想?

設(shè)計(jì)意圖 使用學(xué)生熟悉的學(xué)習(xí)內(nèi)容來提供支持，即使是學(xué)習(xí)有困難不情愿學(xué)習(xí)的學(xué)生，也可以讓他們發(fā)現(xiàn)自己可以利用過去的知識來參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，并在學(xué)習(xí)討論中感到愜意.若按教材直接拋出求“1+2+3+…+100”，學(xué)生對此相當(dāng)熟悉，甚至能背出結(jié)果5 050.這樣會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)缺少新鮮度.

問題1、問題2以“如何計(jì)算”和“有何感想”提出問題，具有問題性、思考性、啟發(fā)性，問題1第1)小題之所以求和方便是因?yàn)椤笆阶用馈?，每?xiàng)相同,也是等差數(shù)列求和的歸宿.問題1第2)小題中的式子結(jié)構(gòu)沒有第1)小題這樣良好，不愛思考的學(xué)生按習(xí)慣思維處理，一個(gè)勁地按原式排列順序然后逐項(xiàng)相加，因此感到繁鎖.而愛思考的學(xué)生會(huì)問：有無簡捷的算法？雖然和式中各數(shù)排序有點(diǎn)“亂”，但又覺得不亂.通過調(diào)整各項(xiàng)次序，讓式子變“美”，結(jié)果發(fā)現(xiàn)“好”的計(jì)算方法，體會(huì)加減運(yùn)算也有巧妙方法.問題2以貼近學(xué)生日常生活，但又不俗落套，通過情境啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)每堆鋼管數(shù)雖不同，但經(jīng)過補(bǔ)形可成為一個(gè)平行四邊形.簡單的問題也有值得思考的地方，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心，最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)主動(dòng)性和自覺性.同時(shí)，溯源高斯的算法，為下面探索等差數(shù)列求和公式提供支持.

機(jī)遇2 親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律——自信

若按教材先介紹高斯的算法，學(xué)生聽后只是佩服高斯小時(shí)候聰明，情感上對高斯進(jìn)行贊嘆,但沒有發(fā)現(xiàn)自己的能力,沒有給自己增加學(xué)習(xí)自信.其實(shí)束縛了學(xué)生的思維，把學(xué)生的思維捆死在一條路上，嚴(yán)重阻礙了學(xué)生的思維發(fā)展,創(chuàng)新能力被扼殺.

問題3 如何求1+2+3+…+n?

問題3中雖然各項(xiàng)的數(shù)是自然數(shù)，比較簡潔，但項(xiàng)數(shù)處于動(dòng)態(tài)中，其和隨n的變化而變化,變化規(guī)律怎樣？學(xué)生通過探究得到以下幾種處理方法:

接著，教師介紹高斯算法及他的數(shù)學(xué)研究成就.

設(shè)計(jì)意圖 高斯算法通過加法運(yùn)算結(jié)合律與交換律，對各項(xiàng)重新組合化為統(tǒng)一.學(xué)會(huì)使用一種方法并不是學(xué)習(xí)的目的，學(xué)習(xí)應(yīng)該超越掌握這個(gè)方法的本身東西——具有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)建這些方法的本領(lǐng).問題3雖然還是求和，但其和隨項(xiàng)數(shù)變化而變化，起到了從常量到變量的過渡，自然滲透了函數(shù)思想,并讓學(xué)生親身發(fā)現(xiàn)數(shù)列的和與n的變化關(guān)系規(guī)律及二次函數(shù)有緊密聯(lián)系.通過開放式教學(xué)，讓學(xué)生發(fā)表不同的想法，對于學(xué)生個(gè)人來說，各種方法都有一定的思維價(jià)值.學(xué)生完成了與高斯一樣的創(chuàng)造活動(dòng)，感覺自己像科學(xué)家一樣，偉人能行我也行，增強(qiáng)自我勝任感，鼓足了探索和解決新問題的勇氣，把教師的知識和責(zé)任內(nèi)化為自己學(xué)習(xí)的動(dòng)力.問題3還為等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)起到拉動(dòng)思維引擎的作用.

機(jī)遇3 大膽探索新的方法——好勝

學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式,僅僅是為了得到公式的結(jié)果嗎?教育是讓人去思考、學(xué)知識，又讓思維技能得到發(fā)展.因此,等差數(shù)列求和公式教學(xué)不能匆促結(jié)束,教師要幫助學(xué)生對知識重建“再創(chuàng)造”的情境,讓學(xué)生親自去經(jīng)歷、探索問題解決的方法.

問題4 你能求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和Sn嗎？希望大家有新的方法發(fā)現(xiàn).對各種推導(dǎo)方法你有什么想法？

在問題3的啟發(fā)下，得到以下思路：

思路1 根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，將問題4化歸為問題3進(jìn)行處理：

Sn=a1+a2+…+an=

na1+(1+2+3+…+n-1)d=

思路2 根據(jù)等差數(shù)列{an}的性質(zhì)，可得

ak+an-k+1=a1+an(其中k∈N且1≤k≤n),

從而

2Sn=n(a1+an).

以上2種方法多數(shù)學(xué)生都能獨(dú)立完成.

圖2 圖3

思路3 受問題2的啟發(fā)，借助圖形處理,如圖2，將梯形補(bǔ)成矩形,得

2(a1+a2+…+an)=n(a1+an).

思路4 如圖3，在直角坐標(biāo)系中，通過線段平移及迭加的方法，直接找點(diǎn)Pn(n,Sn)的位置，當(dāng)公差d均為正數(shù)時(shí)，隨n不斷增大點(diǎn)Pn不斷升高,但上升速度并不是均速直線上升，而是越來越陡峭，貌似二次函數(shù)圖像的特征.又因?yàn)镾1=a1,所以猜想Sn=(n-1)(An+B)+a1.

圖4

思路5 如圖4，從面積入手，將大梯形分割成n-1個(gè)小梯形,由于每個(gè)小梯形的高均為1，因此

從而

思路6 類似思路5，也可將大梯形分割成n-1個(gè)小矩形和n-1個(gè)全等小三角形進(jìn)行處理.

以上6種方法均體現(xiàn)了數(shù)與形相互協(xié)調(diào)對稱之美.

設(shè)計(jì)意圖 問題4中求Sn涉及到n個(gè)不同的字母，需要學(xué)生尋找這些字母之間的聯(lián)系以及它們的變化規(guī)律.有了問題3的探究經(jīng)歷,絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)利用高斯算法或化歸為問題3進(jìn)行處理.問題4中“希望大家有新的方法發(fā)現(xiàn)”,對一些會(huì)思考的學(xué)生,在追求創(chuàng)新目標(biāo)驅(qū)動(dòng)下，投入到新方法探索中.思路3和思路4通過函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行處理.思路5和思路6從面積角度著手，對數(shù)列各項(xiàng)的“和”理解為區(qū)間[1,n]函數(shù)值之和，其函數(shù)值的和與各“小塊”的面積之和密切相關(guān)(積分就是一種無限分割求和的極限計(jì)算).思路3～6角度獨(dú)特、新穎，跨越經(jīng)驗(yàn)型思維定勢，超越權(quán)威.這些方法來自學(xué)生經(jīng)過自己的艱難探索而獲得，更堅(jiān)信我能行.孤立方法形成不了能力，注重學(xué)科知識間的融合，加強(qiáng)各種方法的聯(lián)系，讓各種各樣的聯(lián)系滋生出不可思議的美妙問題，有利于提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.因此,在探索各種方法之后,接著讓學(xué)生總結(jié)各方法之間的內(nèi)在聯(lián)系,隨著學(xué)生的深入探究，公式更加鮮活，課堂更富有生命.

機(jī)遇4 敢于提出新的問題——?jiǎng)?chuàng)新

教科書上安排的5個(gè)例題所涉及的內(nèi)容都是特殊的等差數(shù)列，問題也比較簡單，直接應(yīng)用公式就可解決，其意圖是鞏固公式，這僅是強(qiáng)調(diào)雙基的落實(shí).若就此收官,思考力的培養(yǎng)將失去一次肥沃土壤.優(yōu)質(zhì)的教學(xué)能極大地促進(jìn)學(xué)生持續(xù)發(fā)展，高成就的學(xué)生往往在接受具有挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)任務(wù)方能得到發(fā)展.

問題5 結(jié)合教科書中的4個(gè)例題，請你對{an}和{Sn}這2個(gè)數(shù)列談?wù)勀男﹩栴}值得你關(guān)注?你發(fā)現(xiàn)了哪些結(jié)論？你解決了哪些問題？

1)由例1和例2可知確定等差數(shù)列只需要2個(gè)獨(dú)立條件.

2)由例3知{an}的通項(xiàng)an可以由Sn確定,并且它們的關(guān)系為an=Sn-Sn-1(其中n≥2).

3)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的形式一定是Sn=pn2+qn.反過來,Sn=pn2+qn+r并不是等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和的結(jié)果，除非r=0.

5)在例2的條件下，求S30特別方便，因?yàn)镾10,S20-S10,S30-S20成等差數(shù)列.不僅如此，有更一般的結(jié)論：Sn，S2n-Sn,S3n-S2n和Sm,S2m+t-Sm+t,S3m+t-S2m+t仍然成等差數(shù)列.

6)若{an}的公差為正數(shù),則{Sn}一定是遞增數(shù)列嗎?反之,若{Sn}是遞增數(shù)列,則{an}的公差一定為正嗎?

7)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大(小)值是在|an|最小處或附近達(dá)到.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生在自主學(xué)習(xí)教科書中的4個(gè)例題后，教師設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，給充足的思考時(shí)間，鼔勵(lì)學(xué)生拓展思路，自由暢想，激發(fā)創(chuàng)新熱情，對各個(gè)問題大膽假設(shè)，求索未知，認(rèn)真求證，創(chuàng)造新事物,讓創(chuàng)新成為習(xí)慣.

4 感悟

創(chuàng)新意識的培養(yǎng)機(jī)遇不是靠等待的，機(jī)遇掌握在每位教師心中，需要教師去挖掘、去捕捉、去把握、去落實(shí).因此，教師應(yīng)長期致力于創(chuàng)造一個(gè)有激發(fā)力的課堂.

4.1 創(chuàng)新意識人人常有

弗蘭登塔爾先生曾說：“即使是兒童，也已經(jīng)具有某種‘潛在的發(fā)現(xiàn)能力’，他們的思維和行為方式已經(jīng)具備了某些教師甚至研究人員的特征.”主動(dòng)學(xué)習(xí)是創(chuàng)新教育的核心,因此，教師首先要走進(jìn)學(xué)生，懂得學(xué)生，理解學(xué)生，喚醒學(xué)生，激活生命內(nèi)力的教育才算成功教育開始.其次,教師要尊重學(xué)生,由于各個(gè)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)背景不同，對問題的理解和想法也存在一定差異，教師設(shè)置問題的起點(diǎn)要低,貼近學(xué)生實(shí)際,激發(fā)創(chuàng)新活力，把每位學(xué)生的創(chuàng)造力激發(fā)出來.第三,課堂上開放學(xué)生的思維，給學(xué)生留足思考的時(shí)空,鼔勵(lì)求異求活,讓各個(gè)學(xué)生有機(jī)會(huì)交流對問題的質(zhì)疑、思維過程及探索過程的各種困難、感受，共同分享.

4.2 創(chuàng)新意識處處常在

教材在很大程度上決定著學(xué)生的學(xué)和教師的教，而每個(gè)概念、定理、公式、例題，每種解法都蘊(yùn)涵著深厚的意義，有其發(fā)生、形成的過程.《課標(biāo)》指出：“使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造’過程”“讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.”因此，教師首先要讀懂教材，理解教材，挖掘教材，用好教材.教學(xué)時(shí)通過創(chuàng)設(shè)反映數(shù)學(xué)事實(shí)的恰當(dāng)情境，引導(dǎo)和組織學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)知識再創(chuàng)造的過程.其次,開啟數(shù)學(xué)思想方法的導(dǎo)航燈,數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，也是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的基礎(chǔ)和源泉，數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維是以數(shù)學(xué)思想為支撐點(diǎn).本節(jié)課的教學(xué)展現(xiàn)了數(shù)列求和公式的認(rèn)識過程：算式→變化→對應(yīng)，在公式探索過程中，運(yùn)用化歸、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，展示數(shù)學(xué)思維的美妙，體驗(yàn)數(shù)學(xué)力量感，滿足了學(xué)生求新求異的欲望，孕育了不斷創(chuàng)新的意識.

4.3 創(chuàng)新意識時(shí)時(shí)常問

維系創(chuàng)新意識運(yùn)行的生命是問題，問題是思維的起點(diǎn).劉紹學(xué)先生語：“問題使我們的學(xué)習(xí)更主動(dòng)、更生動(dòng)、更富探索性.要善于提問，學(xué)會(huì)提問，‘凡事問個(gè)為什么’，用自己的問題和別人的問題帶動(dòng)自己的學(xué)習(xí).”讓問題始終伴隨著創(chuàng)新思維的發(fā)展,如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)問？提出“好”的問題？學(xué)起源思，思起源疑.首先,要鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑.在想每一件事時(shí)要有疑：疑大與小，疑新與老，疑異與同，疑優(yōu)與劣，疑靜與動(dòng)，疑有與無.其次,要引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)問.在做每一件事時(shí)要會(huì)問：是什么？做什么？會(huì)什么？為什么？怎么做？還有什么?經(jīng)常這樣疑和問，不僅把當(dāng)前的問題弄明白了，而且把相關(guān)的問題加深了理解.長期下去，不僅可以提高思維能力，還可以提升思維品質(zhì),養(yǎng)成科學(xué)的思維態(tài)度，最后不知不覺發(fā)現(xiàn)自己聰明起來了，為繼續(xù)學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，創(chuàng)新熱情也愈來愈高.

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的核心,是學(xué)好數(shù)學(xué)知識和提高數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵.“數(shù)學(xué)是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也”“概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞”，數(shù)學(xué)的建構(gòu)完全依賴于一個(gè)一個(gè)明確的概念，沒有數(shù)學(xué)概念就沒有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維,因此對數(shù)學(xué)概念的充分理解往往能從本質(zhì)上抓住解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵所在.因此在概念教學(xué)時(shí)，教師要不惜時(shí)、不惜力，充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)心理和認(rèn)知規(guī)律,做到自然平和,并且能深刻揭示概念的本質(zhì),挖掘概念的內(nèi)涵和外延，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)教材能看懂、吃透，讓學(xué)生真正理解教材、掌握教材.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第15題)

進(jìn)一步挖掘橢圓概念的內(nèi)涵與外延，發(fā)現(xiàn)還有一種方法可以獲得橢圓概念：平面內(nèi)與2個(gè)定點(diǎn)連線的斜率乘積為一個(gè)負(fù)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為橢圓.將圖形上升為一種理念，充分挖掘圖形的性質(zhì)，建立圖形化思想，從本質(zhì)入手，對問題的研究引向更高的層次.

圖1

分析 有的學(xué)生直接將斜率“翻譯”成

因此

這樣的轉(zhuǎn)化得益于對橢圓概念的深刻理解.章建躍博士曾經(jīng)說過：“要讓學(xué)生養(yǎng)成‘回到概念去’思考和解決問題的習(xí)慣.”概念理解越深刻，解題越簡潔越流暢，抓住了概念也就抓住了解決問題的關(guān)鍵.

教師把握教材編寫意圖，整體把握教材，對教材按照教師教和學(xué)生學(xué)的視角進(jìn)行重構(gòu)，將教材適度拓展和改造，幫助學(xué)生把蘊(yùn)藏在教材中那些隱含的知識點(diǎn)挖掘出來，深刻理解概念,就能使學(xué)生真正看懂、吃透數(shù)學(xué)教材，讓學(xué)生真正理解教材、掌握教材.只有從概念出發(fā)解決問題,回本溯源,培養(yǎng)學(xué)生“回到概念去”的思維習(xí)慣,才能真正理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

1.2 善于數(shù)形互助，讓思維回歸“自然”

世界數(shù)學(xué)大師波利亞強(qiáng)調(diào)：“我們必須不斷變換你的問題，重新敘述它，變換它，直到最后成功找到某些有用的東西為止.”[1]在求解運(yùn)動(dòng)型問題時(shí)，要努力抓住一些運(yùn)動(dòng)過程中保持不變的量或變量之間的相互依賴與聯(lián)系，去發(fā)現(xiàn)量和量之間的關(guān)系，探求規(guī)律，使問題向有利于解決的方向轉(zhuǎn)化.

例3 已知平面向量a,b,c,滿足|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)·(b-c)=0,求|a-b|的取值范圍.

圖2

|r-1|≤|OM|≤r+1.

解得

故

本題得益于徹底理解概念、曲線的幾何意義和曲線的代數(shù)特征.點(diǎn)C雖在動(dòng)，但解題過程抓住不變性，對題目的條件和所求既分析其代數(shù)意義，又分析其幾何意義，挖掘圖形的幾何性質(zhì)，把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題去研究，找準(zhǔn)突破點(diǎn)，可以少做很多無用功.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

圖3

分析 問題表征是解決問題的前提，本題若能抓住問題的圖形性質(zhì),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析，理清問題的數(shù)形關(guān)系，關(guān)注圖形背后隱含的性質(zhì)或結(jié)論，則可觸及問題的本質(zhì).本題實(shí)際上是考查向量投影的問題(如圖3),解法如下：

而向量|a·e|=|OA1|,|b·e|=|A1B1|分別表示向量a,b在e上的投影，從而

即

a2+b2+2a·b=5+2a·b≤6,

故

對某一問題迅速、靈活、正確、完整地處理并加以創(chuàng)造性地運(yùn)用，不僅能提升學(xué)生分析問題的能力，也能真正內(nèi)化成為自己的思想智慧，從而提升學(xué)生的“自我生長”能力.

2 合理建立模型,讓思維回歸“自然”

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段.教師要促使學(xué)生能合理建模，在抓住問題本質(zhì)的同時(shí)，真正領(lǐng)悟?qū)?shù)學(xué)形式化的要求和應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高問題解決能力.

教師根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論所具有的一些特點(diǎn)和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，跳出常規(guī)思路，創(chuàng)造性地建構(gòu)恰當(dāng)?shù)摹拜d體”，進(jìn)一步構(gòu)造出符合條件和結(jié)論的數(shù)學(xué)形式，化歸為原有的數(shù)學(xué)模型，從而使問題向有利于解決的方向轉(zhuǎn)化.

例5 設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足

求a,b,c的值.

(2014浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第22題)

分析 該題是一個(gè)解方程組的問題，直接消元無從下手.該題貌似與解三角形毫無關(guān)系，但只要回顧比較余弦定理的形式特點(diǎn)就能將問題轉(zhuǎn)化為容易解決或者更能反映問題本質(zhì)特征的另一種形式，使比較隱蔽的問題直觀化.將方程組化為

構(gòu)造如圖4所示的圖形，其中OA=a，OB=b，OC=c，∠AOB=90°,∠AOC=120°,∠COB=150°,則

圖4

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，問題表征是問題解決的前提[1].學(xué)生以何種形式在頭腦中呈現(xiàn)問題具有決定性的作用，甚至可以說如果一個(gè)問題被正確表征，問題解決就成功了一半.數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是建立在深刻理解所學(xué)知識的基礎(chǔ)上的，解題過程閃爍著思維的火花和創(chuàng)造的靈感.

例6 已知實(shí)數(shù)a,b,c，滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a,b,c中至少有1個(gè)不小于2.

即

a≥2.

例7 已知a,b是實(shí)數(shù)，且eba.

章建躍博士曾指出：“數(shù)學(xué)育人要用數(shù)學(xué)的方式，為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)而教，而數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要要素，是用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題.”[3]在教學(xué)中，教師要及時(shí)歸納比較，幫助學(xué)生積累一些解題中常見的數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生從不用的角度進(jìn)行分析，理清解題思路并按照題型的問題條件與所積累的模型建立聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)構(gòu)造，提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造力.

3 善于聯(lián)系遷移，讓思維回歸“自然”

布魯納曾說過：“學(xué)生獲得的知識如果沒有完整的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系起來，那是一種多半會(huì)遺忘的知識.”章建躍博士在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)闡述時(shí)指出:“‘性質(zhì)—結(jié)構(gòu)’主要是指數(shù)學(xué)推理，是建立相關(guān)知識之間的聯(lián)系而形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.”[3]在解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不能總是簡單地重復(fù)，應(yīng)該加入自己的思考和主動(dòng)探究，不能只停留在“聽懂”“看懂”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能只停留在表面，要從實(shí)質(zhì)上進(jìn)一步深入研究，加強(qiáng)探尋數(shù)學(xué)知識和方法之間的聯(lián)系和規(guī)律，形成知識網(wǎng)絡(luò)，在反思中總結(jié)與聯(lián)想，逐步實(shí)現(xiàn)“一題多解，多解歸一，多題歸一”，即站在系統(tǒng)的高度解題分析和整體把握，達(dá)到解題方法的遷移、解題能力的提升.

例8 1)若f(x)=(x+a)(|x-a|+|x-4|)的圖像是中心對稱圖形，則a=______.

(2013年上海市春季數(shù)學(xué)高考試題第31題改編)

分析 函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.這是一個(gè)關(guān)于函數(shù)中心對稱問題的題組，解決此類問題要聯(lián)想奇函數(shù)圖像的性質(zhì)，所有的中心對稱本質(zhì)上都是奇函數(shù)圖像的平移.回歸清楚的思路和自然的聯(lián)系,將3個(gè)問題回歸轉(zhuǎn)化成奇函數(shù)問題.

1)化簡得

f(x-a)=x(|x-2a|+|x-a-4|).

要使f(x)為中心對稱圖形，而g(x)=x是奇函數(shù)，因此只要h(x)=|x-2a|+|x-a-4|為偶函數(shù)，即

2a+a+4=0，

從而

2)聯(lián)想到函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a,b)對稱的充要條件是

f(x)+f(2a-x)=2b，

即“函數(shù)y=f(x+a)-b是奇函數(shù)”與“y=f(x)的對稱中心為(a,b)”等價(jià)的本質(zhì)，得出a=2,b=1.

例9 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=|x2-ax|在區(qū)間[0,1]上的最大值記為g(a)，當(dāng)a=______時(shí)，g(a)的值最小.

(2015年湖北省數(shù)學(xué)高考文科試題第17題)

這樣的例子在高中數(shù)學(xué)中還有很多，通過探究反思，揭示聯(lián)系，進(jìn)而形成遷移，不僅能使學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還能使學(xué)生建立知識網(wǎng)絡(luò)，掌握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，更能使學(xué)生真正抓住數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在本質(zhì)，從而提升對數(shù)學(xué)思想方法的理解，并引領(lǐng)學(xué)生走出題海.教師應(yīng)從數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)出發(fā)，在知識上指導(dǎo)學(xué)生注意追根究底，尋找知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，在比較中學(xué)習(xí)新知識，站在哲理的高度思考問題，注重聯(lián)想.教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生善于聯(lián)系，善于追根究底，明白命題者的思路，探尋知識與方法之間的聯(lián)系和規(guī)律，尋找條件和結(jié)論之間的差異和本質(zhì)聯(lián)系，達(dá)到解題方法的遷移、解題能力的提升，提升對問題的本質(zhì)認(rèn)識，讓學(xué)生在不斷地聯(lián)系和整合中，豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，站在系統(tǒng)的高度理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建更廣更有效的解題經(jīng)驗(yàn).

4 反思與總結(jié)

把數(shù)學(xué)教好是落實(shí)核心素養(yǎng)的前提，關(guān)鍵是要“示以學(xué)生思維之道”，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的理解和本質(zhì)的揭示[4].讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“獲得對象—研究性質(zhì)—應(yīng)用拓展”過程,并在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的過程中培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，使學(xué)生能深刻、理性并靈活地思考問題，能用數(shù)學(xué)的方式認(rèn)識問題和解決問題.

培養(yǎng)學(xué)生的理性思維是數(shù)學(xué)課程的核心任務(wù)，這就是教學(xué)的“宗”.在實(shí)施解題教學(xué)中，要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生展示數(shù)學(xué)解題的思維過程，在“清楚”如何做的基礎(chǔ)上，更要理解“為何這樣做”，讓學(xué)生感悟解題的思維過程，避免機(jī)械地、盲目地生搬硬套[3].一個(gè)優(yōu)秀的思維水平較高的學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)知識清晰地分析問題，能直接道出問題的本質(zhì)和解決問題所用的思想方法，建立知識之間的聯(lián)系、對比、分析，并能合理遷移.

解題教學(xué)不是教師自己解題,更不是僅僅幫助學(xué)生解出一道題的結(jié)果,也不是方法的堆積.它是以典型的案例為載體,通過具體問題的解決,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用知識,同時(shí)領(lǐng)悟解題策略和方法,提升學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生“自我生長”能力的提高.

[1] 波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

[2] 江志杰.“圓”來如此精彩[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016(4):12-14.

[3] 章建躍.樹立課程意識,落實(shí)核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016(5):1-4.

[4] 曹鳳山.講好數(shù)字背后的故事[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(6):1-4.

2017-01-09；

2017-02-20

洪昌強(qiáng)(1963-)，男，浙江臺(tái)州人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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A

1003-6407(2017)05-01-04