周瑩

[教學(xué)片段1]特異功能“慢”激趣

師：我練了一項特異功能，你們想不想知道？

師：從1開始連續(xù)奇數(shù)相加，我算得比計算器還快。想不想試試？

[賞析]開場，彭老師在告訴學(xué)生“特異功能”是什么后，開始了“人機大賽”。借著一個“太長了”的算式，學(xué)生對“用逐個相加的方法”計算的煩瑣有了深刻的體會。放慢腳步，卻在對話中拉近了師生之間的距離，還讓學(xué)生切身體會到“特異功能”的妙處，有效地激發(fā)了學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的欲望。

[教學(xué)片段2]數(shù)形聯(lián)系“慢”感受

師展示圖2-5：請你寫出表示小正方形個數(shù)的算式。

師為每個小組下發(fā)一組圖形：寫出算式，計算你手上拿的那個圖形的小正方形的個數(shù)。

師：怎么計算圖中小正方形的個數(shù)？

生反饋：2乘2等于4個。2的平方。1+3。

師：1+3求的是什么？2求的又是什么？

生：都是求圖中小正方形的數(shù)量。

師：這兩個式子是？（相等的）

師：第二個圖形。

生反饋：3²等于9。1+3+5=9。

師：這里的數(shù)表示？

生：l表示的是白色的小正方形，3表示藍色的小方格，5表示紅色的小正方形的數(shù)量。

生：有三層，每層三個，3乘3就是3²。

師：第三個圖形的算式是什么？

生：1+3+5+7--42。

師：這里的數(shù)都表示什么？

生：1表示的是白色的小正方形，3表示藍色的小方格，5表示紅色的小正方格，7表示綠色的小正方形。

生.：我發(fā)現(xiàn)了老師的秘訣，那個算式就是16的平方，就是256。

師：他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了我的秘訣了！剛剛我們研究了四個圖形，我再補充一個（圖1）。

師：它的算式怎么寫？

生：1=1²。

師：我們觀察一下，這些等式的左邊和右邊有什么規(guī)律？再結(jié)合圖形來解釋一下（分組討論）。誰來匯報一下？

生：右邊都是項數(shù)的平方。兩個數(shù)就是2²，4個數(shù)就是4²，以此類推。

生：如果有n個加數(shù)就是n的平方。

生：左邊是1+3，1和3的中間是2，右邊就是22；左邊1+3+5，它們的中間是3，右邊就是3²？

師：觀察一下，是不是都有這樣的規(guī)律？

生：有的，1+3+5+7就是3和5中間是4，右邊就是4²。

師：誰能結(jié)合圖形來解釋一下？需不需要討論一下？小組討論一下。

生：我還發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律，大正方形一行是幾就是幾的平方。

生：“1+3+5+7”這樣四層小正方形，就剛好構(gòu)成了一個4行4列的大正方形，所以1+3+5+7=4²。

師：猜一猜，第6個圖形是什么樣子的？

生反饋：1+3+5+7+9+11=6²。在黑板上最后一幅圖外面再加一層。就是6行，每行有6個的一個大正方形。

師：第7個圖形呢？

生反饋：在外層再加13個。1+3+5+7+9+11+13=7²。

師：剛剛看到，有的同學(xué)一邊說一邊在扳手指（教師模仿動作），這是在做什么？

生：在數(shù)加數(shù)的個數(shù)，第7幅圖的左邊應(yīng)該有7個加數(shù)。

師：我的特異功能你們知道是什么了嗎？如果100個連續(xù)奇數(shù)相加，得數(shù)是？

生：100的平方10000。

[賞析]彭老師放大了數(shù)形聯(lián)系的過程，讓學(xué)生用多種算式表示圖形中小正方形的個數(shù)，建立“數(shù)與形”之間的鏈接：同時，從“求同一幅圖中小正方形的數(shù)量”建立兩種算式之間的對等關(guān)系，使學(xué)生清晰地感受到數(shù)與形的聯(lián)系。以“左邊和右邊有什么規(guī)律？結(jié)合圖形解釋一下”這個問題為引，進一步引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)形結(jié)合的方式考慮問題，實現(xiàn)數(shù)與形的相互印證。當(dāng)學(xué)生一度出現(xiàn)困難時，彭老師沒有急于登場，而是留給他們足夠的時間，針對問題及時有效地組織學(xué)生再一次討論交流，足見教者捕捉學(xué)生即時學(xué)習(xí)思維狀態(tài)與靈活調(diào)控課堂的功力。

[教學(xué)片段3]以形助數(shù)“慢”運用

出示習(xí)題：

①1+3+5+7+5+3+1=（ ）

②1+3+5+7+9+1 1+13+1 1+9+7+5+3+1=（ ）

③（）=9²

師：題①的得數(shù)是多少？你是怎么想的？

生：25，先算1+3+5是9，再看后面是7，然后后面是5+3+1，其實就是兩個3的平方，再加7。

生：1+3+5就是3²，后面7+5+3+1是4²，合起來就是25。

師：1+3+5就是黑板上的圖幾？7+5+3+1是圖幾？

生：這個式子其實就是黑板上圖3和圖4的組合。

師：第二題？

生：把這個算式分成兩個部分。1+3+5+7+9+11+13=7²，11+9+7+5+3+1=6²，相加是85。

師：這是哪些圖形的組合？

生：應(yīng)該順下去的第6和第7個圖形的組合。

師：想一想9²是什么樣子的？

生：就是這樣排下去的第9個圖形。

生：1+3+5+7+9+11+13+15+17=9²。（學(xué)生一邊說一邊用手指計數(shù)）

師：你是怎么想到的？

生：9層就是9個奇數(shù)連加！

生：從1開始，9個連續(xù)奇數(shù)相加的和就是92。

師：觀察算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：加數(shù)個數(shù)的平方等于加數(shù)的和。

師：大家回憶一下，這個規(guī)律我們是怎么研究的呀？

師：我們就是借助黑板上這些圖形，發(fā)現(xiàn)了這些算式的規(guī)律。

[賞析]六年級學(xué)生認(rèn)知水平處于從具體運算向邏輯運算的過渡階段，部分學(xué)生不能完全脫離直觀來研究邏輯。在第一次練習(xí)的環(huán)節(jié)，教者并沒有完全脫離形來研究數(shù)，而是在學(xué)生說出思考過程后，及時地讓學(xué)生以形代數(shù)、以數(shù)表形，解析清楚這樣計算的道理，幫助運用規(guī)律較慢的學(xué)生理解數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系。在明確運算規(guī)律后，教師解釋研究方法，進一步清晰學(xué)生對“數(shù)形結(jié)合”的認(rèn)識。

[教學(xué)片段4]形數(shù)結(jié)合“慢”拓展

師（逐一出示圖6）：這些小圓點拼成了什么圖形，有多少個小圓點？

學(xué)生一一作答。

師：想象一下，第6個圖形是什么樣子？

生：有六層，一共是“1+2+3+4+5+6=21”個。

師：1，3，6，10……這些數(shù)我們就把它們稱為三角形數(shù)。

師：那么黑板上這些數(shù)，我們就稱為……

生：正方形數(shù)。

師：為什么叫正方形數(shù)？

生：因為排出來都是正方形。

師：想一想，正方形數(shù)和三角形數(shù)之間有沒有什么關(guān)系呢？

生：兩個三角形數(shù)的和。

教師出示圖7。

師：從剛才的研究中，我們發(fā)現(xiàn).三角形數(shù)就是連續(xù)自然數(shù)的和，正方形數(shù)就是連續(xù)奇數(shù)的和，那么連續(xù)偶數(shù)的和又是什么樣子的呢？大家課后可以去研究一下。

[賞析]彭老師在本環(huán)節(jié)著力于數(shù)與形兩個研究對象的相互轉(zhuǎn)化與印證。一邊引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)來精確地描述小圓片的總數(shù)與排列方式，一邊引導(dǎo)學(xué)生從排列形式上給“數(shù)”命名，如“三角形數(shù)”與“正方形數(shù)”。隨著思考的深入，進一步引導(dǎo)學(xué)生思考正方形數(shù)與三角形數(shù)的聯(lián)系。學(xué)生從直觀上很容易發(fā)現(xiàn)“一個正方形數(shù)就是兩個三角形數(shù)的和”。教者并未止步，而是以“三角形數(shù)就是連續(xù)自然數(shù)的和，正方形數(shù)就是連續(xù)奇數(shù)的和，那么連續(xù)偶數(shù)的和又是什么樣子的呢？”這個提問為基點，推動學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的方法思考、探究連續(xù)偶數(shù)之和的規(guī)律。